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2018年上海市普陀区中考数学一模试卷含答案解析.doc

1、2018 年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分)下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上1. 下列函数中,y 关于 x 的二次函数是() Ay=ax2+bx+cBy=x(x1)C Dy=(x1)2x2【分析】根据二次函数的定义,逐一分析四个选项即可得出结论【解答】解:A、当 a=0 时,y=bx+c 不是二次函数;B、y=x(x1)=x2x 是二次函数;C、y=不是二次函数;D、y=(x1)2x2=2x+1 为一次函数 故选:B【点评】本题考查了二次函数的定义,牢记二次函数的定义是解题的关键

2、2. 在 RtABC 中,C=90,AC=2,下列结论中,正确的是() AAB=2sinABAB=2cosACBC=2tanADBC=2cotA【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案【解答】解:C=90,AC=2,cosA= =, 故 AB=,故选项 A,B 错误;tanA=,则 BC=2tanA,故选项 C 正确; 则选项 D 错误故选:C【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系,正确将记忆锐角三角函数关系是解题关键3. 如图,在ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 的反向延长线上,下面比例式中,不能判断 EDBC 的是()ABCD【分析】根据平行线分线段成比例定理,对各选项

3、进行逐一判断即可【解答】解:A当时,能判断 EDBC;B. 当时,能判断 EDBC;C. 当时,不能判断 EDBC;D. 当时,能判断 EDBC; 故选:C【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理,如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边4. 已知,下列说法中,不正确的是()A B与方向相同C D【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案,注意掌握排除法在选择题中的应用【解答】解:A、错误应该是5=;B、正确因为,所以与的方向相同;C、正确因为,所以;D、正确因为,所以|=5|; 故选:A【点评】本题考查了平面向量,注意,

4、平面向量既有大小,又由方向,平行向量, 也叫共线向量,是指方向相同或相反的非零向量零向量和任何向量平行5. 如图,在平行四边形 ABCD 中,F 是边 AD 上的一点,射线 CF 和 BA 的延长线交于点 E,如果,那么的值是()A B C D【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可【解答】解:在平行四边形 ABCD 中,AECD,EAFCDF,AFBC,EAFEBC,=, 故选:D【点评】此题考查相似三角形的判定和性质,综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键6. 如图,已知 AB 和 CD 是O 的两条等弦OM AB,ONCD,垂足分别为点 M、N,BA、DC 的延长线交于点

5、 P,联结 OP下列四个说法中:;OM=ON;PA=PC;BPO=DPO,正确的个数是()A1B2C3D4【分析】如图连接 OB、OD,只要证明 RtOMBRtOND,RtOPMRtOPN 即可解决问题【解答】解:如图连接 OB、OD;AB=CD,=,故正确OMAB,ONCD,AM=MB,CN=ND,BM=DN,OB=OD,RtOMBRtOND,OM=ON,故正确,OP=OP,RtOPMRtOPN,PM=PN,OPB=OPD,故正确,AM=CN,PA=PC,故正确, 故选:D【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三

6、角形解决问题,属于中考常考题型二填空题(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分)7 如 果 = , 那么= 【分析】利用比例的性质由 =得到 =,则可设 a=2t,b=3t,然后把 a=2t,b=3t 代入中进行分式的运算即可【解答】解:=,=,设 a=2t,b=3t,=故答案为【点评】本题考查了比例的性质:常用的性质有:内项之积等于外项之积;合比性质;分比性质;合分比性质;等比性质8已知线段 a=4 厘米,b=9 厘米,线段 c 是 线段 a 和线段 b 的比例中项,线段 c 的长度等于 6厘米【分析】根据比例中项的定义,列出比例式即可得出中项,注意线段不能为负【解答】解:根据比例

7、中项的概念结合比例的基本性质,得:比例中项的平方等于两条线段的乘积所以 c2=49,解得 c=6(线段是正数,负值舍去),c=6cm,故 答案为:6【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识,解题的关键是熟练掌握基本概念, 属于中考常考题型9化简: = 4 +7【分析】根据屏幕绚丽的加法法则计算即可【解答】解:=4+6=4+7,故答案为;【点评】本题考查平面向量的加减法则,解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则,注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律,适合去括号法则10. 在直角坐标系平面内,抛物线 y=3x2+2x 在对称轴的左侧部分是 下降的(填“上升”或“下降”)【分析】由抛物线解析式

8、可求得其开口方向,再结合二次函数的增减性则可求得答案【解答】解:在 y=3x2+2x 中,a=30,抛物线开口向上,在对称轴左侧部分 y 随 x 的增大而减小,即图象是下降的, 故答案为:下降【点评】本题主要考查二次函数的性质,利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键11. 二次函数 y=(x1)23 的图象 与 y 轴的交点坐标是 (0,2)【分析】求自变量为 0 时的函数值即可得到二次函数的图象与 y 轴的交点坐标【解答】解:把 x=0 代入 y=(x1)23 得 y=13=2, 所以该二次函数的图象与 y 轴的交点坐标为(0,2),故答案为(0,2)【点评】本题考查了二次函数

9、图象上点的坐标特征,在 y 轴上的点的横坐标为 012. 将抛物线 y=2x2 平移,使顶点移动到点 P(3,1)的位置,那么平移后所得新抛物线的表达式是y=2(x+3)2+1【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变,然后根据顶点式写出新抛物线解析式【解答】解:抛物线 y=2x2 平移,使顶点移到点 P(3,1)的位置,所得新抛物线的表达式为 y=2(x+3)2+1故答案为:y=2(x+3)2+1【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变, 故 a 不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二

10、是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式13. 在直角坐标平面内有一点 A(3,4),点 A 与原点 O 的连线与 x 轴的正半轴夹角为,那么角的余弦值是 【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解【解答】解:在直角坐标平面内有一点 A(3,4),OA= =5,cos= 故答案为:【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识,此题比较简单,易于掌握14. 如图,在ABC 中,AB=AC,点 D、E 分别在边BC、AB 上,且ADE=B,如果 DE:AD=2:5,BD=3,那么 AC= ,【分析】根据ADE=B,EAD=DAB,得

11、出AEDABD,利用相似三角形的性质解答即可【解答】解:ADE=B,EAD=DAB,AEDABD,即,AB= ,AB=AC,AC= ,故答案为:,【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质关键是要懂得找相似三角形,利用相似三角形的性质求解15. 如图,某水库大坝的横断面是梯形 ABCD,坝顶宽 AD=6 米,坝高是 20 米,背水坡 AB 的坡角为 30,迎水坡 CD 的坡度为 1:2,那么坝底 BC 的长度等于 (46+20 ) 米(结果保留根号)【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线 AE、DF,得到两个直角三角形和一个矩形,分别解 RtABE、RtDCF 求得线段 BE、CF 的长,然后

12、与EF 相加即可求得 BC 的长【解答】解:如图,作 AEBC,DFBC,垂足分别为点 E,F,则四边形 ADFE 是矩形由题意得,EF=AD=6 米,AE=DF=20 米,B=30,斜坡 CD 的坡度为 1: 2,在 RtABE 中,B=30,BE=AE=20 米在 RtCFD 中,=,CF=2DF=40 米,BC=BE+EF+FC=20+6+40=46+20(米)所以坝底 BC 的长度等于(46+20)米 故答案为(46+20)【点评】此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题,难度适中,解答本题的关键是构造直角三角形和矩形,注意理解坡度与坡角的定义16. 已知 RtABC 中,C=90,A

13、C=3,BC=,CDAB,垂足为点 D, 以点 D 为圆心作D,使得点 A 在D 外,且点 B 在D 内设D 的半径为 r,那么 r 的取值范围是 【分析】先根据勾股定理求出 AB 的长,进而得出 CD 的长,由点与圆的位置关系即可得出结论【解答】解:RtABC 中,ACB=90,AC=3,BC=,AB= =4CDAB,CD=ADBD=CD2,设 AD=x,BD=4x 解得 x=点 A 在圆外,点 B 在圆内,r 的范围是,故答案为:【点评】本题考查的是点与圆的位置关系,熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键17. 如图,点 D 在ABC 的边 BC 上,已知点 E、点 F 分别为ABD 和

14、ADC 的重心,如 果 BC=12,那么两个三角形重心之间的距离 EF 的长等于 4【分析】连接 AE 并延长交 BD 于 G,连接 AF 并延长交 CD 于 H,根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答【解答】解:如图,连接 AE 并延长交 BD 于 G,连接 AF 并延长交 CD 于 H,点 E、F 分别是ABD 和ACD 的重心,DG=BD,DH=CD,AE=2GE,AF=2HF,BC=12,GH=DG+DH= (BD+CD)= BC= 12=6,AE=2GE,AF=2HF,EAF=GAH,EAFGAH,=,EF=4,故答案为:4【点评】本题考查了三角形重心的概念和性质,三角形的重心

15、是三角形中线的交点,三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的 2 倍18. 如图,ABC 中,AB=5,AC=6,将ABC 翻折,使得点 A 落到边 BC 上的点 A处,折痕分别交边 AB、AC 于点 E,点 F,如果 AFAB,那么 BE= 【分析】设 BE=x,则 AE=5x=AF=AF,CF=6(5x)=1+x,依据ACFBCA,可得=,即 =,进而得到 BE=【解答】解:如图,由折叠可得,AFE=AFE,AFAB,AEF=AFE,AEF=AFE,AE=AF,由折叠可得,AF=AF,设 BE=x,则 AE=5x=AF=AF,CF=6(5x)=1+x,AFAB,ACFBCA,=,即=

16、 , 解得 x=,BE=,故答案为:【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用,折叠是一种对称变换,它属于轴对称, 折叠前后图形的形状和大小不变,对应边和对应角相等三、解答题(本大题共 7 题,满分 78 分)19(10 分)计算: 45【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入化简得出答案 【解答】解:原式= 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值,正确记忆相关数据是解题关键 20 (10 分)已知一个二次函数的图象经过 A(0,3),B(1,0),C(m,2m+3),D(1,2)四点,求这个函数解析式以及点 C 的坐标【分析】设一般式 y=ax2+bx+c,把 A、B

17、、D 点的坐标 代入得,然后 解法组即可得到抛物线的解析式,再把 C(m,2m+3)代入解析式得到关于 m 的方程,解关于 m 的方程可确定 C 点坐标【解答】解:设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c,把 A(0,3),B(1,0),D(1,2)代入得,解得,抛物线的解析式为 y=2x2+x3,把 C(m,2m+3)代入得 2m2+m3=2m+3,解得 m1=,m2=2,C 点坐标为(,0)或(2,7)【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式

18、,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与 x 轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解21(10 分)如图,已知O 经过ABC 的顶点 A、B,交边 BC 于点 D,点A 恰为的中点,且 BD=8,AC=9,sinC= ,求O 的半径【分析】如图,连接 OA交 BC 于 H首先证明 OABC,在 RtACH 中, 求出 AH,设O 的半径为 r,在 RtBOH 中,根据 BH2+OH2=OB2,构建方程即可解决问题;【解答】解:如图,连接 OA交 BC 于 H点 A 为的中点,OABD,BH=DH=4,AHC=BHO=

19、90,sinC= ,AC=9,AH=3,设O 的半径为 r,在 RtBOH 中,BH2+OH2=OB2,42+(r3)2=r2,r=,O 的半径为【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题22(10 分)下面是一位同学的一道作图题:已知线段 a、b、c(如图),求作线段 x,使 a:b=c:x他的作法如下:(1) 、以点 O 为端点画射线 OM,ON(2) 、在 OM 上依次截取 OA=a,AB=b(3) 、在 ON 上截取 OC=c(4) 、联结 AC,过点 B 作 BDAC,交 ON 于点D所以:线段

20、 CD就是所求的线段 x试将结论补完整这位同学作图的依据是 平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线),所得对应线段成比例如果 OA=4,AB=5,试用向量表示向量【分析】根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得;根据“平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线),所得对应线段成比例”可得;先证OACOBD 得=,即 BD= AC,从而知=【解答】解:根据作图知,线段 CD 就是所求的线段 x, 故答案为:CD;这位同学作图的依据是:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线),所得对应线段成比例;故答案为:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线),所得对应线段

21、成比例;OA=4、AB=5,且 BDAC,OACOBD,=,即= ,BD=AC,=【点评】本题主要考查作图复杂作图,解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算23(12 分)已知:如图,四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相 交于点E,AD=DC,DC2=DEDB,求证:(1) BCEADE;(2) ABBC=BDBE【分析】(1)由DAC=DCA,对顶角AED=BEC,可证BCEADE(2)根据相似三角形判定得出ADEBDA,进而得出BCEBDA, 利用相似三角形的性质解答即可【解答】证明:(1)AD=DC,DAC=DCA,DC2=DEDB,=,CDE=BDC,CDEBDC,D

22、CE=DBC,DAE=EBC,AED=BEC,BCEADE,(2)DC2=DEDB,AD=DCAD2=DEDB,同法可得ADEBDA,DAE=ABD=EBC,BCEADE,ADE=BCE,BCEBDA,=,ABBC=BDBE【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质关键是要懂得找相似三角形,利用相似三角形的性质求解24(12 分)如图,已知在平面直角坐标系中,已知抛物线 y=ax2+2ax+c(其中 a、c 为常数,且 a0)与 x 轴交于点 A,它的坐标是(3,0),与 y轴交于点 B,此抛物线顶点 C 到 x 轴的距离为 4(1) 求抛物线的表达式;(2) 求CAB 的正切值;(3) 如果点

23、 P 是抛物线上的一点,且ABP=CAO,试直接写出点 P 的坐标【分析】(1)先求得抛物线的对称轴方程,然后再求得点 C 的坐标,设抛物线的解析式为 y=a(x+1)2+4,将点(3,0)代入求得 a 的值即可;(2) 先求得 A、B、C 的坐标,然后依据两点间的距离公式可得到 BC、AB、AC 的长,然后依据勾股定理的逆定理可证明ABC=90,最后,依据锐角三角函数的定义求解即可;(3) 记抛物线与 x 轴的另一个交点为 D先求得 D(1,0),然后再证明DBO=CAB,从而可证明CAO=ABD,故此当点 P 与点 D 重合时,ABP=CAO;当点 P 在 AB 的上时过点 P 作 PEA

24、O,过点 B 作 BFAO,则PEBF先证明EPB=CAB,则 tanEPB=,设 BE=t,则 PE=3t,P(3t,3+t),将 P(3t,3+t)代入抛物线的解析式可求得 t 的值,从而可得到点 P 的坐标【解答】解:(1)抛物线的对称轴为 x=1a0,抛物线开口向下又抛物线与 x 轴有交点,C 在 x 轴的上方,抛物线的顶点坐标为(1,4)设抛物线的解析式为 y=a(x+1)2+4,将点(3,0)代入得:4a+4=0,解得:a=1,抛物线的解析式为 y=x22x+3(2) 将 x=0 代入抛物线的解析式得:y=3,B(0,3)C(1,4)、B(0,3)、A(3,0),BC=,AB=3

25、,AC=2 ,BC2+AB2=AC2,ABC=90tanCAB= (3) 如图 1 所示:记抛物线与 x 轴的另一个交点为 D点 D 与点 A 关于 x=1 对称,D(1,0)tanDBO= 又由(2)可知:tanCAB=DBO=CAB 又OB=OA=3,BAO=ABOCAO=ABD当点 P 与点 D 重合时,ABP=CAO,P (1,0)如图 2 所示:当点 P 在 AB 的上时过点P 作 PEAO,过点 B 作 BFAO, 则 PEBFBFAO,BAO=FBA 又CAO=ABP,PBF= CAB 又PEBF,EPB=PBF,EPB=CABtanEPB= 设 BE=t,则 PE=3t,P(3

26、t,3+t)将 P(3t,3+t)代入抛物线的解析式得:y=x22x+3 得:9t2+6t+3=3+t,解得 t=0(舍去)或 t=P(,)综上所述,点 P 的坐标为 P(1,0)或 P(,)【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应 用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义,用含 t 的式子表示点 P 的坐标是解题的关键25(14 分)如图 1,BAC 的余切值为 2,AB=2,点 D 是线段 AB 上的一动点(点 D 不与点 A、B 重合),以点 D 为顶点的正方形 DEFG 的另两个顶点 E、F 都在射线 AC 上,且点

27、 F 在点 E 的右侧,联结 BG,并延长 BG, 交射线 EC 于点 P(1) 点 D 在运动时, 下列的线段和角中, 是始终保持不变的量(填序号);AF;FP;BP;BDG;GAC;BPA;(2) 设正方形的边长为 x,线段 AP 的长为 y,求 y 与 x 之间的函数关系式, 并写出定义域;(3) 如果PFG 与AFG 相似,但面积不相等,求此时正方形的边长【分析】(1)作 BMAC 于 M,交 DG 于 N,如图,利用三角函数的定义得到=2,设 BM=t,则 AM=2t,利用勾股定理得(2t)2+t2=(2)2,解得t=2,即 BM=2,AM=4,设正方形的边长为 x,则 AE=2x,

28、AF=3x,由于tanGAF= =,则可判断GAF 为定值;再利用 DGAP 得到BDG=BAC,则可判断BDG 为定值;在 RtBMP 中,利用勾股定理和三角函数可判断 PB 在变化,BPM 在变化,PF 在变化;(2) 易得四边形DEMN 为矩形,则 NM=DE=x,证明BDGBAP,利用相似比可得到 y 与 x 的关系式;(3) 由于AFG=PFG=90,PFG 与AFG 相似,且面积不相等,利用相似比得到 PF=x,讨论:当点 P 在点 F 点右侧时,则 AP=x,所以= x,当点 P 在点 F 点左侧时,则 AP=x,所以 = x,然后分别解方程即可得到正方形的边长【解答】解:(1)

29、作 BMAC 于 M,交 DG 于 N,如图 ,在 RtABM 中,cotBAC=2,设 BM=t,则 AM=2t,AM2+BM2=AB2,(2t)2+t2=(2 )2,解得 t=2,BM=2,AM=4,设正方形的边长为 x,在 RtADE 中,cotDAE=2,AE=2x,AF=3x,在 RtGAF 中,tanGAF= ,GAF 为 定值;DGAP,BDG=BAC,BDG 为定值;在 RtBMP 中,PB=, 而 PM 在变化,PB 在变化,BPM 在变化,PF 在变化,所以BDG 和GAC 是始终保持不变的量; 故答案为;(2) 易得四边形 DEMN 为矩形,则 NM=DE=x,DGAP,BDGBAP,=,即=,y=(1x2)(3) AFG=PFG=90,PFG 与AFG 相似,且面积不相等,=,即= ,PF=x,当点 P 在点 F 点右侧时,AP=x,=x, 解得 x=,当点 P 在点 F 点左侧时,AP=AFPF=3xx= x,=x, 解得 x=,综上所 述,正方形的边长为或【点评】本题考查了相似形综合题:熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质

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