1、第第2 2讲讲 数列求和及简单应用数列求和及简单应用考情分析考情分析年份卷别题号考查内容命题规律20173,15数学文化及等比数列;裂项相消法求和高考中对数列求和及其简单应用的考查,主、客观题均会出现,难度中等.考查内容主要有:以等差、等比数列为载体,考查数列的通项公式及前n项和;利用递推关系求数列的通项公式、前n项和.201517等差数列的通项公式、裂项相消法求和总纲目录考点一 利用Sa、an的关系式求an考点二 数学文化与数列考点三 数列求和考点四 数列中的不等式问题an=考点一利用Sn、an的关系式求an数列an中,an与Sn的关系:典型例题典型例题(1)已知各项均为正数的数列an的前n
2、项和为Sn,若S1=2,3-2an+1Sn=,则an=.(2)(2017成都第二次诊断性检测)在数列an中,a1=1,a1+=an(nN*),则数列an的通项公式为an=.解析解析(1)由题意可得3-2an+1Sn-=(Sn-an+1)(3Sn+an+1)=0,又an0,所以Sn=an+1,则Sn-1=an(n2),两式相减并移项得an+1=2an(n2),又S1=a1=a2=2,则an=a22n-2=2n-1(n2),故an=(2)根据a1+=an,有a1+=an-1(n2),-得=an-an-1(n2)n2an-1=(n2-1)an(n2)=(n2),所以=(n2),所以an=a1答案答案
3、(1)(2)=(n2).a1=1满足上式,an=.方法归纳方法归纳给出Sn与an的递推关系求an的一般思路:一是利用Sn-Sn-1=an(n2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.跟踪集训跟踪集训1.若数列an的前n项和Sn=n2-n+1,则它的通项公式an=.答案答案解析解析当n=1时,a1=S1=12-1+1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=(n2-n+1)-(n-1)2-(n-1)+1=2n-2,a1=1不满足上式,an=2.在数列an中,a1+=2n-1(nN*),则an=.答案答案n2n-1解析解析依题意得,数列的前
4、n项和为2n-1,当n2时,=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1,又=21-1=1=21-1,因此=2n-1(nN*),故an=n2n-1.考点二数学文化与数列典型例题典型例题(2017课标全国,3,5分)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏解析解析由题意可知,由上到下灯的盏数a1,a2,a3,a7构成以2为公比的等比数列,S7=381,a1=3.故选B.方法归纳方法归纳与等差数列一样,我
5、国古代数学涉及等比数列的问题也有很多,因此,涉及等比数列的数学文化题也频繁出现在各级各类考试试卷中.解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题,掌握等比数列的概念、通项公式和前n项和公式.答案答案B跟踪集训跟踪集训(2017潍坊二模)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天才到达目的地.”则此人第4天和第5天共走的路程为()A.60里B.48里C.36里D.24里答案答案C由题意知,此
6、人每天走的路程构成公比为的等比数列.设等比数列的首项为a1,则有=378,解得a1=192,则a4=192=24,a5=24=12,a4+a5=24+12=36,所以此人第4天和第5天共走了36里路,故选C.考点三数列求和典型例题典型例题(2017天津,18,13分)已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求an和bn的通项公式;(2)求数列a2nb2n-1的前n项和(nN*).解析解析(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=1
7、2,而b1=2,所以q2+q-6=0,解得q=2或q=-3,又因为q0,所以q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8,由S11=11b4,可得a1+5d=16,联立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,数列an的通项公式为an=3n-2,数列bn的通项公式为bn=2n.(2)设数列a2nb2n-1的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)4n,故Tn=24+542+843+(3n-1)4n,4Tn=242+543+844+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1,上述两式相减,得-3Tn=24+342+
8、343+34n-(3n-1)4n+1=-4-(3n-1)4n+1=-(3n-2)4n+1-8.得Tn=4n+1+.所以,数列a2nb2n-1的前n项和为4n+1+.方法归纳方法归纳数列求和最常用的四种方法(1)公式法适合求等差数列或等比数列的前n项和,对于等比数列,利用公式法求和时,一定要注意q是否取1.(2)错位相减法这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,主要用于求数列anbn的前n项和,其中an、bn分别是等差数列和等比数列.(3)裂项相消法把数列和式中的各项分别裂开后,消去一部分从而计算和的方法,适用于求数列的前n项和.若an为等差数列,d为公差,则=.(4)分组求和法一个数列既不
9、是等差数列,也不是等比数列,若将这个数列适当拆开,重新组合,就会变成几个可以求和的部分(即能分别求和),然后再合并.跟踪集训跟踪集训1.(2017课标全国,15,5分)等差数列an的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则=.答案答案解析解析设公差为d,则an=n.前n项和Sn=1+2+n=,=2,=21-+-+-=2=2=.2.(2017合肥第一次教学质量检测)已知等差数列an的前n项和为Sn,且满足S4=24,S7=63.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=+(-1)nan,求数列bn的前n项和Tn.解析解析(1)an为等差数列,解得an=2n+1.(2)bn=+(-1)nan=22
10、n+1+(-1)n(2n+1)=24n+(-1)n(2n+1),Tn=2(41+42+4n)+-3+5-7+9-+(-1)n(2n+1)=+Gn.当n=2k(kN*)时,Gn=2=n,Tn=+n;当n=2k-1(kN*)时,Gn=2-(2n+1)=-n-2,Tn=-n-2,Tn=考点四数列中的不等式问题典型例题典型例题设Sn为数列an的前n项和,已知a1=2,对任意nN*,都有2Sn=(n+1)an.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列的前n项和为Tn,求证:Tn0,所以1-1,因为y=在N*上是递减函数,所以y=1-在N*上是递增函数,所以当n=1时,Tn取得最小值.所以Tn0,故q=2
11、,从而an=22n-1,即数列an的通项公式为an=22n-1.(2)由(1)知数列an是以2为首项,22为公比的等比数列,故Sn=(22n-1).因此不等式Sk30(2k+1)可化为(22k-1)30(2k+1),即(2k-1)(2k+1)30(2k+1),因为2k+10,所以2k46,即klog246.又5log2466,所以正整数k的最小值为6.1.已知等差数列an的前n项和为Sn,且a1=1,S3=a5.令bn=(-1)n-1an,则数列bn的前2n项和T2n为()A.-nB.-2nC.nD.2n随堂检测随堂检测答案答案B设等差数列an的公差为d,由S3=a5得3a2=a5,3(1+d
12、)=1+4d,解得d=2,an=2n-1,bn=(-1)n-1(2n-1),T2n=1-3+5-7+(4n-3)-(4n-1)=-2n.故选B.2.(2017湖南五市十校联考)等差数列an的前n项和为Sn,且a1m时,Sn与an的大小关系是()A.SnanD.大小不能确定答案答案C若a10,若d0,数列是递减数列,则Smam,不存在am=Sm.由于a10,当m3时,有am=Sm,因此am0,Sm0,又Sn=Sm+am+1+an,显然Snan.故选C.3.(2017武汉武昌调研考试)设等差数列an的前n项和为Sn,已知a1=9,a2为整数,且SnS5,则数列的前9项和为.答案答案-解析解析设等差
13、数列an的公差为d.由SnS5得又a1=9,得-d-,又a2为整数,d=-2,an=a1+(n-1)d=11-2n,=,数列的前n项和Tn=,T9=-=-.4.(2017张掖第一次诊断考试)已知数列an的前n项和为Sn,若an=-3Sn+4,bn=-log2an+1.(1)求数列an的通项公式与数列bn的通项公式;(2)令cn=,其中nN*,记数列cn的前n项和为Tn,求Tn+的值.解析解析(1)由题意知a1=1,an=-3Sn+4,an+1=-3Sn+1+4.两式相减并化简得an+1=an,an=.bn=-log2an+1=-log2=2n.(2)由(1)知cn=.则Tn=+,Tn=+,-得,Tn=+-=1-.Tn=2-.可得Tn+=2.
