1、高考提能圆的第二定义 阿波罗尼斯圆 板块二专题五解析几何 一、问题背景 苏教版数学必修2P112第12题： 已知点M(x，y)与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为 ，那么点M的坐标应满足 什么关系？画出满足条件的点M所构成的曲线. 二、阿波罗尼斯圆 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在平面轨迹一书中，曾 研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果： 到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆. 如图，点A，B为两定点，动点P满足PAPB. 则1时，动点P的轨迹为直线；当1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波 罗尼斯圆. 证明：设AB2m(m0)，PAPB
2、，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面 直角坐标系，则A(m,0)，B(m,0). 两边平方并化简整理得(21)x22m(21)x(21)y2m2(12). 当1时，x0，轨迹为线段AB的垂直平分线； 上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理. 三、阿波罗尼斯圆的性质 1.满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比内分AB和外分AB所得的 两个分点. 2.直线CM平分ACB，直线CN平分ACB的外角. 4.CMCN. 5.当1时，点B在圆O内，点A在圆O外； 当01时，点A在圆O内，点B在圆O外. 6.若AC，AD是切线，则CD与AO的交点即为B. 7.若过点B作圆O的不与CD重
3、合的弦EF，则AB平分EAF. 四、范例欣赏 例1设A(c,0)，B(c,0)(c0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比 为定值a(a0)，求P点的轨迹. 解设动点P的坐标为(x，y)， 化简得(1a2)x22c(1a2)xc2(1a2)(1a2)y20. 当a1时，化简得x0. 当a1时，P点的轨迹为y轴. 例2如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O24，过动点P分别作圆O1，圆O2的切 线PM，PN(M，N分别为切点)，使得PM PN，试建立适当的坐标系，并求动点 P的轨迹方程. 解如图，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系 ， 则O1(2,
4、0)，O2(2,0)， 因为两圆的半径均为1， 设P(x，y)，则(x2)2y212(x2)2y21. 即(x6)2y233， 所以所求轨迹方程为(x6)2y233. 例3如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4，设圆C的 半径为1，圆心在l上. (1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； 切线的斜率存在，设切线方程为ykx3. 故所求切线方程为y3或3x4y120. (2)若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围. 化简得x2(y1)24. 即点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D. 又因为点M在圆C上
5、，故圆C与圆D的关系为相交或相切. 解设点M(x，y)，由MA2MO，知 例4在x轴正半轴上是否存在两个定点A，B，使得圆x2y24上任意一点到A，B 两点的距离之比为常数 ？如果存在，求出点A，B坐标；如果不存在，请说明理 由. 设P(x，y)，A(x1,0)，B(x2,0)，其中x2x10. 所以解得x11，x24. 五、跟踪演练 解析以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)， B(1,0)，设C(x，y)， 平方化简整理得y2x26x1(x3)288. 2.在ABC中，边BC的中点为D，若AB2，BC AD，则ABC的面积的最大值是 _. 解析以AB的中点为原
6、点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(1,0)， 3.在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0)，B(3,0)，C(0，a)，D(0，a2)，若存在点P ，使得PA PB，PCPD，则实数a的取值范围是_. 解析设P(x，y)， 另一方面，由PCPD知动点P在线段CD的垂直平分线ya1上运动，因而问题就 转化为直线ya1与圆(x5)2y28有交点. 4.如图，在等腰ABC中，已知ABAC，B(1,0)，AC边的中点为D(2,0)，则点C的 轨迹所包围的图形的面积等于_. 解析因为AB2AD，所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其方程为(x3)2y2 4(y0). 设C(x，y
7、)，由AC边的中点为D(2,0)，知A(4x，y)，所以C的轨迹方程为(4x3)2 (y)24(y0)，即(x1)2y24(y0)，所求的面积为4. 4 5.如图，已知平面平面，A，B是平面与平面的交线上的两个定点，DA， CB，且DA，CB，AD4，BC8，AB6，在平面上有一个动点P，使 得APDBPC，求PAB的面积的最大值. 解DA，PA， DAPA， APDBPC， BP2AP. 在平面上以线段AB的中点为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则 A(3,0)，B(3,0)， 化简得(x5)2y216， y216(x5)216. |y|4. 6.已知O：x2y21和点M(4
8、,2). (1)过点M向O引切线l，求直线l的方程； 解由题意知，直线l的斜率存在， 设切线l的方程为y2k(x4)， (2)求以点M为圆心，且被直线y2x1截得的弦长为4的M的方程； M的方程为(x4)2(y2)29. (3)设P为(2)中M上任一点，过点P向O引切线，切点为Q，试探究：平面内是 否存在一定点R，使得 为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若 不存在，请说明理由. 解假设存在这样的点R(a，b)，点P的坐标为(x，y)，相应的定值为. 即x2y212(x2y22ax2bya2b2).(*) 又点P在圆M上，(x4)2(y2)29，即x2y28x4y11，代入(*)式得 8x4y122(82a)x(42b)y(a2b211)， 若系数对应相等，则等式恒成立， 本课结束 更多精彩内容请登录：
