1、课时跟踪检测（九） 空间向量与平行关系一、基本能力达标1已知向量a(2,4,5)，b(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1l2，则()Ax6，y15Bx3，yCx3，y15 Dx6，y解析：选Dl1l2，设ab，(2,4,5)(3，x，y)，x6，y.2已知l，且l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为，则m()A8 B5C5 D8解析：选Al，直线l的方向向量与平面的法向量垂直220，m8.3若平面，的一个法向量分别为m，n，则()A BC与相交但不垂直 D或与重合解析：选Dn3m，mn，或与重合4.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，C
2、D，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等给出下列结论：A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面DCC1D1；A1M平面D1PQB1.这四个结论中正确的个数为()A1 B2C3 D4解析：选C，从而A1MD1P，可得正确又B1Q与D1P不平行，故不正确5已知两直线l1与l2的方向向量分别为v1(1，3，2)，v2(3,9,6)，则l1与l2的位置关系是_解析：v23v1，l1l2或l1与l2重合答案：平行或重合6若平面1的一个法向量为n1(3，y,2)，平面2的一个法向量为n2(6，2，z)，且12，则yz_.解析：12，n1n2.y1，z4.yz3.答案：37.如图，在四棱锥OABCD中，底面A
3、BCD是边长为1的菱形，ABC，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点，N为BC的中点证明：直线MN平面OCD.证明：作APCD于点P.如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则A(0,0,0)，B(1,0,0)，P，D，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N.，.设平面OCD的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.即取z，解得n(0,4，)n(1，1)(0,4，)0，n.又MN平面OCD，MN平面OCD.8已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.证明：如图
4、所示建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2，2,2)，所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1)(1)设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1，n1，即得令z12，则y11，所以n1(0，1,2)因为n1220，所以n1.又因为FC1平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)因为(2,0,0)，设n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量由n2，n2，得得令z22，得y21，所以n2(0，1,2)，因为n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.二、综合能力提升1若直线l的方
5、向向量为a，平面的法向量为n，直线l不在平面内，则能使l的是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)解析：选D直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，要使l，则an，an0.只有D中an0.2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交B平行C垂直 D不能确定解析：选B建系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)，M(2,1,1)，N(1,1,2)
6、，(1,0,1)又平面BB1C1C的一个法向量为n(0,1,0)，1001100，n，MN平面BB1C1C.故选B.3在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD3，AA12，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点求证：PQRS.证明：法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，(3,2,1)， (3,2,1)，即PQRS.法二：，即RSPQ.4在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD4，AA12.点M在棱BB1上，且BM2MB1
7、，点S在DD1上，且SD12SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点求证：MN平面RSD.证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则根据题意得M，N(0,2,2)，R(3,2,0)，S.，.MRS.MNRS.又RS平面RSD，MN平面RSD，MN平面RSD.法二：设a，b，c，则MB1cab，bac，又RMN，MNRS.又RS平面RSD，MN平面RSD，MN平面RSD.5如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则A1(0,0,1)，B(1,0,0)，B1(1,0,1)，E，(1,0,1)，.设n(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n0，n0，得所以xz，yz.取z2，得n(2,1,2)设棱C1D1上存在点F(t,1,1)(0t1)满足条件，又B1(1,0,1)，所以(t1,1,0)而B1F平面A1BE，于是B1F平面A1BEn0(t1,1,0)(2,1,2)02(t1)10tF为C1D1的中点这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F平面A1BE.- 6 -
