1、2015年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）理科数学注意事项1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。3.回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=-2，-1,0,2，B=x|（X-1）（x+2）0,则AB= （A
2、）1，0 （B）0，1 （C）-1，0，1 （D）0，1，22.若a为实数且（2+ai）（a-2i）=4i，则a = （A）-1 （B）0 （C）1 （D）23. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是 （A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B）2007年我国治理二氧化硫排放显现 （C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.等比数列an满足a1=3，a1+ a3+ a5=21，则a3+ a5+ a7 = （A）21 （B）42 （C）63 （D）845.
3、设函数f(x)=，则f (2)+ f (log212) = （A）3 （B）6 （C）9 （D）126. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则 截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为 （A） （B） （C） （D）7.过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则= （A）2 （B）8 （C）4 （D）108.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著九章算术 中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18， 则输出的a= （A）0 （B）2 （C）4 （D）149. 已知A,B是球O的球面上两点，AOB=90
4、,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体 积的最大值为36，则球O的表面积为 （A）36 （B）64 （C）144 （D）25610. 如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与 DA运动，BOP=x。将动点P到AB两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x） 的图像大致为11. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为 120，则E的离心率为 (A) (B)2 (C) (D)12.设函数f(x)是奇函数f (x)(xR)的导函数，f（-1）=0，当x0时，x f(x)f (x)0，则使得f (x) 0成立的x的取值
5、范围是 (A) (，1)(0，1) (B) (1，0)(1，) (C) (，1)(1，0) (D) (0，1)(1，)第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13.设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数=_.(用数字填写答案)14.若x，y满足约束条件，则z= xy的最大值为_.15.(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a =_.16.设Sn是数列an的前n项和，且a1=1，an+1=Sn Sn+1，则Sn=_.三、解答题：解答应写
6、出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD是ADC面积的2倍。() 求；() 若AD=1，DC=，求BD和AC的长.18. （本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79（）根据两组数据完成两地区用户满意
7、度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率19. （本小题满分12分）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F。过带你E，F的平面与此长方体的面相交，交线
8、围成一个正方形（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（）求直线AF与平面所成角的正弦值20. （本小题满分12分）已知椭圆C：9x2+ y2 = m2 (m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M. （I）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （II）若l过点(，m),延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边行？ 若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由.21. （本小题满分12分）设函数fx=emx+x2-mx. ()证明：f(x)在（，0）单调递减，在（0，）单调递增；（）若对于任意x1, x2-1,1,都有f(x1)-
9、f(x2)e-1,求m的取值范围 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点. （I）证明：EF平行于BC（II） 若AG等于圆O的半径，且AE=MN=,求四边形EBCF的面积。23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1:，其中0 ，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=2sin，曲线C3：=cos . （I）
10、.求C2与C3交点的直角坐标 （II）.若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求的最大值（24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设a、b、c、d均为正数，且a+b=c+d,证明： （I）若abcd ，则； （II）是的充要条件.（24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设均为正数，且,证明： （I）若，则； （II）是的充要条件.2015年海南省数学理科高考试题及答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1） 已知集合A=-2，-1,0，1,2，B=x|（X-1）（x+2）0,则AB=（ ）（A）-1,0
11、（B）0,1 （C）-1,0,1 （D）,0,，1，2【答案】A【解析】由已知得，故，故选A（2）若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=（ ） （A）-1 （B）0 （C）1 （D）2【答案】B【解析】来源:Z_xx_k.Com（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( )（A） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著（B） 2007年我国治理二氧化硫排放显现（C） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势（D） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】D【解析】由柱形图得，从2006年以来
12、，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关（4）等比数列an满足a1=3， =21，则 ( )（A）21 （B）42 （C）63 （D）84【答案】B【解析】（5）设函数,( )（A）3 （B）6 （C）9 （D）12【答案】C【解析】由已知得，又，所以，故（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为（7）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆
13、交于y轴于M、N两点，则=（A）2 （B）8 （C）4 （D）10【答案】C【解析】（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=A.0 B.2 C.4 D.14【答案】B来源:Z.xx.k.Com【解析】程序在执行过程中，的值依次为，；，此时程序结束，输出的值为2，故选B（9）已知A,B是球O的球面上两点，AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为A36 B.64 C.144 D.256【答案】C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最
14、大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C10.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOP=x将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为来源:学科网【答案】B【解析】的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B（11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为（A）5 （B）2 （C）3 （D）2【答案】D【解析】（12）设函数f(x)是奇函数的导函数，f（-1）=0，当时，则使得成立的x的取值范围是（A） （B）（C） （D
15、）【答案】A【解析】记函数，则，因为当时，故当时，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且当时，则；当时，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A二、填空题（13）设向量，不平行，向量与平行，则实数_ 【答案】【解析】因为向量与平行，所以，则所以（14）若x，y满足约束条件，则的最大值为_【答案】（15）的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则_【答案】【解析】由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，其系数之和为，解得（16）设是数列的前n项和，且，则_【答案】【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以三解答题17
16、（本题满分12分）中，是上的点，平分，面积是面积的2倍() 求；()若，求和的长 【答案】()；() ()因为，所以在和中，由余弦定理得，由()知，所以考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理18（本题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从，两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79（）根据两组数据完成两地
17、区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；A地区B地区456789（）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”假设两地区用户的评价结果相互独立根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率【答案】（）详见解析；（）【解析】试题分析：（）将两地区用户对产品的满意度评分的个位数分别列与茎的两侧，并根据数字的集中或分散来判断平均值和方差的大小；（）事件“A地区用
18、户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”分为两种情况：当B地区满意度等级为不满意时，A地区的满意度等级为满意或非常满意；当B地区满意度等级为满意时，A地区满意度等级为非常满意再利用互斥事件和独立事件的概率来求解试题解析：（）两地区用户满意度评分的茎叶图如下A地区B地区4567896 81 3 6 432 4 5 5 6 4 23 3 4 6 96 8 8 6 4 33 2 19 2 8 6 5 11 37 5 5 2表示事件：“B地区用户满意度等级为满意”则与独立，与独立，与互斥，由所给数据得，发生的概率分别为，故，故考点：1、茎叶图和特征数；2、互斥事件和独立事件19（本题满分12分）如图
19、，长方体中,，点，分别在，上，过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形DD1C1A1EFABCB1（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（）详见解析；（）【解析】试题分析：（）由线面平行和面面平行的性质画平面与长方体的面的交线；（）由交线围成的正方形，计算相关数据以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，并求平面的法向量和直线的方向向量，利用求直线与平面所成角的正弦值试题解析：（）交线围成的正方形如图：（）作，垂足为，则，因为为正方形，所以于是，所以以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则
20、，设是平面的法向量，则即所以可取又，故所以直线与平面所成角的正弦值为考点：1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角20（本题满分12分） 已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为 ()证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由【答案】()详见解析；（）能，或【解析】试题分析：()题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦的中点和直线的斜率；设直线的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦的中点，并寻找两条
21、直线斜率关系；（）根据()中结论，设直线方程并与椭圆方程联立，求得坐标，利用以及直线过点列方程求的值试题解析：()设直线，将代入得，故，于是直线的斜率，即所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值（）四边形能为平行四边形因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，由()得的方程为设点的横坐标为由得，即将点的坐标代入直线的方程得，因此四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即于是解得，因为，所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系21（本题满分12分）设函数()证明：在单调递减，在单调递增；（）若对于任意，都有，求的取值范围【答案】()详见解
22、析；（）【解析】试题分析：()先求导函数，根据的范围讨论导函数在和的符号即可；（）恒成立，等价于由是两个独立的变量，故可求研究的值域，由()可得最小值为，最大值可能是或，故只需，从而得关于的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解考点：导数的综合应用（请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。高三网）22（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲 如图，为等腰三角形内一点，圆与的底边交于、两点与底边上的高交于点，与、分别相切于、两点GAEFONDBCM （）证明：；（） 若等于的半径，且，求四边形的面积【答案】（）详见解析；（
23、）【解析】试题分析：（）由已知得，欲证明，只需证明，由切线长定理可得，故只需证明是角平分线即可；（）连接，在中，易求得，故和都是等边三角形，求得其边长，进而可求其面积四边形的面积为两个等边三角形面积之差试题解析：（）由于是等腰三角形，所以是的平分线又因为分别与、相切于、两点，所以，故从而（）由（）知，,，故是的垂直平分线，又是的弦，所以在上连接，则由等于的半径得，所以所以和都是等边三角形因为，所以，因为，所以于是，所以四边形的面积考点：1等腰三角形的性质；2、圆的切线长定理；3、圆的切线的性质23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点
24、，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线（）.求与交点的直角坐标；（）.若与相交于点，与相交于点，求的最大值【答案】（）和；（）【解析】试题分析：（）将曲线与的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求交点，得其交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程，求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（）分别联立与和与的极坐标方程，求得的极坐标，由极径的概念将表示，转化为三角函数的最大值问题处理试题解析：（）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为联立解得或所以与交点的直角坐标为和（）曲线的极坐标方程为，其中因此得到极坐标为，的极坐标为所以，当时，取得最大值，最大值为考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值24（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲设均为正数，且，证明：（）若，则；（）是的充要条件【答案】（）详见解析；（）详见解析考点：推理证明
