1、第 38 卷哈尔滨师范大学自然科学学报Vol 38，No 6 2022第 6 期NATUAL SCIENCE JOUNAL OF HABIN NOMAL UNIVESITY二阶再生张量空间与再生张量的性质殷洪才1，全玉锦2(1 广东外语外贸大学;2 辽东学院)【摘要】将二阶张量借以线性空间的方式来描述，进而在此建立泛函分析的内积、范数等结构，将再生核概念引入到张量空间中去 证明了四阶再生张量是二阶张量空间的再生核 再生张量的唯一性以及其他属性依次给予证明【关键词】张量;再生张量空间;再生基【中图分类号】O177 92【文献标识码】A【文章编号】1000 5617(2022)06 0014 04
2、收稿日期:2022 07 090引言张量是数学的一个重要分支，近代物理和力学的发展促进了它的充实与完善 它的应用也越来越广泛 在文献 1 中作者在光学领域应用张量研究了反射线;在文献 2 中作者在材料力学中应用张量研究了弹性问题;在文献 3 中作者在 Dirac 场的重正化提出了张量和 Casimir 效应;还有核物理等方面的应用4 该文将张量以线性空间来描述，进而建立泛函分析相应结构，尤其是将再生核概念引入到张量中去 再生核本是泛函分析中一种正定的积分核5，从某种意义上看，它是iesz表现定理的实现6 近年来，再生核在物理模型计算中有着积极的贡献715 该文就是在将这些积极的因素引入到张量分
3、析中，扩大再生核计算优势，相信这将对物理领域中的研究、尤其是在计算物理中开辟一种新的计算方法来1一些预备知识与符号(1)设 gri，grj分别表示互对偶协变基矢量、逆变基矢量grigrj=ji gri=gijgrj，gij=gigj;gri=gijgrj，gij=grigrjgijgjl=1，i=l0，i l(2)协(逆)变基矢量新老转化关系gri=jigrjgri=ijgrjkijk=1，i=j0，i j(3)设基矢量 gi或 grj，它们的并矢 gigj是二阶基张量 二阶张量 T 分量的升降规律Tij=girgsjTrs=griT jr=gsjTi sTij=girgjsTrs=girTr
4、 j=gjsT siTi j=girgisT sr=gisTis=girTrj(4)两个张量(阶数 2)的双点内积设张量T=Tij klgrigrjgrkgrl、S=Srs p t qgrrgrsgrtgrpgrqT S=Tij klgrigrjgrkgrl Srs p t qgrrgrsgrtgrpgrq=Tij klSrs p t qgrigrj(grkgrr)(grlgrs)grtgrpgrq=第 6 期二阶再生张量空间与再生张量的性质Tij klSrs p t qgrigrjkrlsgrtgrpgrq=Tij klSkl p t qgrigrjgrtgrpgrq注意Tij klSkl
5、p t q中原有的自由标 r，s，l，k 不再是遍历的了，l、k 称为哑标 所以 T S=Tij klSkl p t qgrigrjgrtgrpgrq是减少了 4 阶的张量(T，S分别是 4、5 阶张量)，T S是4+5 4=5 阶张量，它的自由标是 i，j，t，p，q2二阶张量空间基于张量的一些已有运算从公理化角度严格叙述，使得二阶张量构成一个赋范空间 为再生引入奠定基础设 =Tr|Tr是二阶张量 定理2 1假设gij是正定矩阵，则在张量加法、数乘和双点内积下构成内积空间、赋范空间证明仅检验内积公理 也仅对张量协变型式检验，设 T=Tijgrigrj，S=Sijgrigrj，=ijgrigr
6、j，(1)内积正定性T T=TijTrsgjrgis=TijTsjgis=TijTij 0和TijTij=0T=0(2)交换性T S=Tijgrigrj Srsgrrgrs=Tijrrs(grigrr)(grjgrs)=SrsTij(grrgri)(grsgrj)=Srsgrrgrs Tijgrigrj=S T(3)数因子结合性Tr Sr=Tijgrigrj Srsgrrgrs=TijSrsgrigrjgrrgrs=(TijSrsgrigrj grrgrs)=(Tr Sr)(4)分配率(Tr+Sr)r=(Tijgrigrj+Sijgrigrj)rsgrrgrs=(Tij+Sij)grigrj
7、rsgrrgrs=(Tij+Sij)rsgrigrj grrgrs=(Tijrs+Sijrs)grigrj grrgrs=Tijrsgrigrj grrgrs+Sijrsgrigrj grrgrs=Tijgrigrj rsgrrgrs+Sijgrigrj rsgrrgrs=Tr r+Sr r定义2 1设T，称T:=TijTij为二阶张量 T的范数 则 为赋范空间3二阶再生张量空间与再生张量的性质再生性质本是 iesz 表现定理6 对线性泛函理论表示提出来的，即对任意空间 H 上的连续泛函 f(x)，必存在 H 唯一的元 y，使得 f(x)=x，y 近年来国内外一些学者将定理中的 y在一定空间下
8、给出来的具体表达式 s(t)，得到x(s)=x(t)，s(t)5，这在应用中起到了关键 该文就是在这种思想引导下，来完成张量分析中的再生基概念定义 3 1设 为定理 2 1 叙述的内积空间 如果存在一个四阶张量 K=K rsijgrigrjgrrgrs，使得对任意二阶张量 T=T jigrigrj，有T K=T，K T=T(1)称为二阶再生张量空间;K=K rsijgrigrjgrrgrs称为 的再生张量定理 3 1二阶张量空间 是再生张量空间证明取四阶张量:K=K rsijgrigrjgrrgrs，其中 K rsij=1，i=r，and j=s0，否则(2)对于任意二阶张量 T=T jigr
9、igrj，有T K=T jigrrgrj K rslkgrlgrkgrrgrs=T jiKrslk(grigrl)(grjgrk)grrgrs=T jiK rslkkjgilgrrgrs=T jisjgirgrrgrs=T jigirgrrgrj=T jigrigrj=TK T=K rsijgrigrjgrrgrs T lkgrkgrl=K rsijT lkgrigrj(grrgrk)(grsgrl)=K rsijT lkkrgslgrrgrs=T lkkigjlgrigrj=T ligjlgrigrj=Tligrigrl=T定理 3 2张量空间 是再生张量空间的再生张量(2)是唯一的证明设=
10、rsijgrigrjgrrgrs也是的再生张51哈尔滨师范大学自然科学学报2022 年 第 38 卷量Arab=defr gragrb=rsijgrigrjgrrgrs gragrb=abijgrigrj，(1 a，b 3);Brab=defgragrb Kr=gragrb K klpqgrpgrqgrkgrl=K klpqgapgbqgrkgrl，(1 a，b 3)由于，K都是 的再生张量，有Aab=Aab K=abijgrigrj K;Bab=Bab=K klpqgapgbqgrkgrl而Aab=abijgrigrj K=abijgrigrj K klpqgrpgrqgrkgrl=abij
11、K klpqgipgjqgrkgrl=abijK klpqgikgjlgrkgrl=abijK klpqgrigrjBab=T K klpqgapgbqgrkgrl=rsijK rspqgapgbqgrigrj=rsijK rspqgargbsgrigrj=qbijK rspqgrigrj所以Aab=Bab，(1a，b3)再做并积，有相等的四阶张量Aabgragrb=Babgragrb，(1 a，b3)而当将自由标 a、b 变为哑标，便有Aabgragrb=，Babgragrb=K，故=K定理 3 3设 K=K rsijgrigrjgrrgrs是二阶张量再生空间 的再生张量，则 K grpgr
12、q1p，q3(3)是 的一组基证明设 pqK grpgrq=0对任意给定的1 l，k 3，取二阶张量 Tlk=grlgrk用 Tlk与上式做双点积，有0=0r Trlk=(pqKr grpgrq)Trlk=pqK rsij(grigrjgrrgrs grpgrq)grlgrk=pqK rsijprqsgrigrjgrlgrk=pqK pqijgrigrj grlgrk=pqK pqijiljk=pqK pqlk=lk，所以 K grpgrq1 p，q3是线性无关 进而是 的基称这个基为 的再生基，记为 Kpq1p，q3性质3 1设 T，则 T关于再生基 Kij的分解式为 ijKij，其中 ij
13、=T gigk证明T=ijKij=ij(K grlgrj)两边双点积glgk，1 l，k 3，T glgk=ij(K grlgrj)glgk=ij4结束语在 2 中，遵循张量分析中张量的缩并等定义给出了二阶张量内积空间、赋范空间的概念 在此基础上，3 中引进了再生张量空间定义 证明了二阶张量空间 是一个再生张量空间 并给出该空间的再生张量 K=K rsijgrigrjgrrgrs，以及证明了再生张量是唯一的 此外，以这个具有特点的张量而提出 的一组基 K grpgrq1p，q3参考文献 1姬金祖，刘战合，黄沛霖 反射张量在射线追踪法中的应用 J 系统工程与电子技术，2011(08):1685
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20、reign Studies;2 Liaodong University)Abstract:In this paper，a second order tensor as a linear space is proposed to describe and the innerproduct and norms in the functional analysis is proceeded to construct by introducing the concept ofreproducing Kernel into tensor spaces The research demonstrates that a tensor of Order 4 is a reproducingKernel of a second order tensor space Additionally，the uniqueness of the reproducing tensors and otherproperties are examinedKeywords:Tensor;Kernel;Tensor space(责任编辑:于达)71
