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华东师范大学第二附属中学实验班用数学习题详解15.doc

1、第十三章 算法初步131算法的概念与基本特点基础练习1有,三个相同规格的玻璃瓶,装着酒精,装着醋,为空瓶,请设计一个算法,把,瓶中的酒精与醋互换解:(1)倒进(2)倒进(3)倒进2已知,写出求直线斜率的一个算法解:(1)输入四个变量:(2)(3)输出斜率3写出一个求方程的两个实根的算法解:(1)定义;,(2)判断,如果真,则执行输出结论,如果假执行输出结论4一个人带三只狼和三只羚羊过河,只有一条船,同船可以容纳一个人和两只动物没有人在的时候,如果狼的数量不少于羚羊的数量,狼就会吃掉羚羊请设计过河的算法解:(1)人运两只狼去对岸,空船回来(2)人运两只羚羊去对岸,运一只狼回来(3)人运一只羊去对

2、岸,空船回来(4)人运两只狼去对岸5输入三个数,如果这三个数能作为一个三角形的三边长,则输出,否则提示重新输入,试用算法表示上述过程解:(1)输入(2)判断:若且且,则,输出;若不是且且,则输出“重新输入”13.2 程序框图基础练习1已知函数,写出当为整数时求的算法,并画出程序框图解:算法略程序框图如下2任意给定三个正实数,设计一个算法,判断分别以这三个数为三边边长的三角形是否存在,并画出这个算法的程序框图解:算法如下:(1)输入正实数,;(2)若且且则();若不然转();(3)输出“存在这样的三角形”;(4)输出“不存在这样的三角形”程序框图如下3写出求(共有6个2)的值的一个算法,并画出程

3、序框图解:算法略,程序框图如下4某高中男子体育小组的50米跑成绩为(单位:):6.4,6.5,7.0,6.8,7.1,7.3,6.9,7.4,7.5设计一个算法,从这些成绩中找出所有小于6.8的成绩,并画出程序框图解:算法如下(1); (2)输入;(3)若则转(4);若不然转(5);(4)输出;(5):(6)若则转(7)若不然,则退出;程序框图如右5设计一个计算的值的一个算法,并画出程序框图解:算法如下(1);(2);(3);(4);(5)若则转(6)若不然则转();(6)输出;程序框图如下6写出求的值的一个算法,并画出程序框图解:算法如下(1); (2);(3);(4);(5)若则转(6)若

4、不然则转(3);(6)输出;程序框图如右7我国的国民生产总值近几年来一直以不低于8的年增长率增长,照此速度,最多只需经过几年我国的国民生产总值就可以翻一番?写出一个算法,并画出程序框图解:算法如下 (1); (2);(3);(4);(5)若则转(6);若不然则转(3);(6)输出;程序框图如下8设是三位正整数中所有既是12的倍数,又是15的倍数的数之和写出一个求5的算法,并画出程序框图解:(1);(2);(3)若为15的倍数且为12的倍数则转(4);若不然转(5)(4);(5);(6)若则转(7)若不然,则转(3);(7)输出;程序框图如右9根据给出的算法,分析该算法所解决的是什么问题,并画出

5、相应的程序框图(1);(2);(3)输入;(4);(5);(6)若不大于100,转(3);否则,转(7);(7);(8)输出解:其解决的是求取100个数的平均数程序框图如下10一个三位数的十位和个位的数字互换,得到的一个新的三位数,新、旧两个三位数都能被4整除;设计一个算法,求满足条件的三位数的个数,并画出程序框图解:(1);(2);(3)小于等于999,不然则转(11);(4)为4的倍数,不然则转(10);(5);(6);(7);(8)为4的位数,不然则转(10);(9);(10);(11)输出 程序框图如下第十四章 坐标平面上的直线141直线方程1判断下列命题是否正确:(1)一条直线一定是

6、某个一次函数的图像(2)一次函数的图像一定是一条不过原点的直线(3)如果一条直线上所有点的坐标都是某一个方程的解,那么这个方程叫做这条直线的方程(4)如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上,那么这条直线叫做这个方程的直线解:(1)不正确直线,不是一次函数(2)不正确当时,直线过原点(3)不正确第一、三象限角的平分线上所有的点都是方程的解,但此方程不是第一、三象限角平分线的方程(4)不正确以方程的解为坐标的点都在第一象限的角平分线上,但此直线不是方程的图像2求过点且与直线有相同方向向量的直线方程解:3已知直线是线段的垂直平分线,且点,的坐标分别是(一2,3),(4,),求直线的点法

7、向式方程解:4在中,依次为、的中点,求、所在直线的点方向式方程解:,5正方形中,点为坐标原点,且向量,求:(1)边所在直线的点法向式方程(2)对角线所在直线的点法向式方程解:(1)(2)或6设直线;试问:“”是“直线的法向量恰好是直线的方向向量”的什么条件?解:等价于两条直线的法向量互相垂直,所以是充分非必要条件14.2直线的倾斜角和斜率1在中,过引中线的垂线与交于点,求证:证明:以为原点,所在直线为轴,建立直角坐标系设点,坐标分别为,则点坐标为直线方程为 直线方程为 设直线和的斜率分别为,则因为,所以所以所以直线方程为,由,解得点坐标为所以直线斜率为是因为所以么,即2求与直线关于点(1,-1

8、)对称的直线 解:设对称的直线方程为,则点(1,-1)分别到两条直线的距离相等(舍去) 所以直线方程为3过点(1,4)引直线,使它在两坐标轴上的截距都是正数,且截距和为最小,求直线的方程 解:设直线方程为,则,则截距和为 ,当且仅当时取等号所以直线方程为4直线过点,倾斜角的正弦值是,求直线的方程 解:因为倾斜角的范围是:,又由题意:,所以,直线过点,由直线的点斜式方程得到:,即或5当,均为有理数时,称点为有理点,又设,则直线上( )A不存在有理点 B仅有一个有理点C仅有两个有理点 D有无穷多个理点解:由题,可知直线的方程为,移项平方后有,从而若存在有理点,则等式左边为有理数,右边为无理数,矛盾

9、故选A6已知直线经过,两点(),求直线的倾斜角的取值范围解:,所以直线的倾斜角的取值范围为7(1)直线过点和点,求的斜率和倾斜角(2)若直线过,点,且,求此直线的倾斜角(3)已知直线过点和,求的倾斜角和斜率解:(1),的倾斜角,即:(2),此直线的倾斜角为(3)因此,当时,直线没有斜率当时,当时,8在直线:上找一点,使得点对,的视角最大解:的最大值为,点的坐标为(3,2)(提示:以为弦作圆与直线相切,切点即为点的选取)9四条直线,围成一个四边形,求出使此四边形有外接圆的值解:(提示:利用倒角公式及圆内接四边形的对角之和为)10直线过点,且分别交轴、轴的正半轴于点、点是坐标原点,(1)求当面积最

10、小时直线的方程(2)当最小时,求直线的方程解:(1)如解析图,设,的面积为,则并且直线的截距式方程是由直线通过点(2,1),得所以,因为点和点在轴、轴的正半轴上,所以上式石端的分母由此得当且仅当,即时,面积取最小值4,这时,直线的方程是:,即(2)设,则,如图,所以,当时有最小值4,此时,直线的方程为14.3两条直线的位置关系1已知曲线与直线有两个交点,求的取值范围解:数形结合可得2当为何值时,直线与直线:互相垂直?解:方向向量互相垂直,3求经过两条直线和的交点,并且垂直于直线的直线方程解:可设直线方程为,并将交点坐标代入方程可得:4直线,求关于直线对称的直线的方程解:由得与的交点为,显见也在

11、上设的斜率为,又的斜率为,的斜率为,利用到角公式可得:,解得故的直线方程为,即5一张坐标纸对折一次后,点与点重叠,若点与点重叠,求解:可解得对称轴方程为,由,得,所以6在中,为三边,为内角,且,试判断和的位置关系并给出证明解:,所以两条直线重合7在平面直角坐标系中定义两点,之间的交通距离为若到点,的交通距离相等,其中实数满足,则所有满足条件的点的轨迹的长之和为多少?解:由条件得当时化为,无解;当时,化为,无解;当时,化为 当,则,线段长度为;若,则,线段长度为;若,则,线段长度为4综上可知,点的轨迹的构成的线段长度之和为8已知直线经过点,且被两平行直线和截得的线段之长为5,求直线的方程解:方法

12、一:所求的方程为或若直线的斜率不存在,则直线的方程为,此时与、的交点分别为和,截得的线段的长,符合题意,若直线的斜率存在,则设直线的方程为解方程组得,解方程组得由,得解之,得,即欲求的直线方程为综上可知,所求的方程为或方法二:和的平行线之间的距离为所以直线与平行线的夹角为,所以直线的倾斜角为或故所求的方程为或9求的值使得方程表示两条直线,并求出这两条直线的夹角解:,则,求出这两条直线的夹角为10.已知三条直线,围成,求为何值时,的面积有最大值、最小值解:解的方程分别为,在、中取,知等式成立,所以为与的交点;在,中取,等式也成立,所以为与的交点设,斜率分别为,若则,所以,当时,也成立所以,由点到

13、直线距离公式:,所以因为,当时,取得最大值;当时,取到最小值11复数,和其中,均为实数,且有,(1)求的值,并分别写出和用,表示的关系式(2)将作为点的坐标,()作为点的坐标,上述关系式可看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点变到这一平面上的点,当点在直线上移动时,求点经该变换后得到的点的轨迹方程(3)是否存在这样的直线:它上面的任意一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这些直线的方程;若不存在,则说明理由解:(1)由题设,于是由且,因此由,得关系式(2)设点在直线上,则其经变换后的点满足,消去,得, 故点的轨迹方程为(3)假设存在这样的直线,平行坐标轴的直线显然不满足

14、条件,所求直线可设为,解法一:该直线上的任一点,其经变换后得到的点仍在该直线上,即,当时,方程组无解,故这样的直线不存在当时,由,得,解得或,故这样的直线存在,其方程为或,解法二:取直线上一点,其经变换后的点仍在该直线上,得,故所求直线为,取直线上一点,其经变换后得到的仍在该直线上 即,得或,故这样的直线在在,其方程为或12在平面直角坐标系中,在轴的正半轴上给定、两点,在轴正半轴上求一点,使取得最大值解:设,再设,则,见解析图当且仅当,时,有最大值,最大值为,在内为增函数角的最大值为此时点的坐标为14.4 点到直线的距离基础练习1 求出平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线的距离中的最小值

15、解:设整点为,则点到直线的距离为,因为,当,时,2已知两点(1,2),(3,1)到直线的距离分别是,则满足条件的直线共有多少条?解:画两个分别以(1,2),(3,1)为圆心,半径为的圆,两圆正好相外切,有三条公切线,所以答案为33求点(1,1)到直线的距离的最大值解:,所以距离的最大值为4已知两个定点,点是平面上的一个动点,点到直线的距离为1求直线的方程解:作图可得:直线的倾斜角或,所以直线的方程为5已知函数的定义域为,且设点是函数图像上的任意一点,过点分别作直线和轴的垂线,垂足分别为、(1)求的值(2)问是否为定值?若是,则求出该定值,若不是,则说明理由(3)设为坐标原点,求四边形面积的最小

16、值解:(1),(2)设点的坐标为,则有,由点到直线的距离公式可知,有,即为定值,这个值为1(3)由题意可设,可知与直线垂直,即解得又, 当且仅当时,等号成立此时四边形的面积有最小值6如图1419,已知:射线为,射线为,动点在的内部,于,于,四边形的面积恰为(1)当为定值时,动点的纵坐标是横坐标的函数,求这个函数的解析式(2)根据的取值范围,确定的定义域解:(1)设,则,由动点在的内部,得,则 ,则又由,分别解得,代入式消,并化简得,(2)由,得(*)当时,不等式为恒成立,(*)当时,由不等式得,当时,由不等式得,且,但垂足必须在射线上,否则,四点不能组成四边形,所以还必须满足条件:,将它代入函

17、数解析式,得解得,或综上,当时,定义域为;当时,定义域为;当时,定义域为14.5二元一次不等式的解集与线性规划问题1若、满足条件求的最大值和最小值解:作出约束条件所表示的平面区域,即可行域,如解析图所示作直线,即,它表示斜率为,纵截距为的平行直线系,当它在可行域内滑动时,由图可知,直线过点时,取得最大值,当过点时,取得最小值 2已知点,直线过点若可行域的外接圆直径为20,求的值解:注意到直线也过点,所以为直线与的交点可行域如解析图中阴影部分(含边界)所示设直线的倾斜角为,则,在中,由正弦定理得,则所以,直线的斜率为,则,得又直线过点,所以,解得3已知,求的最大值解:先画图,表示与的距离,的最大

18、值为4设满足不等式组(1)求点所在的平面区域(2)设在(1)区域里,求函数的最大值、最小值解:(1)由已知得或(2)是直线,在轴上的截距,直线与阴影相交,因为,所以它过顶点时,最大,点坐标为(,7),于是的最大值为如果,则通过点时,最小,此时值为;如果,则通过时取最小值为5设函数,试求函数的图像与轴所围成图形中的封闭部分的面积解:函数的图像如解析图的实线部分所示所求的封闭部分的面积为6平面直角坐标系内有,顶点坐标为两平行直线之间与公共部分的面积记为则当变化时,求的最大值解:由相似性计算公共部分面积:,由于,则当且仅当时取最大值最大值为7甲、乙、丙三种食物的维生素、含量及成本如下表:甲乙丙维生素

19、(单位/千克)600700400维生素(单位/千克)800400500成本(元/千克)1194某食物营养研究所想用千克甲种食物,千克乙种食物,千克丙种食物配成100千克的混合食物,并使混合食物至少含56000单位维生素和63000单位维生素(1)用、表示混合物成本(2)确定、的值,使成本最低解:(1)元(2),解之得元,千克,千克时成本最低8某工厂生产、两种产品,已知生产产品要用煤,电力,3个工作日;生产产品要用煤,电力,10个工作日又知生产出产品可获利7万元,生产出产品可获利12万元,现在工厂只有煤,电力,300个工作日,在这种情况下生产,产品各多少千克能获得最大经济效益?解:在题目条件比较

20、复杂时,可将题目中的条件列表产品工作日煤电力利润万元产品3947产品104512设为千克,为千克,为千克,经济效益为万元,则,解之得:产品为20千克,产品为40千克,最大经济效益为428万元9有一批钢管,长度都是4 000,要截成和两种毛坯,且这两种毛坯数量比要大于配套,怎样截最合理?解:设截的根,的根,根据题意,得且作出可行域,如解析图中阴影部分目标函数为,作一组平行直线,经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过(0,8)的直线,这时由,为正整数,知(0,8)不是最优解在可行域内找整点,使可知点(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)均为最优解答:每根钢管截500的2根,

21、600的5根,或截500的3根,600的4根或截500的4根,600的3根或截500的5根,600的2根或截500的6根,600的1根最合理10咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克,乙种饮料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克已知每天原料的使用限额为奶粉3 600克、咖啡2 000克、糖3 000克如果甲种饮料每杯能获利0.7元,乙种饮料每杯能获利1.2元,每天在原料的使用限额内饮料能全部售出,每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大?解:设每天配制甲种饮料杯、乙种饮料杯可获得最大利润,利润总额为元由条件知:变量、满足作出不等式组所表示的可行域(如解析图)作直线,把直线向右上

22、方平移至经过点的位置时,取最大值由方程组:得点坐标答:应每天配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯方可获利最大14.6直线综合运用1如图1426,、是同一平面内的三条平行直线,与间的距离是1,与间的距离是2,正三角形的三顶点分别在、上,则的边长是( )ABCD解:设边长为,则,则,所以选2如图1427,平面中两条直线和相交于点,对于平面上任意一点,若、分别是到直线和的距离,则称有序非负实数对是点的“距离坐标”已知常数,给出下列命题:若,则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个;若,且,则“距离坐标”为()的点有且仅有2个;若,则“距离坐标”为()的点有且仅有4个上述命题中,正确命题的个数是(

23、 )A0 B1 C2 D3解:正确,也应有4个,故选C3已知点,求:(1)过点与原点距离为2的直线的方程(2)过点与原点距离最大的直线的方程,最大距离是多少?(3)是否存在过点与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由解:(1)显然符合题意,对于一般直线,则原点到直线的距离为,所以直线方程为,综上所述直线方程为或(2)由几何意义可知,原点到垂直于的直线距离最远最远的距离为(3)因为,不存在过点且到原点距离为6的直线4设2阶方矩阵,则矩阵所对应的矩阵变换为:,其意义是把点变换为点,矩阵叫做变换矩阵(1)当变换矩阵时,点,经矩阵变换后得到点分别是,求过点,的直线的点方向式方程(2

24、)当变换矩阵时,若直线上的任意点经矩阵变换后得到的点仍在该直线上,求直线的方程(3)若点经矩阵变换后得到点,且与关于直线对称,求变换矩阵解:(1).(2)当直线垂直于轴显然不成立设,或,得到:或(3)设5已知过点且斜率为的直线与轴、轴分别交于、,过、作直线的垂线,垂足为、,求四边形面积的最小值解:由题,直线方程为,解得,求中点到直线的距离,再求到直线的距离,得四边形面积与的表达式,从而得四边形的面积的最小值为3.66已知三条直线,直线和直线,且与的距离是(1)求的值;(2)求到的角;(3)能否找到一点,使得点同时满足下列三个条件:是第一象限的点;点到的距离是点到的距离的;点到的距离与点到的距离

25、之比是?若是,求点坐标;若不是,请说明理由解:(1)所以与的距离(2)利用三角公式可得:,所以(3)设点的坐标为,则7已知点和直线,求一点使,且点到的距离等于解:设点的坐标为,则点或为所求的点8已知两直线和的交点为(2,3),求过两点的直线方程解:,所以,在上过两点有且仅有一条直线,所以直线方程为9某市现有自市中心通往正西和东北方向的两条主要公路,为了解决交通拥挤问题,市政府决定修一条环城路,分别在通往正西和东北方向的公路上选取,两点,使环城公路在,间为线段,要求环城路段与中心的距离为,且使,间的距离最小,请你确定,两点的最佳位置(不要求作近似计算)解:建立直角坐标系解题,两点的最佳位置是离市中心均为处10在直线方程中,当,求此直线方程解:设,或解得:直线方程为或11已知两点,(1)求直线的斜率是与倾斜角(2)求直线的方程(3)已知实数,求直线的倾斜角的取值范围解:(1)当时,直线的斜率不存在,倾斜角当时,当时,当时,(2)当时,当时,(3)当时,;当时,故综合、得,直线的倾斜角

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