1、考点03 分式与二次根式一、分式1分式的定义（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式（2）分式中，A叫做分子，B叫做分母【注意】若B0，则有意义；若B=0，则无意义；若A=0且B0，则=02分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变用式子表示为或，其中A，B，C均为整式3约分及约分法则（1）约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分（2）约分法则把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数如果分式的分子、分母是
2、多项式，先分解因式，然后约分【注意】约分的根据是分式的基本性质约分的关键是找出分子和分母的公因式4最简分式分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式5通分及通分法则（1）通分根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分（2）通分法则把两个或者几个分式通分：先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最
3、简公分母为分母的分式；若分母是多项式，则先分解因式，再通分【注意】通分的根据是分式的基本性质通分的关键是确定几个分式的最简公分母6最简公分母几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母7分式的运算（1）分式的加减同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减用式子表示为：异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减用式子表示为：（2）分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母用式子表示为：（3）分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘用式子表示为：（
4、4）分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方用式子表示为：为正整数，（5）分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减有括号的，先算括号里的二、二次根式1二次根式的有关概念（1）二次根式的概念形如的式子叫做二次根式其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数【注意】被开方数只能是非负数即要使二次根式有意义，则a0（2）最简二次根式 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式（3）同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式2二
5、次根式的性质（1） 0（0）；（2）； （3）；（4）；（5）3二次根式的运算（1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式（2）二次根式的乘除乘法法则：；除法法则：（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用考向一 分式的有关概念1分式的三要素：（1）形如的式子；（2）均为整式；（3）分母中含有字母2分式的意义：（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等
6、于零，即（2）无意义的条件是分母为0（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0典例1 使得式子有意义的x的取值范围是Ax4Bx4Cx4Dx0，解得：x4，即x的取值范围是：x1考向二 分式的基本性质分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：（1）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变典例2 分式中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为A扩大为原来2倍 B缩小为原来的倍C不变 D缩小为原来的倍【答案】B【解析】若x、y的值都扩大到原来的2倍，则为把分式中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的
7、值为原来的，故选B【名师点睛】本题考查了分式的基本概念和性质的相关知识这类题目的一个易错点是：在没有充分理解题意的情况下简单地通过分式的基本性质得出分式值不变的结论对照分式的基本性质和本题的条件不难发现，本题不符合分式基本性质所描述的情况，不能直接利用其结论因此，在解决这类问题时，要注意认真理解题意2下列变形正确的是A=BC1=D=考向三 分式的约分与通分约分与通分的区别与联系：1约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；2约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；3通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式典例
8、3 关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确A约分的结果是B分式与的最简公分母是x-1C约分的结果是1D化简-的结果是1【答案】D【解析】A、=，故本选项错误；B、分式与的最简公分母是x2-1，故本选项错误；C、=，故本选项错误；D、-=1，故本选项正确，故选D【名师点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握3下列分式中，是最简分式的是A BC D考向四 分式的运算（1）分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母（2）分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因
9、式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去（3）分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则（4）分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式注意运算顺序，计算准确典例4 化简：【解析】【名师点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法4先化简，再求值：，其中x=4考向五 二次根式的概念与性质1二次根式的意义：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不
10、等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为02利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简典例5 函数y=的自变量的取值范围是Ax0且x0Bx0且xCx0Dx【答案】B【解析】根据题意得，x0且，x0且x故选B【名师点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法要使得本题函数式子有意义，必须满足被开方数是非负数且分母不为零5已知：x4，化简_典例6 下列二次根式是最简二次根式的是A BC D【答案】C【解析】A，故原选
11、项不是最简二次根式；B，故原选项不是最简二次根式；C，是最简二次根式；D，=4，故原选项不是最简二次根式，故选C6下列二次根式；5；其中是最简二次根式的有A2个 B3个C4个 D5个考向六 二次根式的运算1二次根式的运算（1）二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并（2）二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数（3）二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）2比较分式与二次根式的大小（1）分式：对于同分母分式，直接比较分子即可，异分母分式通常运用约分或通分法后作比较；（2）二次根式：可以直接比较被开方数的大小，也可以运用平方法来比较典例
12、7 下列计算正确的是A BC D【答案】A【解析】A、原式=2=，正确；B、原式=，错误；C、为最简结果，错误；D、原式=2，错误，故选A7计算：（1）26；（2）（3）典例8 比较大小：_5（填“” “【解析】因为，2825，所以5故答案为：【名师点睛】比较二次根式的大小，可以转化为比较被开方数的大小，也可以将两个数平方，计算出结果，再比较大小8设a=，b=1，c=，则a，b，c之间的大小关系是Acba Bacb Cbac Dabc1式子有意义，则实数a的取值范围是ABC且Da22若分式的值为零，则x值为Ax=3Bx=0Cx=-3Dx=33下列式子是最简二次根式的是ABCD4在化简分式的过程
13、中，开始出现错误的步骤是ABCD5下列关于分式的判断，正确的是A当x=2时，的值为零B当x3时，有意义C无论x为何值，不可能得整数值D无论x为何值，的值总为正数6计算的结果是ABCD17若最简二次根式的被开方数相同，则a的值为A1 B2 C D8化简的结果是，则a的值是A1B-1C2D-29已知 ，则 化简的结果是A B C D10下列运算中错误的是A=B23=5CD=411若分式的值为0，则x的值为A1 B1 C1 D无解12化简：的结果是A2 BC D13若x、y满足，则的值等于A BC D14已知，则的值为A B C D不确定15计算：=_16与数字最接近的整数是_17比较大小：2_（填
14、“、0Bx-1Cx1Dx13（2019黄石）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是Ax1且x2Bx1Cx1且x2Dx1，abc故选D考点冲关1【答案】C【解析】由题意得：a+10，且a20，解得，且故选C2【答案】D【解析】分式的值为零，x2-9=0且x+30解得：x=3故选D3【答案】C【解析】A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、=6，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、是最简二次根式，故本选项符合题意；D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意，故选C4【答案】B【解析】正确的解题步骤是：，开始出现错误的步骤是去括号是漏乘了故选B5【答案】1【解析】x4，x-40，原
15、式=1，故答案为：1【名师点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键6【答案】D【解析】，故选D7【答案】D【解析】，解得，故选D8【答案】A【解析】，a=1，故选A9【答案】B【解析】x1，x-10，=|x-1|=1-x故选：B10【答案】B【解析】A原式=，所以A选项的计算正确；B2和3不能合并，所以B选项的计算错误C原式=，所以C选项的计算正确；D原式=4，所以D选项的计算正确故选B11【答案】A【解析】分式的值为0，|x|1=0，且x+10，解得：x=1故选A12【答案】B【解析】=（）（x3）=（x3）（x3）=1=故选B13【答案】B【解析】，故选B14【答
16、案】A【解析】，即x+2+=a，x+=a2，故选A15【答案】 【解析】根据二次根式的乘法法则进行计算可得：，故答案为16【答案】4【解析】，最接近的整数是，=4，故答案为：417【答案】【解析】将两式进行平方可得：=12，=18，因为1218，所以18【答案】-16【解析】原式=-（2+2）（2-2）=-（20-4）=-16故答案为：-1619【答案】1【解析】对待求值的代数式进行化简，得，a，b互为倒数，ab=1，原式=1故答案为：120【答案】【解析】，ab=2ab原式=2+=故答案为：21【解析】（1）原式=4a2（2）原式=322【解析】，当，时，原式=23【解析】原式=，根据分式有
17、意义的条件可知：m=-1，原式=24【解析】原式= = = 由m是方程的根，得到，所以原式=25【解析】原式=，=a=2，原式=直通中考1【答案】D【解析】代数式有意义，x-30，x3故选D2【答案】C【解析】由题意，得x-10，解得x1，故选C3【答案】A【解析】依题意，得x-10且x-200，解得x1且x2故选A4【答案】D【解析】A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C不符合题意；D、是最简二次根式，故D符合题意故选D5【答案】D【解析】x-1=0，x=1，经检验：x=1是原分式方程的解，故选D6【答案】B【解析】故选B7【答案】D【解析】分式可变形为：故选D8【答案】B【
18、解析】原式（-a2）=-a，故选B9【答案】A【解析】原式=，故选A10【答案】B【解析】原式故选B11【答案】D【解析】原式=（m+n）（m-n）=（m+n）（m-n）=3（m+n），当m+n=1时，原式=3故选D12【答案】B【解析】，又x为正整数，x1，故表示的值的点落在，故选B13【答案】C【解析】=2+6=2+，又因为45，所以62+8【解析】代数式有意义时，x-80，解得x8故答案为：x815【答案】3【解析】，故答案为：316【答案】【解析】原式=故答案为：17【答案】【解析】，故答案为：18【答案】2【解析】原式=3-1=2故答案为：219【答案】x+1【解析】=，故答案为：x+120【答案】【解析】原式故答案为：21【解析】原式=3+4-426=3+4-422=722【解析】原式=23【解析】原式=x+2，将x=-1代入得：原式=x+2=124【解析】原式= =，当x=时，原式=25【解析】（x+3）=（），当x=1时，原式26【解析】原式=，解不等式组得-2x4，其整数解为-1，0，1，2，3，要使原分式有意义，x可取0，2当x=0时，原式=-3，（或当x=2时，原式=）28
