1、第十三章 算法初步131算法的概念与基本特点基础练习1有，三个相同规格的玻璃瓶，装着酒精，装着醋，为空瓶，请设计一个算法，把，瓶中的酒精与醋互换解：（1）倒进（2）倒进（3）倒进2已知，写出求直线斜率的一个算法解：（1）输入四个变量：（2）（3）输出斜率3写出一个求方程的两个实根的算法解：（1）定义；，（2）判断，如果真，则执行输出结论，如果假执行输出结论4一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊请设计过河的算法解：（1）人运两只狼去对岸，空船回来（2）人运两只羚羊去对岸，运一只狼回来（3）人运一只羊去对
2、岸，空船回来（4）人运两只狼去对岸5输入三个数，如果这三个数能作为一个三角形的三边长，则输出，否则提示重新输入，试用算法表示上述过程解：（1）输入（2）判断：若且且，则，输出；若不是且且，则输出“重新输入”13.2 程序框图基础练习1已知函数，写出当为整数时求的算法，并画出程序框图解：算法略程序框图如下2任意给定三个正实数，设计一个算法，判断分别以这三个数为三边边长的三角形是否存在，并画出这个算法的程序框图解：算法如下：（1）输入正实数，；（2）若且且则（）；若不然转（）；（3）输出“存在这样的三角形”；（4）输出“不存在这样的三角形”程序框图如下3写出求（共有6个2）的值的一个算法，并画出程
3、序框图解：算法略，程序框图如下4某高中男子体育小组的50米跑成绩为（单位：）：6.4，6.5，7.0，6.8，7.1，7.3，6.9，7.4，7.5设计一个算法，从这些成绩中找出所有小于6.8的成绩，并画出程序框图解：算法如下（1）； （2）输入；（3）若则转（4）；若不然转（5）；（4）输出；（5）：（6）若则转（7）若不然，则退出；程序框图如右5设计一个计算的值的一个算法，并画出程序框图解：算法如下（1）；（2）；（3）；（4）；（5）若则转（6）若不然则转（）；（6）输出；程序框图如下6写出求的值的一个算法，并画出程序框图解：算法如下（1）； （2）；（3）；（4）；（5）若则转（6）若
4、不然则转（3）；（6）输出；程序框图如右7我国的国民生产总值近几年来一直以不低于8的年增长率增长，照此速度，最多只需经过几年我国的国民生产总值就可以翻一番？写出一个算法，并画出程序框图解：算法如下 （1）； （2）；（3）；（4）；（5）若则转（6）；若不然则转（3）；（6）输出；程序框图如下8设是三位正整数中所有既是12的倍数，又是15的倍数的数之和写出一个求5的算法，并画出程序框图解：（1）；（2）；（3）若为15的倍数且为12的倍数则转（4）；若不然转（5）（4）；（5）；（6）若则转（7）若不然，则转（3）；（7）输出；程序框图如右9根据给出的算法，分析该算法所解决的是什么问题，并画出
5、相应的程序框图（1）；（2）；（3）输入；（4）；（5）；（6）若不大于100，转（3）；否则，转（7）；（7）；（8）输出解：其解决的是求取100个数的平均数程序框图如下10一个三位数的十位和个位的数字互换，得到的一个新的三位数，新、旧两个三位数都能被4整除；设计一个算法，求满足条件的三位数的个数，并画出程序框图解：（1）；（2）；（3）小于等于999，不然则转（11）；（4）为4的倍数，不然则转（10）；（5）；（6）；（7）；（8）为4的位数，不然则转（10）；（9）；（10）；（11）输出 程序框图如下第十四章 坐标平面上的直线141直线方程1判断下列命题是否正确：（1）一条直线一定是
6、某个一次函数的图像（2）一次函数的图像一定是一条不过原点的直线（3）如果一条直线上所有点的坐标都是某一个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程（4）如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，那么这条直线叫做这个方程的直线解：（1）不正确直线，不是一次函数（2）不正确当时，直线过原点（3）不正确第一、三象限角的平分线上所有的点都是方程的解，但此方程不是第一、三象限角平分线的方程（4）不正确以方程的解为坐标的点都在第一象限的角平分线上，但此直线不是方程的图像2求过点且与直线有相同方向向量的直线方程解：3已知直线是线段的垂直平分线，且点，的坐标分别是（一2，3），（4，），求直线的点法
7、向式方程解：4在中，依次为、的中点，求、所在直线的点方向式方程解：，5正方形中，点为坐标原点，且向量，求：（1）边所在直线的点法向式方程（2）对角线所在直线的点法向式方程解：（1）（2）或6设直线；试问：“”是“直线的法向量恰好是直线的方向向量”的什么条件？解：等价于两条直线的法向量互相垂直，所以是充分非必要条件14.2直线的倾斜角和斜率1在中，过引中线的垂线与交于点，求证：证明：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系设点，坐标分别为，则点坐标为直线方程为 直线方程为 设直线和的斜率分别为，则因为，所以所以所以直线方程为，由，解得点坐标为所以直线斜率为是因为所以么，即2求与直线关于点（1，-1
8、）对称的直线 解：设对称的直线方程为，则点（1，-1）分别到两条直线的距离相等（舍去） 所以直线方程为3过点（1，4）引直线，使它在两坐标轴上的截距都是正数，且截距和为最小，求直线的方程 解：设直线方程为，则，则截距和为 ，当且仅当时取等号所以直线方程为4直线过点，倾斜角的正弦值是，求直线的方程 解：因为倾斜角的范围是：，又由题意：，所以，直线过点，由直线的点斜式方程得到：，即或5当，均为有理数时，称点为有理点，又设，则直线上（ ）A不存在有理点 B仅有一个有理点C仅有两个有理点 D有无穷多个理点解：由题，可知直线的方程为，移项平方后有，从而若存在有理点，则等式左边为有理数，右边为无理数，矛盾
9、故选A6已知直线经过，两点（），求直线的倾斜角的取值范围解：，所以直线的倾斜角的取值范围为7（1）直线过点和点，求的斜率和倾斜角（2）若直线过，点，且，求此直线的倾斜角（3）已知直线过点和，求的倾斜角和斜率解：（1），的倾斜角，即：（2），此直线的倾斜角为（3）因此，当时，直线没有斜率当时，当时，8在直线：上找一点，使得点对，的视角最大解：的最大值为，点的坐标为（3，2）（提示：以为弦作圆与直线相切，切点即为点的选取）9四条直线，围成一个四边形，求出使此四边形有外接圆的值解：（提示：利用倒角公式及圆内接四边形的对角之和为）10直线过点，且分别交轴、轴的正半轴于点、点是坐标原点，（1）求当面积最
10、小时直线的方程（2）当最小时，求直线的方程解：（1）如解析图，设，的面积为，则并且直线的截距式方程是由直线通过点（2，1），得所以，因为点和点在轴、轴的正半轴上，所以上式石端的分母由此得当且仅当，即时，面积取最小值4，这时，直线的方程是：，即（2）设，则，如图，所以，当时有最小值4，此时，直线的方程为14.3两条直线的位置关系1已知曲线与直线有两个交点，求的取值范围解：数形结合可得2当为何值时，直线与直线：互相垂直？解：方向向量互相垂直，3求经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线方程解：可设直线方程为，并将交点坐标代入方程可得：4直线，求关于直线对称的直线的方程解：由得与的交点为，显见也在
11、上设的斜率为，又的斜率为，的斜率为，利用到角公式可得：，解得故的直线方程为，即5一张坐标纸对折一次后，点与点重叠，若点与点重叠，求解：可解得对称轴方程为，由，得，所以6在中，为三边，为内角，且，试判断和的位置关系并给出证明解：，所以两条直线重合7在平面直角坐标系中定义两点，之间的交通距离为若到点，的交通距离相等，其中实数满足，则所有满足条件的点的轨迹的长之和为多少？解：由条件得当时化为，无解；当时，化为，无解；当时，化为 当，则，线段长度为；若，则，线段长度为；若，则，线段长度为4综上可知，点的轨迹的构成的线段长度之和为8已知直线经过点，且被两平行直线和截得的线段之长为5，求直线的方程解：方法
12、一：所求的方程为或若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时与、的交点分别为和，截得的线段的长，符合题意，若直线的斜率存在，则设直线的方程为解方程组得，解方程组得由，得解之，得，即欲求的直线方程为综上可知，所求的方程为或方法二：和的平行线之间的距离为所以直线与平行线的夹角为，所以直线的倾斜角为或故所求的方程为或9求的值使得方程表示两条直线，并求出这两条直线的夹角解：，则，求出这两条直线的夹角为10.已知三条直线，围成，求为何值时，的面积有最大值、最小值解：解的方程分别为，在、中取，知等式成立，所以为与的交点；在，中取，等式也成立，所以为与的交点设，斜率分别为，若则，所以，当时，也成立所以，由点到
13、直线距离公式：，所以因为，当时，取得最大值；当时，取到最小值11复数，和其中，均为实数，且有，（1）求的值，并分别写出和用，表示的关系式（2）将作为点的坐标，（）作为点的坐标，上述关系式可看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点，当点在直线上移动时，求点经该变换后得到的点的轨迹方程（3）是否存在这样的直线：它上面的任意一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线的方程；若不存在，则说明理由解：（1）由题设，于是由且，因此由，得关系式（2）设点在直线上，则其经变换后的点满足，消去，得， 故点的轨迹方程为（3）假设存在这样的直线，平行坐标轴的直线显然不满足
14、条件，所求直线可设为，解法一：该直线上的任一点，其经变换后得到的点仍在该直线上，即，当时，方程组无解，故这样的直线不存在当时，由，得，解得或，故这样的直线存在，其方程为或，解法二：取直线上一点，其经变换后的点仍在该直线上，得，故所求直线为，取直线上一点，其经变换后得到的仍在该直线上 即，得或，故这样的直线在在，其方程为或12在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上给定、两点，在轴正半轴上求一点，使取得最大值解：设，再设，则，见解析图当且仅当，时，有最大值，最大值为，在内为增函数角的最大值为此时点的坐标为14.4 点到直线的距离基础练习1 求出平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线的距离中的最小值
15、解：设整点为，则点到直线的距离为，因为，当，时，2已知两点（1，2），（3，1）到直线的距离分别是，则满足条件的直线共有多少条？解：画两个分别以（1，2），（3，1）为圆心，半径为的圆，两圆正好相外切，有三条公切线，所以答案为33求点（1，1）到直线的距离的最大值解：，所以距离的最大值为4已知两个定点，点是平面上的一个动点，点到直线的距离为1求直线的方程解：作图可得：直线的倾斜角或，所以直线的方程为5已知函数的定义域为，且设点是函数图像上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为、（1）求的值（2）问是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由（3）设为坐标原点，求四边形面积的最小
16、值解：（1），（2）设点的坐标为，则有，由点到直线的距离公式可知，有，即为定值，这个值为1（3）由题意可设，可知与直线垂直，即解得又， 当且仅当时，等号成立此时四边形的面积有最小值6如图1419，已知：射线为，射线为，动点在的内部，于，于，四边形的面积恰为（1）当为定值时，动点的纵坐标是横坐标的函数，求这个函数的解析式（2）根据的取值范围，确定的定义域解：（1）设，则，由动点在的内部，得，则 ，则又由，分别解得，代入式消，并化简得，（2）由，得（*）当时，不等式为恒成立，（*）当时，由不等式得，当时，由不等式得，且，但垂足必须在射线上，否则，四点不能组成四边形，所以还必须满足条件：，将它代入函
17、数解析式，得解得，或综上，当时，定义域为；当时，定义域为；当时，定义域为14.5二元一次不等式的解集与线性规划问题1若、满足条件求的最大值和最小值解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如解析图所示作直线，即，它表示斜率为，纵截距为的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线过点时，取得最大值，当过点时，取得最小值 2已知点，直线过点若可行域的外接圆直径为20，求的值解：注意到直线也过点，所以为直线与的交点可行域如解析图中阴影部分（含边界）所示设直线的倾斜角为，则，在中，由正弦定理得，则所以，直线的斜率为，则，得又直线过点，所以，解得3已知，求的最大值解：先画图，表示与的距离，的最大
18、值为4设满足不等式组（1）求点所在的平面区域（2）设在（1）区域里，求函数的最大值、最小值解：（1）由已知得或（2）是直线，在轴上的截距，直线与阴影相交，因为，所以它过顶点时，最大，点坐标为（，7），于是的最大值为如果，则通过点时，最小，此时值为；如果，则通过时取最小值为5设函数，试求函数的图像与轴所围成图形中的封闭部分的面积解：函数的图像如解析图的实线部分所示所求的封闭部分的面积为6平面直角坐标系内有，顶点坐标为两平行直线之间与公共部分的面积记为则当变化时，求的最大值解：由相似性计算公共部分面积：，由于，则当且仅当时取最大值最大值为7甲、乙、丙三种食物的维生素、含量及成本如下表：甲乙丙维生素
19、（单位/千克）600700400维生素（单位/千克）800400500成本（元/千克）1194某食物营养研究所想用千克甲种食物，千克乙种食物，千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56000单位维生素和63000单位维生素（1）用、表示混合物成本（2）确定、的值，使成本最低解：（1）元（2），解之得元，千克，千克时成本最低8某工厂生产、两种产品，已知生产产品要用煤，电力，3个工作日；生产产品要用煤，电力，10个工作日又知生产出产品可获利7万元，生产出产品可获利12万元，现在工厂只有煤，电力，300个工作日，在这种情况下生产，产品各多少千克能获得最大经济效益？解：在题目条件比较
20、复杂时，可将题目中的条件列表产品工作日煤电力利润万元产品3947产品104512设为千克，为千克，为千克，经济效益为万元，则，解之得：产品为20千克，产品为40千克，最大经济效益为428万元9有一批钢管，长度都是4 000，要截成和两种毛坯，且这两种毛坯数量比要大于配套，怎样截最合理？解：设截的根，的根，根据题意，得且作出可行域，如解析图中阴影部分目标函数为，作一组平行直线，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过（0，8）的直线，这时由，为正整数，知（0，8）不是最优解在可行域内找整点，使可知点（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）均为最优解答：每根钢管截500的2根，
21、600的5根，或截500的3根，600的4根或截500的4根，600的3根或截500的5根，600的2根或截500的6根，600的1根最合理10咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克，乙种饮料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克已知每天原料的使用限额为奶粉3 600克、咖啡2 000克、糖3 000克如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？解：设每天配制甲种饮料杯、乙种饮料杯可获得最大利润，利润总额为元由条件知：变量、满足作出不等式组所表示的可行域（如解析图）作直线，把直线向右上
22、方平移至经过点的位置时，取最大值由方程组：得点坐标答：应每天配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯方可获利最大14.6直线综合运用1如图1426，、是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在、上，则的边长是（ ）ABCD解：设边长为，则，则，所以选2如图1427，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若、分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”已知常数，给出下列命题：若，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；若，且，则“距离坐标”为（）的点有且仅有2个；若，则“距离坐标”为（）的点有且仅有4个上述命题中，正确命题的个数是（
23、 ）A0 B1 C2 D3解：正确，也应有4个，故选C3已知点，求：（1）过点与原点距离为2的直线的方程（2）过点与原点距离最大的直线的方程，最大距离是多少？（3）是否存在过点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由解：（1）显然符合题意，对于一般直线，则原点到直线的距离为，所以直线方程为，综上所述直线方程为或（2）由几何意义可知，原点到垂直于的直线距离最远最远的距离为（3）因为，不存在过点且到原点距离为6的直线4设2阶方矩阵，则矩阵所对应的矩阵变换为：，其意义是把点变换为点，矩阵叫做变换矩阵（1）当变换矩阵时，点，经矩阵变换后得到点分别是，求过点，的直线的点方向式方程（2
24、）当变换矩阵时，若直线上的任意点经矩阵变换后得到的点仍在该直线上，求直线的方程（3）若点经矩阵变换后得到点，且与关于直线对称，求变换矩阵解：（1）.（2）当直线垂直于轴显然不成立设，或，得到：或（3）设5已知过点且斜率为的直线与轴、轴分别交于、，过、作直线的垂线，垂足为、，求四边形面积的最小值解：由题，直线方程为，解得，求中点到直线的距离，再求到直线的距离，得四边形面积与的表达式，从而得四边形的面积的最小值为3.66已知三条直线，直线和直线，且与的距离是（1）求的值；（2）求到的角；（3）能否找到一点，使得点同时满足下列三个条件：是第一象限的点；点到的距离是点到的距离的；点到的距离与点到的距离
25、之比是？若是，求点坐标；若不是，请说明理由解：（1）所以与的距离（2）利用三角公式可得：，所以（3）设点的坐标为，则7已知点和直线，求一点使，且点到的距离等于解：设点的坐标为，则点或为所求的点8已知两直线和的交点为（2，3），求过两点的直线方程解：，所以，在上过两点有且仅有一条直线，所以直线方程为9某市现有自市中心通往正西和东北方向的两条主要公路，为了解决交通拥挤问题，市政府决定修一条环城路，分别在通往正西和东北方向的公路上选取，两点，使环城公路在，间为线段，要求环城路段与中心的距离为，且使，间的距离最小，请你确定，两点的最佳位置（不要求作近似计算）解：建立直角坐标系解题，两点的最佳位置是离市中心均为处10在直线方程中，当，求此直线方程解：设，或解得：直线方程为或11已知两点，（1）求直线的斜率是与倾斜角（2）求直线的方程（3）已知实数，求直线的倾斜角的取值范围解：（1）当时，直线的斜率不存在，倾斜角当时，当时，当时，（2）当时，当时，（3）当时，；当时，故综合、得，直线的倾斜角
