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专题五 高考提能 圆的第二定义—阿波罗尼斯圆[精选].pptx

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1、高考提能圆的第二定义 阿波罗尼斯圆 板块二专题五解析几何 一、问题背景 苏教版数学必修2P112第12题: 已知点M(x,y)与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为 ,那么点M的坐标应满足 什么关系?画出满足条件的点M所构成的曲线. 二、阿波罗尼斯圆 公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在平面轨迹一书中,曾 研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果: 到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆. 如图,点A,B为两定点,动点P满足PAPB. 则1时,动点P的轨迹为直线;当1时,动点P的轨迹为圆,后世称之为阿波 罗尼斯圆. 证明:设AB2m(m0),PAPB

2、,以AB的中点为原点,直线AB为x轴建立平面 直角坐标系,则A(m,0),B(m,0). 两边平方并化简整理得(21)x22m(21)x(21)y2m2(12). 当1时,x0,轨迹为线段AB的垂直平分线; 上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理. 三、阿波罗尼斯圆的性质 1.满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比内分AB和外分AB所得的 两个分点. 2.直线CM平分ACB,直线CN平分ACB的外角. 4.CMCN. 5.当1时,点B在圆O内,点A在圆O外; 当01时,点A在圆O内,点B在圆O外. 6.若AC,AD是切线,则CD与AO的交点即为B. 7.若过点B作圆O的不与CD重

3、合的弦EF,则AB平分EAF. 四、范例欣赏 例1设A(c,0),B(c,0)(c0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比 为定值a(a0),求P点的轨迹. 解设动点P的坐标为(x,y), 化简得(1a2)x22c(1a2)xc2(1a2)(1a2)y20. 当a1时,化简得x0. 当a1时,P点的轨迹为y轴. 例2如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O24,过动点P分别作圆O1,圆O2的切 线PM,PN(M,N分别为切点),使得PM PN,试建立适当的坐标系,并求动点 P的轨迹方程. 解如图,以O1O2的中点O为原点,O1O2所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系 , 则O1(2,

4、0),O2(2,0), 因为两圆的半径均为1, 设P(x,y),则(x2)2y212(x2)2y21. 即(x6)2y233, 所以所求轨迹方程为(x6)2y233. 例3如图所示,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y2x4,设圆C的 半径为1,圆心在l上. (1)若圆心C也在直线yx1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程; 切线的斜率存在,设切线方程为ykx3. 故所求切线方程为y3或3x4y120. (2)若圆C上存在点M,使MA2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围. 化简得x2(y1)24. 即点M的轨迹为以(0,1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D. 又因为点M在圆C上

5、,故圆C与圆D的关系为相交或相切. 解设点M(x,y),由MA2MO,知 例4在x轴正半轴上是否存在两个定点A,B,使得圆x2y24上任意一点到A,B 两点的距离之比为常数 ?如果存在,求出点A,B坐标;如果不存在,请说明理 由. 设P(x,y),A(x1,0),B(x2,0),其中x2x10. 所以解得x11,x24. 五、跟踪演练 解析以AB的中点为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,则A(1,0), B(1,0),设C(x,y), 平方化简整理得y2x26x1(x3)288. 2.在ABC中,边BC的中点为D,若AB2,BC AD,则ABC的面积的最大值是 _. 解析以AB的中点为原

6、点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,则A(1,0),B(1,0), 3.在平面直角坐标系xOy中,设点A(1,0),B(3,0),C(0,a),D(0,a2),若存在点P ,使得PA PB,PCPD,则实数a的取值范围是_. 解析设P(x,y), 另一方面,由PCPD知动点P在线段CD的垂直平分线ya1上运动,因而问题就 转化为直线ya1与圆(x5)2y28有交点. 4.如图,在等腰ABC中,已知ABAC,B(1,0),AC边的中点为D(2,0),则点C的 轨迹所包围的图形的面积等于_. 解析因为AB2AD,所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆,易知其方程为(x3)2y2 4(y0). 设C(x,y

7、),由AC边的中点为D(2,0),知A(4x,y),所以C的轨迹方程为(4x3)2 (y)24(y0),即(x1)2y24(y0),所求的面积为4. 4 5.如图,已知平面平面,A,B是平面与平面的交线上的两个定点,DA, CB,且DA,CB,AD4,BC8,AB6,在平面上有一个动点P,使 得APDBPC,求PAB的面积的最大值. 解DA,PA, DAPA, APDBPC, BP2AP. 在平面上以线段AB的中点为原点,AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,则 A(3,0),B(3,0), 化简得(x5)2y216, y216(x5)216. |y|4. 6.已知O:x2y21和点M(4

8、,2). (1)过点M向O引切线l,求直线l的方程; 解由题意知,直线l的斜率存在, 设切线l的方程为y2k(x4), (2)求以点M为圆心,且被直线y2x1截得的弦长为4的M的方程; M的方程为(x4)2(y2)29. (3)设P为(2)中M上任一点,过点P向O引切线,切点为Q,试探究:平面内是 否存在一定点R,使得 为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值;若 不存在,请说明理由. 解假设存在这样的点R(a,b),点P的坐标为(x,y),相应的定值为. 即x2y212(x2y22ax2bya2b2).(*) 又点P在圆M上,(x4)2(y2)29,即x2y28x4y11,代入(*)式得 8x4y122(82a)x(42b)y(a2b211), 若系数对应相等,则等式恒成立, 本课结束 更多精彩内容请登录:

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