1、第第2 2讲空间点、线、面的位置关系讲空间点、线、面的位置关系考情分析考情分析总纲目录考点一 空间线面位置关系的判断考点二 空间平行、垂直关系的证明考点三 空间几何图形的翻折问题考点一空间线面位置关系的判断空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理解决;(2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系,并结合有关定理来进行判断.典型例题典型例题(1)(2017课标全国,6,5分)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()(2)(2017课
2、标全国,10,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1EDC1B.A1EBDC.A1EBC1D.A1EAC答案答案(1)A(2)C解析解析(1)B选项中,ABMQ,且AB平面MNQ,MQ平面MNQ,则AB平面MNQ;C选项中,ABMQ,且AB平面MNQ,MQ平面MNQ,则AB平面MNQ;D选项中,ABNQ,且AB平面MNQ,NQ平面MNQ,则AB平面MNQ.故选A.(2)A1B1平面BCC1B1,BC1平面BCC1B1,A1B1BC1,又BC1B1C,且B1CA1B1=B1,BC1平面A1B1CD,又A1E平面A1B1CD,BC1A1E.故选C.判断空间线面
3、位置关系应注意的问题解决空间点、线、面位置关系的判断题,主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况,以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断,必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断,同时要注意平面几何中的结论不能引用到立体几何中.方法归纳方法归纳跟踪集训跟踪集训1.(2017广东五校协作体第一次诊断考试)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,m,n,则mnB.若m,mn,n,则C.若mn,m,n,则D.若,m,n,则mn答案答案B若,m,n,则m与n相交、平行或异面,故A错误;若mn,m,n,则与有可能相交但不垂直,故C错误
4、;若,m,n,则mn或m,n异面,故D错误.故选B.2.(2017四川成都第二次诊断性检测)已知m,n是空间中两条不同的直线,是两个不同的平面,且m,n,有下列命题:若,则mn;若,则m;若=l,且ml,nl,则;若=l,且ml,mn,则,其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案答案B若,则mn或m,n异面,故不正确;若,根据平面与平面平行的性质,可得m,故正确;直线m,n同时垂直于公共棱,不能推出两个平面垂直,故不正确;若=l,且ml,mn,l与n相交则,若ln,则,不一定垂直.故选B.考点二空间平行、垂直关系的证明1.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判断定理:a,b,
5、aba.(2)线面平行的性质定理:a,a,=bab.(3)面面平行的判断定理:a,b,ab=P,a,b.(4)面面平行的性质定理:,=a,=bab.2.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理:m,n,mn=P,lm,lnl.(2)线面垂直的性质定理:a,bab.(3)面面垂直的判定定理:a,a.(4)面面垂直的性质定理:,=l,a,ala.典型例题典型例题(2017北京,18,14分)如图,在三棱锥P-ABC中,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PABD;(2)求证:平面BDE平面PAC;(3)当PA平面BDE
6、时,求三棱锥E-BCD的体积.解析解析(1)证明:因为PAAB,PABC,ABBC=B,所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC,所以PABD.(2)证明:因为AB=BC,D为AC中点,所以BDAC.由(1)知,PABD,PAAC=A,所以BD平面PAC.所以平面BDE平面PAC.(3)因为PA平面BDE,平面PAC平面BDE=DE,所以PADE.因为D为AC的中点,所以DE=PA=1,BD=DC=.由(1)知,PA平面ABC,所以DE平面ABC.所以三棱锥E-BCD的体积V=BDDCDE=.线面平行及线面垂直的证明方法(1)要证线面平行,主要有两个途径:一是证已知直线与平面内的某直线平行;二
7、是证过已知直线的平面与已知平面平行.在这里转化思想在平行关系上起着重要的作用,在寻找平行关系上,利用中位线、平行四边形等是非常常见的手段.(2)要证线面垂直,关键是在这个平面内能找出两条相交直线和已知直线垂直,即线线垂直线面垂直.结合图形还要注意一些隐含的垂直关系,如等腰三角形的三线合一、菱形的对角线以及经计算得出的垂直关系等.方法归纳方法归纳跟踪集训跟踪集训1.(2017江苏,15,14分)如图,在三棱锥A-BCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD.求证:(1)EF平面ABC;(2)ADAC.证明证明(1)在平面ABD内
8、,因为ABAD,EFAD,所以EFAB.又因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,BC平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD.因为AD平面ABD,所以BCAD.又ABAD,BCAB=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC,所以ADAC.2.(2017河北石家庄质量检测(一)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD为梯形,ADBC,CDBC,AD=2,AB=BC=3,PA=4,M为AD的中点,N为PC上一点,且PC=3PN.(1)求证:MN平面PAB;(2)求点M
9、到平面PAN的距离.解析解析(1)证明:在平面PBC内作NHBC交PB于点H,连接AH,在PBC中,NHBC,且NH=BC=1,M为AD的中点,AM=AD=1.又ADBC,NHAM且NH=AM,四边形AMNH为平行四边形,MNAH,又AH平面PAB,MN平面PAB,MN平面PAB.(2)连接AC,MC,PM,平面PAN即为平面PAC,设点M到平面PAC的距离为h.由题意可得CD=2,AC=2,SPAC=PAAC=4,SAMC=AMCD=,由VM-PAC=VP-AMC,得SPACh=SAMCPA,即4h=4,h=,点M到平面PAN的距离为.考点三空间几何图形的翻折问题平面图形折叠问题的求解方法(
10、1)解决与折叠有关的问题的关键是弄清折叠前后的变化量和不变量,一般情况下,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口.(2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形.典型例题典型例题(2016课标全国,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.(1)证明:ACHD;(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD=2,求五棱锥D-ABCFE的体积.解析解析(1)证明:由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得=,故AC
11、EF.由此得EFHD,EFHD,所以ACHD.(2)由EFAC得=.由AB=5,AC=6得DO=BO=4.所以OH=1,DH=DH=3.于是OD2+OH2=(2)2+12=9=DH2,故ODOH.由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC平面BHD,于是ACOD.又由ODOH,ACOH=O,所以OD平面ABC.又由=得EF=.五边形ABCFE的面积S=68-3=.所以五棱锥D-ABCFE的体积V=2=.方法归纳方法归纳立体几何中的翻折问题通常有一定的难度,在解题时,要注意翻折过程中哪些量发生了变化,哪些量没有发生变化,在本题中,原菱形ABCD的性质(即对角线互相垂直)要充分利用,还
12、要通过计算,借助勾股定理的逆定理证明垂直,这就要求必须弄清翻折前后线段之间的关系,这也是破解此题的关键.跟踪集训跟踪集训如图1,在直角梯形ABCD中,ADC=90,CDAB,AD=CD=AB=2,点E为AC中点,将ADC沿AC折起,使平面ADC平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示.(1)在CD上找一点F,使AD平面EFB;(2)求点C到平面ABD的距离.1.解析(1)如图,取CD的中点F,连接EF,BF,在ACD中,E、F分别为AC,CD的中点,EF为ACD的中位线,ADEF,EF平面EFB,AD平面EFB,AD平面EFB.(2)设点C到平面ABD的距离为h,平面ADC平面ABC,且B
13、CAC(AC=2,BC=2,AB=4=),BC平面ADC,BCAD,又ADCD,CDBC=C,AD平面BCD,ADBD,又AD=CD=AB=2,BD=2,SABD=ADBD=2.三棱锥B-ACD的高BC=2,SACD=ADCD=2,又VC-ABD=VB-ADC,即2h=22,解得h=.即点C到平面ABD的距离为.(2)求三棱锥P-MAC的体积.(2017陕西宝鸡质量检测(一)如图,在四棱锥A-PCBM中,四边形PCBM是直角梯形,PCB=90,PMBC,PM=1,BC=2,且AC=1,ACB=120,ABPC,AM=2.(1)求证:平面PAC平面ABC;随堂检测随堂检测解析解析(1)证明:由P
14、CB=90得PCCB.又ABPC,ABBC=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以PC平面ABC.又PC平面PAC,所以平面PAC平面ABC.(2)在平面PCBM内,过点M作MNBC于点N,连接AN,则CN=PM=1,又PMBC,所以四边形PMNC为平行四边形,所以PCMN且PC=MN,由(1)得PC平面ABC,所以MN平面ABC,在ACN中,AN2=AC2+CN2-2ACCNcos120=3,即AN=.又AM=2,所以在RtAMN中,MN=1,所以PC=MN=1.在平面ABC内,过点A作AHBC交BC的延长线于点H,则AH平面PMC,因为AC=CN=1,ACB=120,所以ANC=30.所以在RtAHN中,AH=AN=,而SPMC=11=,所以VP-MAC=VA-PMC=.
