1、第八章 圆锥曲线方程三 抛物线【考点阐述】抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性质【考试要求】（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质【考题分类】（一）选择题（共7题）1.（福建卷理2）以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为A BC D【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为，故所求圆的方程为，即，选D。【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。2.（湖南卷文5）设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是A. 4 B. 6 C. 8 D. 12【答案】B【解析】抛物线的准线
2、为x= -2，点P到y轴的距离是4，到准线的距离是6，点P到该抛物线焦点的距离是63.（辽宁卷理7文7）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足如果直线AF的斜率为,那么|PF|= (A) (B)8 (C) (D) 164.（山东卷文9）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 （A） (B) (C) (D)【答案】B 【解析】设、则有，两式相减得：，又因为直线的斜率为1，所以，所以有，又线段的中点的纵坐标为2，即，所以，所以抛物线的准线方程为。【命题意图】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位
3、置关系等基础知识，5.（陕西卷理8文9）已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为【 】A. B. 1 C.2 D.4 【答案】C【解析】由题设知，直线与圆相切，从而.故选.6.（四川卷文3）抛物线的焦点到准线的距离是（ ）高考#资*源网 (A) 1 (B)2 (C)4 (D)8解析：由y22px8x知p4 又交点到准线的距离就是p答案：C7.（上海春卷17）已知抛物线与直线，“”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件；C充要条件D既不充分也不必要条件答案：B解析：由即，则。故“”推不出“直线与抛物线有两个不同的交点”，但“直线与抛物线有两个不同的交点”则必有“
4、”。故选B.（二）填空题（共6题）1.（安徽卷文12）抛物线y2=8x的焦点坐标是 【答案】.【解析】抛物线，所以，所以焦点.【误区警示】本题考查抛物线的交点.部分学生因不会求，或求出后，误认为焦点，还有没有弄清楚焦点位置，从而得出错误结论.2.（湖南卷理14）过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为若梯形的面积为，则 【答案】2 【解析】抛物线的焦点坐标为F（0，），则过焦点斜率为1的直线方程为，设A（），由题意可知由，消去y得，由韦达定理得，所以梯形ABCD的面积为：所以【命题意图】本题考查抛物线的焦点坐标，直线的方程，直线与抛物线的位置关系，考察考生的运算能
5、力,属中档题3.（全国卷理15文15）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为若，则 【答案】2 【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质.【解析】过B作BE垂直于准线于E，M为中点，又斜率为，M为抛物线的焦点，2.4.（浙江卷理13）设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_。解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为，B点坐标为（）所以点B到抛物线准线的距离为，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题5.（重庆卷理14）已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB的中点到准线的距离为_.【答案】解析：设BF=m,由抛物线
6、的定义知中，AC=2m,AB=4m, 直线AB方程为 与抛物线方程联立消y得所以AB中点到准线距离为6.（重庆卷文13）已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，AF2，则BF 。【答案】2【解析】由抛物线的定义可知 故2（三）解答题（共3题）1.（福建卷文19）已知抛物线C的方程C：y 2 =2 p x（p0）过点A（1，-2）.（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l 的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。2.（全国卷理21文22）已知抛物线的焦点为F，过点
7、的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D .（）证明：点F在直线BD上；（）设，求的内切圆M的方程 .【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想.【解析】设，的方程为.（）由知， 因为 ， 故 ，解得 所以的方程为 又由知 故直线BD的斜率，因而直线BD的方程为因为KF为的平分线，故可设圆心，到及BD的距离分别为.由得，或（舍去），故 圆M的半径.所以圆M的方
8、程为.3.（浙江卷文22）已知m是非零实数，抛物线（p0）的焦点F在直线上。（I）若m=2，求抛物线C的方程（II）设直线与抛物线C交于A、B，A,的重心分别为G,H，求证：对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外解析：本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。 ()解：因为焦点F(,0)在直线l上，得又m=2,故所以抛物线C的方程为设A(x1,y1) , B(x2,y2)由消去x得y22m3ym40，由于m0，故4m64m40，且有y1y22m3，y1y2m4，设M1，M2分别为线段AA1，BB1的中点，由于2可知G（），H（）， 所以 所以GH的中点M.设R是以线段GH为直径的圆的半径，则设抛物线的标准线与x轴交点N，则=m4(m4+8 m2+4)=m4(m2+1)( m2+4)+3m2m2 (m2+1)( m2+4)=R2.故N在以线段GH为直径的圆外.第 - 8 - 页 共 8 页
