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1. （10分）随机变量彼此独立，且特征函数分别为，求下列随机变量的特征函数：
（1） （2）
解：（1）
（2）
2. （10分）取值，概率的独立二进制传输信号，时隙长度为，问：
（1） 信号的均值函数；
（2） 信号的自相关函数；
（3） 信号的一维概率密度函数。
解：（1）
(2) 当在同一个时隙时：
当不在同一个时隙时：
（3）
3. （10分）随机信号，，其中为常数，为在上均匀分布的随机变量。
（1） 试判断和在同一时刻和不同时刻的独立性、相关性及正交性；
（2） 试判断和是否联合广义平稳。
解：
（1） 由于和包含同一随机变量，因此非独立。
根据题意有。
，
由于，和在同一时刻正交、线性无关。
除外的其他不同时刻，所以和非正交且线性相关。
（2） 由于，和均值平稳。
同理可得，因此和均广义平稳。
由于，因此和联合广义平稳。
4. （10分）判断下列函数是否能作为实广义平稳随机过程的自相关函数（其中均为常数）？如果不能，请写出理由。
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）不能，因为零点连续，而点不连续。
（2）能。
（3）不能，因为，而又不是的周期函数。
（4）能。
5. （10分）线性时不变系统的框图如下图所示。若输入白噪声的双边功率谱密度，求系统输出噪声的功率谱密度函数和自相关函数，以及输出噪声总功率。
解：系统的传递函数为，
则系统输出功率谱密度为
。
输出噪声的自相关函数为
输出噪声总功率为
6. （10分）设随机信号，其中为常数，均为零均值的平稳随机过程，并且相互正交。问：
（1） 是否联合广义平稳？
（2） 假如，是否为广义平稳的随机信号？
证明：
（1） 由于相互正交，所以，与t无关 ，又因为均为零均值的平稳随机过程，所以是联合广义平稳随机信号。
（2） 假如，
由于相互正交，所以
，与t无关
所以是广义平稳的随机信号。
7. （10分）下列函数中哪些是实广义平稳随机信号功率谱密度的正确表达式？若是，求该信号的平均功率；若不是，请说明原因。
（1） （2）
（3） （4）
解：
（1） 不可以。不是偶函数。
（2） 可以。 ，所以
，所以
（3） 可以。
（4） 可以。
8. （10分）某语音随机信号满足广义各态历经性，现将该信号经过无线信道进行传输，假设信道噪声为广义各态历经的加性高斯白噪声。讨论：
（1） 收到的信号的均值各态历经性；
（2） 满足广义各态历经性的条件。
解：
由满足广义各态历经性，所以广义平稳且满足：
同理，广义平稳且满足：
由于与是独立的，所以：
所以是广义平稳的。且有：
所以，
由于，所以是均值各态历经的。
假如，则是广义各态历经的。
9. （10分）已知平稳随机信号的功率谱密度 。通过频率响应为 的系统后得到。求：
（1） 的均值、平均功率；
（2） 系统的等效噪声带宽；
（3） 信号的矩形等效带宽。
解: (1)
，
（2）
（3）信号的矩形等效带宽
10. （10分）所表示的零均值平稳窄高斯随机信号的功率谱密度如下图示，若为100Hz，试求：
（1） 随机信号的一维概率密度函数；
（2） ；
（3） 的两个正交分量的联合概率密度函数。
解： 也是高斯的
依题
(1)
（2）=100Hz，根据X(t)和Y(t)的性质知
且
则可得 ，如图
求的傅立叶反变换可得
(3)
关于对称，所以 在任意时刻正交,不相关,独立.
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