1、2018 年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上1. 下列函数中，y 关于 x 的二次函数是（） Ay=ax2+bx+cBy=x（x1）C Dy=（x1）2x2【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论【解答】解：A、当 a=0 时，y=bx+c 不是二次函数；B、y=x（x1）=x2x 是二次函数；C、y=不是二次函数；D、y=（x1）2x2=2x+1 为一次函数 故选：B【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键
2、2. 在 RtABC 中，C=90，AC=2，下列结论中，正确的是（） AAB=2sinABAB=2cosACBC=2tanADBC=2cotA【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案【解答】解：C=90，AC=2，cosA= =， 故 AB=，故选项 A，B 错误；tanA=，则 BC=2tanA，故选项 C 正确； 则选项 D 错误故选：C【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确将记忆锐角三角函数关系是解题关键3. 如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 的反向延长线上，下面比例式中，不能判断 EDBC 的是（）ABCD【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各选项
3、进行逐一判断即可【解答】解：A当时，能判断 EDBC；B. 当时，能判断 EDBC；C. 当时，不能判断 EDBC；D. 当时，能判断 EDBC； 故选：C【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边4. 已知，下列说法中，不正确的是（）A B与方向相同C D【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用【解答】解：A、错误应该是5=；B、正确因为，所以与的方向相同；C、正确因为，所以；D、正确因为，所以|=5|； 故选：A【点评】本题考查了平面向量，注意，
4、平面向量既有大小，又由方向，平行向量， 也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量零向量和任何向量平行5. 如图，在平行四边形 ABCD 中，F 是边 AD 上的一点，射线 CF 和 BA 的延长线交于点 E，如果，那么的值是（）A B C D【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，AECD，EAFCDF，AFBC，EAFEBC，=， 故选：D【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键6. 如图，已知 AB 和 CD 是O 的两条等弦OM AB，ONCD，垂足分别为点 M、N，BA、DC 的延长线交于点
5、 P，联结 OP下列四个说法中：；OM=ON；PA=PC；BPO=DPO，正确的个数是（）A1B2C3D4【分析】如图连接 OB、OD，只要证明 RtOMBRtOND，RtOPMRtOPN 即可解决问题【解答】解：如图连接 OB、OD；AB=CD，=，故正确OMAB，ONCD，AM=MB，CN=ND，BM=DN，OB=OD，RtOMBRtOND，OM=ON，故正确，OP=OP，RtOPMRtOPN，PM=PN，OPB=OPD，故正确，AM=CN，PA=PC，故正确， 故选：D【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三
6、角形解决问题，属于中考常考题型二填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7 如 果 = ， 那么= 【分析】利用比例的性质由 =得到 =，则可设 a=2t，b=3t，然后把 a=2t，b=3t 代入中进行分式的运算即可【解答】解：=，=，设 a=2t，b=3t，=故答案为【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质8已知线段 a=4 厘米，b=9 厘米，线段 c 是 线段 a 和线段 b 的比例中项，线段 c 的长度等于 6厘米【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负【解答】解：根据比例
7、中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积所以 c2=49，解得 c=6（线段是正数，负值舍去），c=6cm，故 答案为：6【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念， 属于中考常考题型9化简： = 4 +7【分析】根据屏幕绚丽的加法法则计算即可【解答】解：=4+6=4+7，故答案为；【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则10. 在直角坐标系平面内，抛物线 y=3x2+2x 在对称轴的左侧部分是 下降的（填“上升”或“下降”）【分析】由抛物线解析式
8、可求得其开口方向，再结合二次函数的增减性则可求得答案【解答】解：在 y=3x2+2x 中，a=30，抛物线开口向上，在对称轴左侧部分 y 随 x 的增大而减小，即图象是下降的， 故答案为：下降【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键11. 二次函数 y=（x1）23 的图象 与 y 轴的交点坐标是 （0，2）【分析】求自变量为 0 时的函数值即可得到二次函数的图象与 y 轴的交点坐标【解答】解：把 x=0 代入 y=（x1）23 得 y=13=2， 所以该二次函数的图象与 y 轴的交点坐标为（0，2），故答案为（0，2）【点评】本题考查了二次函数
9、图象上点的坐标特征，在 y 轴上的点的横坐标为 012. 将抛物线 y=2x2 平移，使顶点移动到点 P（3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是y=2（x+3）2+1【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式【解答】解：抛物线 y=2x2 平移，使顶点移到点 P（3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为 y=2（x+3）2+1故答案为：y=2（x+3）2+1【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变， 故 a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二
10、是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式13. 在直角坐标平面内有一点 A（3，4），点 A 与原点 O 的连线与 x 轴的正半轴夹角为，那么角的余弦值是 【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解【解答】解：在直角坐标平面内有一点 A（3，4），OA= =5，cos= 故答案为：【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握14. 如图，在ABC 中，AB=AC，点 D、E 分别在边BC、AB 上，且ADE=B，如果 DE：AD=2：5，BD=3，那么 AC= ，【分析】根据ADE=B，EAD=DAB，得
11、出AEDABD，利用相似三角形的性质解答即可【解答】解：ADE=B，EAD=DAB，AEDABD，即，AB= ，AB=AC，AC= ，故答案为：，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解15. 如图，某水库大坝的横断面是梯形 ABCD，坝顶宽 AD=6 米，坝高是 20 米，背水坡 AB 的坡角为 30，迎水坡 CD 的坡度为 1：2，那么坝底 BC 的长度等于 （46+20 ） 米（结果保留根号）【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线 AE、DF，得到两个直角三角形和一个矩形，分别解 RtABE、RtDCF 求得线段 BE、CF 的长，然后
12、与EF 相加即可求得 BC 的长【解答】解：如图，作 AEBC，DFBC，垂足分别为点 E，F，则四边形 ADFE 是矩形由题意得，EF=AD=6 米，AE=DF=20 米，B=30，斜坡 CD 的坡度为 1： 2，在 RtABE 中，B=30，BE=AE=20 米在 RtCFD 中，=，CF=2DF=40 米，BC=BE+EF+FC=20+6+40=46+20（米）所以坝底 BC 的长度等于（46+20）米 故答案为（46+20）【点评】此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义16. 已知 RtABC 中，C=90，A
13、C=3，BC=，CDAB，垂足为点 D， 以点 D 为圆心作D，使得点 A 在D 外，且点 B 在D 内设D 的半径为 r，那么 r 的取值范围是 【分析】先根据勾股定理求出 AB 的长，进而得出 CD 的长，由点与圆的位置关系即可得出结论【解答】解：RtABC 中，ACB=90，AC=3，BC=，AB= =4CDAB，CD=ADBD=CD2，设 AD=x，BD=4x 解得 x=点 A 在圆外，点 B 在圆内，r 的范围是，故答案为：【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键17. 如图，点 D 在ABC 的边 BC 上，已知点 E、点 F 分别为ABD 和
14、ADC 的重心，如 果 BC=12，那么两个三角形重心之间的距离 EF 的长等于 4【分析】连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答【解答】解：如图，连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H，点 E、F 分别是ABD 和ACD 的重心，DG=BD，DH=CD，AE=2GE，AF=2HF，BC=12，GH=DG+DH= （BD+CD）= BC= 12=6，AE=2GE，AF=2HF，EAF=GAH，EAFGAH，=，EF=4，故答案为：4【点评】本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心
15、是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的 2 倍18. 如图，ABC 中，AB=5，AC=6，将ABC 翻折，使得点 A 落到边 BC 上的点 A处，折痕分别交边 AB、AC 于点 E，点 F，如果 AFAB，那么 BE= 【分析】设 BE=x，则 AE=5x=AF=AF，CF=6（5x）=1+x，依据ACFBCA，可得=，即 =，进而得到 BE=【解答】解：如图，由折叠可得，AFE=AFE，AFAB，AEF=AFE，AEF=AFE，AE=AF，由折叠可得，AF=AF，设 BE=x，则 AE=5x=AF=AF，CF=6（5x）=1+x，AFAB，ACFBCA，=，即=
16、 ， 解得 x=，BE=，故答案为：【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称， 折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19（10 分）计算： 45【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入化简得出答案 【解答】解：原式= 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 20 （10 分）已知一个二次函数的图象经过 A（0，3），B（1，0），C（m，2m+3），D（1，2）四点，求这个函数解析式以及点 C 的坐标【分析】设一般式 y=ax2+bx+c，把 A、B
17、、D 点的坐标 代入得，然后 解法组即可得到抛物线的解析式，再把 C（m，2m+3）代入解析式得到关于 m 的方程，解关于 m 的方程可确定 C 点坐标【解答】解：设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把 A（0，3），B（1，0），D（1，2）代入得，解得，抛物线的解析式为 y=2x2+x3，把 C（m，2m+3）代入得 2m2+m3=2m+3，解得 m1=，m2=2，C 点坐标为（，0）或（2，7）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式
18、，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解21（10 分）如图，已知O 经过ABC 的顶点 A、B，交边 BC 于点 D，点A 恰为的中点，且 BD=8，AC=9，sinC= ，求O 的半径【分析】如图，连接 OA交 BC 于 H首先证明 OABC，在 RtACH 中， 求出 AH，设O 的半径为 r，在 RtBOH 中，根据 BH2+OH2=OB2，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，连接 OA交 BC 于 H点 A 为的中点，OABD，BH=DH=4，AHC=BHO=
19、90，sinC= ，AC=9，AH=3，设O 的半径为 r，在 RtBOH 中，BH2+OH2=OB2，42+（r3）2=r2，r=，O 的半径为【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题22（10 分）下面是一位同学的一道作图题：已知线段 a、b、c（如图），求作线段 x，使 a：b=c：x他的作法如下：（1） 、以点 O 为端点画射线 OM，ON（2） 、在 OM 上依次截取 OA=a，AB=b（3） 、在 ON 上截取 OC=c（4） 、联结 AC，过点 B 作 BDAC，交 ON 于点D所以：线段
20、 CD就是所求的线段 x试将结论补完整这位同学作图的依据是 平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例如果 OA=4，AB=5，试用向量表示向量【分析】根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；先证OACOBD 得=，即 BD= AC，从而知=【解答】解：根据作图知，线段 CD 就是所求的线段 x， 故答案为：CD；这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段
21、成比例；OA=4、AB=5，且 BDAC，OACOBD，=，即= ，BD=AC，=【点评】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算23（12 分）已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相 交于点E，AD=DC，DC2=DEDB，求证：（1） BCEADE；（2） ABBC=BDBE【分析】（1）由DAC=DCA，对顶角AED=BEC，可证BCEADE（2）根据相似三角形判定得出ADEBDA，进而得出BCEBDA， 利用相似三角形的性质解答即可【解答】证明：（1）AD=DC，DAC=DCA，DC2=DEDB，=，CDE=BDC，CDEBDC，D
22、CE=DBC，DAE=EBC，AED=BEC，BCEADE，（2）DC2=DEDB，AD=DCAD2=DEDB，同法可得ADEBDA，DAE=ABD=EBC，BCEADE，ADE=BCE，BCEBDA，=，ABBC=BDBE【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解24（12 分）如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+2ax+c（其中 a、c 为常数，且 a0）与 x 轴交于点 A，它的坐标是（3，0），与 y轴交于点 B，此抛物线顶点 C 到 x 轴的距离为 4（1） 求抛物线的表达式；（2） 求CAB 的正切值；（3） 如果点
23、 P 是抛物线上的一点，且ABP=CAO，试直接写出点 P 的坐标【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点 C 的坐标，设抛物线的解析式为 y=a（x+1）2+4，将点（3，0）代入求得 a 的值即可；（2） 先求得 A、B、C 的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到 BC、AB、AC 的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明ABC=90，最后，依据锐角三角函数的定义求解即可；（3） 记抛物线与 x 轴的另一个交点为 D先求得 D（1，0），然后再证明DBO=CAB，从而可证明CAO=ABD，故此当点 P 与点 D 重合时，ABP=CAO；当点 P 在 AB 的上时过点 P 作 PEA
24、O，过点 B 作 BFAO，则PEBF先证明EPB=CAB，则 tanEPB=，设 BE=t，则 PE=3t，P（3t，3+t），将 P（3t，3+t）代入抛物线的解析式可求得 t 的值，从而可得到点 P 的坐标【解答】解：（1）抛物线的对称轴为 x=1a0，抛物线开口向下又抛物线与 x 轴有交点，C 在 x 轴的上方，抛物线的顶点坐标为（1，4）设抛物线的解析式为 y=a（x+1）2+4，将点（3，0）代入得：4a+4=0，解得：a=1，抛物线的解析式为 y=x22x+3（2） 将 x=0 代入抛物线的解析式得：y=3，B（0，3）C（1，4）、B（0，3）、A（3，0），BC=，AB=3
25、，AC=2 ，BC2+AB2=AC2，ABC=90tanCAB= （3） 如图 1 所示：记抛物线与 x 轴的另一个交点为 D点 D 与点 A 关于 x=1 对称，D（1，0）tanDBO= 又由（2）可知：tanCAB=DBO=CAB 又OB=OA=3，BAO=ABOCAO=ABD当点 P 与点 D 重合时，ABP=CAO，P （1，0）如图 2 所示：当点 P 在 AB 的上时过点P 作 PEAO，过点 B 作 BFAO， 则 PEBFBFAO，BAO=FBA 又CAO=ABP，PBF= CAB 又PEBF，EPB=PBF，EPB=CABtanEPB= 设 BE=t，则 PE=3t，P（3
26、t，3+t）将 P（3t，3+t）代入抛物线的解析式得：y=x22x+3 得：9t2+6t+3=3+t，解得 t=0（舍去）或 t=P（，）综上所述，点 P 的坐标为 P（1，0）或 P（，）【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应 用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含 t 的式子表示点 P 的坐标是解题的关键25（14 分）如图 1，BAC 的余切值为 2，AB=2，点 D 是线段 AB 上的一动点（点 D 不与点 A、B 重合），以点 D 为顶点的正方形 DEFG 的另两个顶点 E、F 都在射线 AC 上，且点
27、 F 在点 E 的右侧，联结 BG，并延长 BG， 交射线 EC 于点 P（1） 点 D 在运动时， 下列的线段和角中， 是始终保持不变的量（填序号）；AF；FP；BP；BDG；GAC；BPA；（2） 设正方形的边长为 x，线段 AP 的长为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式， 并写出定义域；（3） 如果PFG 与AFG 相似，但面积不相等，求此时正方形的边长【分析】（1）作 BMAC 于 M，交 DG 于 N，如图，利用三角函数的定义得到=2，设 BM=t，则 AM=2t，利用勾股定理得（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，即 BM=2，AM=4，设正方形的边长为 x，则 AE=2x，
28、AF=3x，由于tanGAF= =，则可判断GAF 为定值；再利用 DGAP 得到BDG=BAC，则可判断BDG 为定值；在 RtBMP 中，利用勾股定理和三角函数可判断 PB 在变化，BPM 在变化，PF 在变化；（2） 易得四边形DEMN 为矩形，则 NM=DE=x，证明BDGBAP，利用相似比可得到 y 与 x 的关系式；（3） 由于AFG=PFG=90，PFG 与AFG 相似，且面积不相等，利用相似比得到 PF=x，讨论：当点 P 在点 F 点右侧时，则 AP=x，所以= x，当点 P 在点 F 点左侧时，则 AP=x，所以 = x，然后分别解方程即可得到正方形的边长【解答】解：（1）
29、作 BMAC 于 M，交 DG 于 N，如图 ，在 RtABM 中，cotBAC=2，设 BM=t，则 AM=2t，AM2+BM2=AB2，（2t）2+t2=（2 ）2，解得 t=2，BM=2，AM=4，设正方形的边长为 x，在 RtADE 中，cotDAE=2，AE=2x，AF=3x，在 RtGAF 中，tanGAF= ，GAF 为 定值；DGAP，BDG=BAC，BDG 为定值；在 RtBMP 中，PB=， 而 PM 在变化，PB 在变化，BPM 在变化，PF 在变化，所以BDG 和GAC 是始终保持不变的量； 故答案为；（2） 易得四边形 DEMN 为矩形，则 NM=DE=x，DGAP，BDGBAP，=，即=，y=（1x2）（3） AFG=PFG=90，PFG 与AFG 相似，且面积不相等，=，即= ，PF=x，当点 P 在点 F 点右侧时，AP=x，=x， 解得 x=，当点 P 在点 F 点左侧时，AP=AFPF=3xx= x，=x， 解得 x=，综上所 述，正方形的边长为或【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质
