1、阶段质量检测（三）（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列说法正确的是()A随机事件的概率总在0,1内B不可能事件的概率不一定为0C必然事件的概率一定为1D以上均不对解析：选C随机事件的概率总在(0,1)内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.2(2019全国卷)西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且
2、阅读过红楼梦的学生共有60位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A0.5 B0.6 C0.7 D0.8解析：选C法一：设调查的100位学生中阅读过西游记的学生人数为x，则x806090，解得x70，所以该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为0.7.法二：用Venn图表示调查的100位学生中阅读过西游记和红楼梦的人数之间的关系如图：易知调查的100位学生中阅读过西游记的学生人数为70，所以该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为0.7.3在两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率为()A. B
3、C. D.解析：选B该试验属于几何概型，所求事件构成的区域长度为2 m，试验的全部结果所构成的区域长度为6 m，故灯与两端距离都大于2 m的概率为.4从一批产品中取出三件产品，设A“三件产品全不是次品”，B“三件产品全是次品”，C“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是()AA与C互斥 BB与C互斥C任何两个均互斥 D任何两个均不互斥解析：选B因为事件B是表示“三件产品全是次品”，事件C是表示“三件产品不全是次品”，显然这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥的，所以选B.5函数f(x)x2x2，x5,5，那么任取一点x0，使得f(x0)0的概率是()A. B C. D.解析：选A由f(x0)
4、0，即xx020，得1x02，其区间长度为3，由x5,5，区间长度为10，所以所求概率为P.6(2019全国卷)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A. B C. D.解析：选B设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过该项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2
5、)，共10种可能其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能故恰有2只测量过该指标的概率为.7有一种“三角形”能够像圆一样，当作轮子用这种神奇的三角形，就是以19世纪德国工程师勒洛的名字命名的勒洛三角形这种三角形常出现在制造业中(例如图1中的扫地机器人)三个等半径的圆两两互相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角形，如图2所示现从图2中的勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A. B3C. D.解析：选D设圆半径为R，因为阴影部分面积为S13R2，
6、勒洛三角形的面积为SS1R2R2，若从勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率P.8九章算术中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是()A. B C1 D1解析：选D82152172，该直角三角形斜边长为17.设内切圆半径为r，则有(81517)r815，解得r3，则内切圆的面积为329.豆子落在其内切圆外的概率P1.9在区间，内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)x22axb22 有零点的概率为()A. B1
7、C. D.1解析：选B要使函数有零点，则(2a)24(b22)0，a2b22，又a，b，所以基本事件的范围是2242，函数有零点所包含的基本事件的范围是423.所以所求概率为1.故选B.10如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是()A. B C. D.解析：选C设被污损的数字是x，则x0,1,2,3,4,5,6,7,8,9甲的平均成绩为甲(8889909192)90，乙838387(90x)99，设甲的平均成绩超过乙的平均成绩为事件A，则此时有90，解得x8，则事件A包含x0,1,2,3,4,5,6,7，共8个基本
8、事件，则P(A).11某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数分别为17,19,20,21,25,30.日加工零件个数大于样本平均数的工人为优秀工人从该车间6名工人中，任选2名，则至少有1名优秀工人的概率为()A. B C. D.解析：选C由题意可知6名工人日加工的零件个数的样本平均数为(171920212530)22，因为日加工零件个数大于22的有25,30，所以优秀工人有2名从该车间6名工人中，任选2名共有15种取法：(17,19)，(17,20)，(17,21)，(17,25)，(17,30)，(19,20)，(19,21)，(19,25)，(19,30)，(20,21)，(20,25)
9、，(20,30)，(21,25)，(21,30)，(25,30)其中至少有1名优秀工人的共有9种取法：(17,25)，(17,30)，(19,25)，(19,30)，(20,25)，(20,30)，(21,25)，(21,30)，(25,30)由概率公式可得P.故选C.12设一元二次方程x2BxC0，若B，C是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为()A. B C. D.解析：选D因为B，C是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，所以一共有36种情况由方程有实数根知，B24C0，显然B1.当B2时，C1(1种)；当B3时，C1,2(2种)；当B4时，C1,2,3,
10、4(4种)；当B5时，C1,2,3,4,5,6(6种)；当B6时，C1,2,3,4,5,6(6种)故方程有实数根共有19种情况，所以方程有实数根的概率是.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13一个口袋内装有大小相同的10个白球，5个黑球，5个红球，从中任取一球是白球或黑球的概率为_解析：记“任取一球为白球”为事件A，“任取一球为黑球”为事件B，则P(AB)P(A)P(B).答案： 14在一棱长为6 cm的密闭的正方体容器内，自由飘浮着一气泡(大小忽略不计)，则该气泡距正方体的顶点不小于1 cm的概率为_解析：距离顶点小于1 cm的所有点对应的区域可构成一个半径为1 cm的球，其
11、体积为，正方体的体积为216，故该气泡距正方体的顶点不小于1 cm的概率为1.答案：115已知集合A(x，y)|x2y21，集合B(x，y)|xya0，若AB的概率为1，则a的取值范围是_解析：依题意知，直线xya0与圆x2y21恒有公共点，故1，解得a.答案：， 16从1,2,3,4这四个数字中，任取两个，这两个数字都是奇数的概率是_，这两个数字之和是偶数的概率是_解析：从1,2,3,4四个数字中任取两个共有6种取法取的两个数字都是奇数只有1,3一种情况，故此时的概率为.若取出两个数字之和是偶数，必须同时取两个偶数或两个奇数，有1,3；2,4两种取法，所以所求的概率为.答案：三、解答题(本大
12、题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)袋子中装有大小和形状相同的小球，其中红球与黑球各1个，白球n个从袋子中随机取出1个小球，取到白球的概率是.(1)求n的值；(2)记从袋中随机取出的一个小球为白球得2分，为黑球得1分，为红球不得分现从袋子中取出2个小球，求总得分为2分的概率解：(1)由题意可得，解得n2.(2)设红球为a，黑球为b，白球为c1，c2，从袋子中取出2个小球的所有基本等可能事件为：(a，b)，(a，c1)，(a，c2)，(b，c1)，(b，c2)，(c1，c2)，共有6个，其中得2分的基本事件有(a，c1)，(a，c2)，所以总得分为2分的概率
13、为.18(12分)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额/元01 0002 0003 0004 000车辆数/辆500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)0.15，P(B)0.12.由于投保金额为2 800元
14、，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元或4 000元，所以其概率为P(A)P(B)0.150.120.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.11 000100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.212024(辆)所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为0.24，由频率估计概率得P(C)0.24.19(12分)一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编
15、号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nm2的概率解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3，共2个因此所求事件的概率P.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个又满足m
16、2n的事件的概率为P1，故满足nm2的事件的概率为1P11.20(12分)已知集合Z(x，y)|x0,2，y1,1(1)若x，yZ，求xy0的概率；(2)若x，yR，求xy0的概率解：(1)设“xy0，x，yZ”为事件A，x，yZ，x0,2，即x0,1,2；y1,1，即y1,0,1.则基本事件有：(0，1)，(0,0)，(0,1)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0)，(2,1)共9个其中满足“xy0”的基本事件有8个，P(A).故x，yZ，xy0的概率为.(2)设“xy0，x，yR”为事件B，x0,2，y1,1，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中
17、的阴影部分P(B)，故x，yR，xy0的概率为.21(12分)某校高三年级一次数学考试后，为了解学生的数学学习情况，随机抽取n名学生的数学成绩，制成如下所示的频率分布表.组号分组频数频率第一组90,100)50.05第二组100,110)a0.35第三组110,120)300.30第四组120,130)20b第五组130,140)100.10合计n1.00(1)求a，b，n的值；(2)若从第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名学生与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率解：(1)依题意，得0.05，0.35，b，解得n100，a35，b0.2
18、.(2)因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样的方法抽取6名学生，则第三、四、五组应分别抽取63(名)，62(名)，61(名)将第三组的3名学生分别记为a1，a2，a3，第四组的2名学生分别记为b1，b2，第五组的1名学生记为c1，则从6名学生中随机抽取2名，有a1，a2，a1，a3，a1，b1，a1，b2，a1，c1，a2，a3，a2，b1，a2，b2，a2，c1，a3，b1，a3，b2，a3，c1，b1，b2，b1，c1，b2，c1，共15种不同的取法，其中第三组的3名学生a1，a2，a3没有一名学生被抽取的情况有b1，b2，b1，c1，b2，c1，共3种，故第三组中至少有1名学生与
19、张老师面谈的概率P10.8.22(12分)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：40,50)，50,60)，90,100，得到如图所示的频率分布直方图(1)求图中实数a的值；(2)若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；(3)若从数学成绩在40,50)与90,100两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率解：(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10(0.0050.0100.020a0.0250.010)1.解得a0.
20、03.(2)根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)0.85.由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85544(人)(3)成绩在40,50)分数段内的人数为400.005102(人)，分别记为A，B，成绩在90,100分数段内的人数为400.010104(人)，分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在40,50)与90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种如果两名学生的数学成绩都在40,50)分数段内或都在90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在40,50)分数段内，另一个成绩在90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7种所以所求概率为P(M).- 10 -
