1、2.4.2 平面向量数量积的坐标 表示、模、夹角 1.1. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法；掌握平面向量数量积的坐标表示方法； 2.2. 掌握向量垂直的坐标表示的条件及平面内两点间的距掌握向量垂直的坐标表示的条件及平面内两点间的距 离公式；离公式； 3.3. 能用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度能用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度 、垂直等几何问题、垂直等几何问题 . . 我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来 运算运算 , , 那么怎样用那么怎样用aba b 和的坐标表示呢？ 1122 () ()a= x ,y
2、, b= x ,y 已知两个向量， aba b 如何用与的坐标表示呢？ i j x x o B(xB(x2 2,y,y2 2) ) A(xA(x1 1,y,y1 1) ) a b y y 1122 ,ax iy jbx iy j=+=+ Q， 1122 22 12122112 1212 () () . + =+ =+ a bx iy jx iy j x x ix y i jx y i jy y j x xy y 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 . 1 212 a bx xy y 1122 () ()a= x ,y , b= x ,y 已知两
3、个向量， 根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算 可转化为向量的坐标运算可转化为向量的坐标运算 . . 平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示 ( , ),ax ya 设能否用向量的坐标表示？ 2 22 ,aa axy=+ Q 22 .axy=+ 2 2222 ( , ),.ax yaxyaxy 设则或 1122 22 1212 ,)(,), ) A xyB xy ABxxyy 设（、 则（ 向量的模向量的模 能否用向量的坐标表示两向量垂直？能否用向量的坐标表示两向量垂直？ 1212 0 0. aba b x xy y 112
4、2 ,),(,),ax ybxy= （设设a b 、 是非零向量是非零向量， 设设a b 、 是非零向量是非零向量， 1122 ,),(,),ax ybxy= （ 能否用向量的坐标表示两向量平行？能否用向量的坐标表示两向量平行？ 1122 1221 / /,)(,) 0. ababx yxy x yx y （ 例例 1 1 已知已知 A(1A(1 ， 2)2) ， B(2B(2 ， 3)3) ， C(-2C(-2 ， 5)5) ，试判断，试判断 ABCABC 的形状，并给出证明的形状，并给出证明 . . .ABC三角形是直角三角形 (2 1,32)(1,1):=-= QAB证明 ( 2 1,5
5、2)( 3,3)AC= - -= - 1 ( 3) 1 30AB AC+ ABAC A(1,2)A(1,2) B(2,3)B(2,3) C(-2,5)C(-2,5) x 0 y 1122 ,),(,),(0180 )= 设（且与夹角为， 能否用向量的坐标表示两向量的夹角？ ax ybxyabqq 1212 2222 1122 2222 1122 cos. 00. x xy ya b a bxyxy xyxy 其中， 1212 2222 1122 2222 1122 cos. 00. x xy y xyxy xyxy 其中， 1122 ,),(,),(0180 )= 设（且与夹角为，ax ybx
6、yabqq 两向量夹角公式的坐标运算两向量夹角公式的坐标运算 2 (5, 7),( 6, 4), 1 =-= - aba ba b q 例设求及、间的夹 角（精确到）. 2222 5 ( 6)( 7) ( 4) 30282. 5774,( 6)( 4)52, + - = -+= - =+=-+ -= a b ab 解： 2 cos0.03. 7452 .6. - = q q 利用计算器得， 1 rad=92 k k 为何值时为何值时 : : (2)(2)kab+ 与与3ab- 平行？ 平行？ 3b=- （，2），a= （1，2），例例 3 3 已知已知 (1)(1)kab+ 与与3ab- 垂直
7、？ 垂直？ 平行时，它们是同向还是反向？平行时，它们是同向还是反向？ (1,2)( 3,2) (3,22) +=+ - =-+ kabk kk 解： 313( 3,2)(10,4).ab-=-= （，2） 3kabab+- Q， () (3 )0. 3)4(22)0, 9. += -+= = kabab kk k 即10( 解得 93.kkabab=+- 时与垂直 1 (2) 10 22)4(3)0, 3 kkk+-= -由（解得， 1 3 3 kkabab= -+- 当时与平行. 1 (3 ). 3 kabab+= - 此时 3.kabab+- 与方向相反 1.( 3,1)(0,5)/ /O
8、AOBACOB BCABC = -= 已知，且， ，则点的坐标为. 29 ( 3,) 3 - 2.2. 已知已知 A(1A(1 ， 2)2) 、 B(4B(4 、 0)0) 、 C(8C(8 ， 6)6) 、 D(5D(5 ， 8)8) ，则四边形，则四边形 ABCDABCD 的形状是的形状是 . . 矩形 3.(1)( 3,2) 3 3 = - +- +-= ab kababk kababk 已知，2， 若与平行，则= 若与垂直，则 . . . . 1 3 - 19 .(1 2(2)cos.+ ABC ABACBAC 4已知，0), (0，1), (2，5), 求的模； 22 ( )( 1(
9、15), 22( 11)(15)( 1 2( 1)75 2. = -= +=-+= - +=-+= ABAC ABAC ABAC 解：1，1),， ，7). 即 (2)cos 1 1 1 52 13 . 13226 - = AB AC BAC AB AC 1.1. 数量积的运算转化为向量的坐标运算；数量积的运算转化为向量的坐标运算； 2 2. 向量模的坐标公式；向量模的坐标公式； 1212 a bx xy y 1122 () ()a= x ,y , b= x ,y 已知两个向量， 22 ( , ),.ax yaxy 设则 . . 向量夹角的坐标公式向量夹角的坐标公式 4.4. 平行、垂直的坐标表示平行、垂直的坐标表示 . . 1212 2222 1122 cos. x xy y xyxy 1221 / /0.abx yx y 1212 0.abx xy y
