1、考研数学终极预测题 一、 选择题: 18小题, 每小题4分, 共3 2分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求. ( 1)设函数f(x)= x 0 dt t 0 tl n(1+u 2) du,g(x)= s i nx 2 0 ( 1-c o st)dt则当x0时,f(x) 是g(x) 的( ) (A)低阶无穷小( B)高阶无穷小 ( C)等价无穷小 ( D)同阶但不等价无穷小 ( 2) 已知f x()= x 2 +a 2 ()x-1() e 1 x +b 在 - ,+ ()上有一个可去间断点和一个跳跃间断点, 则( ) (A) a=1,b=-1 ( B)a=0,b=1 ( C)a0
2、,b=-e ( D)a=e,b=-1 ( 3)设f(x)处处可导, 则 ( ) (A)当l i m x- f x ()=- 时,l i m x- f x ()=- ( B)当l i m x- f x ()=- 时,l i m x- f x ()=- ( C)当l i m x+ f x ()=+ 时,l i m x+ f x ()=+ ( D)当l i m x+ f x ()=+ 时,l i m x+ f x ()=+ ( 4) ( 数一, 数三)对于 n=1 -1 ()n n p + 1 n 3 -p , 下列结论正确的是( ) (A) p0时, 级数收敛 ( B)p1时, 级数收敛 ( C)
3、00 ()所围平面图形绕O x轴旋转一周, 得一旋转体. ()求此旋转体体积V ( ); 并求满足V a()= 1 2 l i m + V( )的a. ()在此曲线上找一点, 使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大, 并求出该 面积. (2 0) ( 本题满分1 1分) ( 数一, 数三)设A为n阶矩阵 ()已知为n维非零列向量, 若存在正函数k, 使A k 0, 但A k+ 1 =0, 则向量组, A , A 2 , , A k 线性无点; ()证明A n x=0与A n+ 1 x=0是同解方程组. ( 数二)求坐标原点到曲线 x 2 +y 2 -z 2 =1 2x-y-z=1 的
4、最短距离. ( 2 1) ( 本题满分1 1分) ( 数一, 数三)设A为三阶矩阵,1,2,3是线性无关的三维列向量, 且满足A 1=1+2+ 3,A 2=22+3,A 3=22+33. ()求矩阵A的特征值; ()问A能否相似对角化?若能, 请求出相似变换矩阵P与对角阵; 若不能, 请说明理由. ( 数二)求微分方程组 dy1 dx =y1 ( 1) dy2 dx =y1+y2+y3 2 () dy3 dx =2y1-y2+3y3 3() 满足初始条件y10()=1, y20 ()=1, y30 ()=1的解. (2 2) ( 本题满分1 1分) ( 数 一,数 三 )设 随 机 变 量X与
5、Y相 互 独 立,且 均 服 从0,3 上 的 均 匀 分 布,记 U= m a xX,Y( ), V= m i nX,Y( ). ()求U的概率密度; ()求E U+V( ). ( 数二)设A= 11 2 -1 1 0 10 1 , B= a4 0 -1 0c 1b1 , 问a,b,c为何值时, 矩阵方程A X=B有解? 有解时求出全部解. ( 2 3) ( 本题满分1 1分) ( 数一, 数三)设随机变量X, Y()的概率密度函数为 f x,y ()= 3x, 0x1,0yx, 0, 其他. 记Z=X-Y. ()求条件概率密度f YX yx ( ); ()求条件概率P X 1 2 Y 1 2 ; ()求Z的概率密度函数. ( 数二)设A为三阶矩阵,1,2,3是线性无关的三维列向量, 且满足A 1=1+2+3, A 2=22+3,A 3=22+33. ()求矩阵A的特征值; ()问A能否相似对角化?若能, 请求出相似变换矩阵P与对角阵: 若不能, 请说明理由.
