1、赛马不相马 敢为天下先 彩票中的数学李英雄， 郭松海， 康 慧指导教师： 蔡吉花 陈兴元 母丽华(黑龙江科技学院，哈尔滨150001)编者按：本文考虑了单注收益率、彩民心理因素、彩票设置公平度等因素，尽管量化这些因素不一定恰如其分，但以这些因素构造判别函数还是合理的，文章据此判定现行方案的优劣，规划出更优的方案。正如文章的讨论所述所得优化方案与销售额有关是一个大缺陷。数模竞赛多年来均提出要注意摘要的质量。今年的B题要求作者给报纸写一篇论文供彩民参考，本文的短文是一篇不错的文章、写摘要和短文的能力是竞赛要求的，对科技工作人员也是非常重要的，但今年竞赛论文在这方面仍有很多问题，许多短文并没有为彩民
2、提供恰当的信息，正确认识和分析彩票活动。摘 要：本模型讨论的是如何评判传统型彩票和乐透型彩票的一般评奖方案的合理性问题。本文首先根据彩票中奖规则，利用古典概率求出了这两种类型彩票的各种奖项出现的可能性。把每注彩票中奖与否看成贝努利试验，在假设每期彩票的销售量足够多的前提下，由贝努利大数定律归结为正态分布，从而求出了每注彩票的平均收益率。在此基础上，结合公平尺度，利用彩民的博彩心理因素构造了评判方案合理性的判别函数，利用MATlAB61软件编程计算，判别出题目所给方案的奖金设置的优劣，并且利用这个判别函数，我们建立了求解最优方案的非线性规划模型。通过求解所建立的模型，找到在给定销售注数下最优方案
3、及奖项和奖金额的设置。关键词：彩票；二项分布；期望收益率；判别函数分类号：AMS(2000)90C05 中图分类号：0221.1 文献标识码：A1 问题的重述(略)2 模型的假设及符号说明21模型的假设1)每注彩票只兑付最高奖级奖金，不可兼得；2)假设彩票的规则是以公平合理为原则；3)假设彩票的发行费用不计，彩票总奖金比例一般为销售总金额的50；4)假设高项奖按事先设定的百分比分配，且按当期各奖级实际中奖注数平均分配该奖5)奖金取决于当期彩票投注额的多少6)假设彩民大都具有博彩心理。22符号说明1）等奖是否被取走，即或1；2）,7）表示k等奖注数；3）表示等奖中奖注数；4）n：表示当期已售出的
4、彩票注数；5）,7)表示每注彩票第项奖的奖金额；6）：表示取走的奖金额=；7）表示一注中奖彩票被取走的奖金比率，即单电流计彩标平均收益率；8）：表示第等奖概率（,7）；9）表示第10）表示博彩心理函数；11）S：表示低项奖奖额在总奖项中所占的比例；12）f：判别方案合理性的判别函数。3 问题的分析3.1求两种类型彩票每注中各奖项的概率。设彩票有7等奖，对某一方案而言，每注彩票中中各等将奖的概率是可求的，分辊用P1，P2，P7来表示中一等奖到七等奖的概率。由古典概率问题求得传统型和乐透型概率如下（略）32设当期彩票售n注彩票，研究每注彩票的收益由于当期彩票的总奖金与售出彩票注数n有关，n注彩票中
5、，获得第等奖的中奖注数是随机变量，且服从二项分布b（），即由贝努利大数定律可知，当n足够大时，近似服从正态分布，其期望与方差分别为记由的独立性高项奖4的第等奖的奖金额X，由题目中给出的计算方法得若等奖是否被取走，则服从两点分布。表示等奖没被取走，表示等奖没被取走，其分布率为若表示取走的奖金总额，它是一个随机变量，则表示单注彩票的收益率。基于彩票的总奖金比例一般为销售总额的50%，单注彩票金额为2元，首先分析的数学期望取n=100万，150万，200万，300万，利用公式（1）求出了题目表三中29种方案，在不同n下每注彩票的平均收益率，从运算结查看，随着n的增大，平均收认罪率趋定值1。3.3从公
6、平因素出发进行分析利用公平原则确定奖金在各个奖面中分配情况，中奖的概率第项奖单注中奖金额具有相关性，即中奖可能性越小，奖金额越高，例如，在打麻将中，和边与和夹的几率相差近2看守，获得报酬也差2倍。再者中奖几率和成本有直接关系，假设中一等奖的概率是0.001，中二等奖的概率是0.01，是一等奖平均抽1000注（需2000）元才能中一次，而二等奖需要100注（需200元），可见中奖收益和中奖概率应成反比，最理想的情奖品为中奖概率和奖金额乘积等于常数。我们把总奖金额分成低项、高项两部分，在每项内部考虑公平因素，若考虑奖项为1到7等奖的方案为常数我们称议价以式为公平尺度。若低项奖的百分比为S，则高项奖
7、的百分比为（1-s），上低项奖内部公平尺度有以下公式由高项奖内部公平尺度以下公式则（当n是定值时，其值是常数）。以反映了高项将的公平程度，此时当且仅当时最大。同理也反映了低项奖的公平程度。我们可取可作为衡量公平程度的数学表达式，但由于远小于1，所以d很小，设记为总公平因子。3.4博彩心理的因素分析彩民的兴趣大小与单注收益率、公平度相关。对一个方案，彩民的看法主要是由收益决定的。我们用这个量的某个涵数来衡量方案的彩民的吸引力，而彩民的看法是一个心理在素，是一个很难准确衡量的量。根据心理学的知识，人的心理因素的变化可用博彩心理函数来近拟刻画，博彩心理与单注的收益率有关，因此，取博彩心理涵数为其中表
8、示销售注数。4 模型的建立与求解综合以上的分析，我们用影响方案合理性的三个因子：收益期望，公平因素，博彩因素，来构造给定方案合理性的评判函数，并且通过求解这个函数的值来定各方案的优劣。4.1评价涵数的构造（第一问的解答）方案的吸及力函数f=博彩因子*公平因子，即根据彩票目前每期开奖的有关资料，以及题目中对单注一等奖奖金的约束，取彩票销售注数n=200万注进行计算。以29个方案的有关数据代入判别函数中，求出的值，通过比较值的大小，我们可以确定给嫁祸于人的各种方案的优劣。由此得到对29个方案的排序为9,5,11,8,7,19,20,16,24,10,6,22,18,25,12,26,13,14,2
9、3,15,17,21,29,2,27,3,28,4,14.2第二问的模型及解答由问题一的法语解结果可以看出，传统理和无特别号（23号）的方案已不可能列入最优方案中，因此，问题二中只需在乐透型彩票的两种方案（和）进行讨集结，我们需要求出当M，N取何值，取几个奖项，高项奖的百分比及低项奖的奖金额为多少时方案最优。最优方案的目标函数仍然问题一的判别函数，其中的变量，根据题目的表3给出的数据和问题一的讨论满足如下的条件。若销售n注彩票，是等奖被取走的概率为（1-（1-），有均有注彩票获等奖。因此等奖能取走的金额为由公平原则因此而N最大为60，因此，可约束。综合以上的分析可得到问题二的求解模型为 把乐透
10、型的两种情况的概率代入上式，利用MATLAB6.1编程计算得到此非线性规划问题的最优解为上述结果是当期彩票的注数时，应选择的方案。利用此模型，我们求得了当期彩票的销售注数n=100万,150万,250万,300万,400万,500万时，应选择的最优方案表1计算结果注数n最优方案100万63263210.800110091403082150万73168090.780120102101850250万6+13259340.770100132041920300万63670690.720120161213560350万73369640.740150111902550400万73558750.750170
11、082051620500万73648960.8001001014328105 模型优缺点的讨论5.1优点本模型全面考虑了彩票的收益、公平度及博彩心理因素，建立了一个对彩票方案进行评价的模型。结合实例，用本模型可以寻找给定摸彩方法的最优方案，并能对给定方案进行评价。它利用评价函数，运用公平尺度，结合收益原则，建立了优化模型，这种方法是本模型最突出的特色。它使奖金的设置有章可循，在今后类似活动中有较科学的指导作用。52缺点 本模型是对固定的销售注数的基础上，分析了给定摸彩方法的评判规则，并求出了最优方案，但始终没有能够脱离销售注数考虑问题，而且我们没有解决设计不同的方案还会影响到销售注数。6 给报
12、纸写的一篇短文把握机会 理智博彩 在高节奏的现代社会，人们的生活节拍加快，紧张的精神状态渴求得到放松。彩票悄然走进人们的生活，正在默默地发挥着心理按摩医生的作用。彩票是建立在机会均等的基础上，公平竞争的娱乐性游戏。它把穷人和富翁的距离变得不再遥远。它将成为社会保障基金多元化来源的一种，可以集中利用社会的闲散资金，“取之于民，用之于民”，用大家乐于支出的钱，办大家希望办成的事。不过值得注意的是，当前人们在对彩票业的认识和相关宣传中存在着诸多似是而非的误区。为了促进这项具有重大意义的事业发展，我们通过对“传统型”和“乐透型”两种彩票的各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置的数学分析，给广大彩民如
13、下几点建议： 一、购买彩票，奉献爱心 彩票是筹集资金的有效手段，在市场经济条件下，我国要大力发展教育、体育事业，搞好福利事业，完善社会保障体系，这些都需要大量资金，根据民政部门有关规定，彩票销售总额的30要作为社会福利基金专项专用，福利基金的三分之二用于本地区的社会福利事业，三分之一上交中央或本地政府调剂使用。所以购买一注彩票，既为自己增加了一次发财的机会，也为社会奉献了一片爱心。二、把握尺度，合理购彩较高的预期收益总和较大的预期风险相联系。投资彩票游戏，并不是获取收益的正常途径。把彩票作为一种消遣，一种娱乐，把握尺度，合理购彩。忌当成职业，透支赊帐博彩。彩民应谨慎理智购彩，每期适当投入几元，
14、既能买个希望梦想回家，也能享受开奖时刻的心动，又不至于因盲目的投入引发“家庭经济危机”。三、讲究投注的科学性，树立彩民良好形象彩号的出现随意性强，本身具有不可预测，是一种科学刺激、往往能带给人惊喜的游戏。因此，彩票本身就是玩的心动与潇洒。做一个文明彩民，将科学购彩进行到底，把买彩当作一项娱乐，重在参与。至今为止，还没有发现哪一期特等奖的号码是人为地被预先“研究”出来的。事实上，买彩者“心想”未必一定“事成”。购买者一定要理智对待。从我们对“传统型”和“乐透型”彩票中各种奖项出现的可能性、对彩民的吸引力等因素的综合分析中，可以看出，每注“乐透型”彩票比“传统型”彩票的平均收益率大，而且乐透型彩票
15、的趣味性也很高，它正逐渐成为世界彩票业的主流。周而复始的梦想与希望，带给人们的是一种轻松愉悦的心理体验过程，它能使人们在平时工作和生活中长期绷紧的神经得以放松，使人们在不知不觉中拥有一种快乐的心情。这就是彩票游戏的乐趣。参考文献1高强从经济学角度审视博彩现象J)陕西经贸学院学报，2001；102吴珊娜彩票的运行机理J渭南师范学院学报，2001；63何文章数学建模与实验M哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，2002；34何文章大学数学实验M哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，2000；85母丽华数学实验M哈尔滨：黑龙江科学技术出版社，2002；86吕盛鸽概率统计在彩票选号中的应用J统计与决策，2001；87
16、许乘概率论与数理统计M哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2002；3彩票中的数学”问题的优化模型与评述 韩中庚(解放军信息工程大学信息工程学院，郑州450002)摘 要：本文介绍了2002年全国大学生数学建模竞赛B题的背景和产生的过程、建模思想和基本方法、以及存在的问题 和进一步要研究的问题，最后给出了一个具体的优化模型及求解结果。关键词：彩票方案；中奖概率；心里曲线；吸引力分类号：AMS(2000)90C05 中图分类号：02211 文献标识码：A 2002年由本人提供的“彩票中的数学”一题有幸被全国组委会所采用(B题)，赛后应邀参加了北京赛区和全国的评卷工作，根据评卷的情况和自己的感受，将这个
17、问题的背景和产生过程、通常的建模方法和存在的问题，以及自己的一点感想介绍给大家。最后将我建立的一个模型写在后面，供大家参考。一、关于“彩票中的数学”问题的综合评述1 问题的背景 目前在全国内地31个省(市、自治区)都有彩票发行，可以说是彩票遍布中华大地，涉及全国的千家万户，相关的信息也是全国各地方媒体如电视、电台、报纸和网站所关注的热点新闻之一，从国家到地方都有专门的管理机构和专职人员，各地方也都有了专门的网站和报纸。在国际上许多国家和地区也都有相应的彩票发行。对有些人来说，博彩已成为生活的一部分，影响之大不言而喻。另据中国彩票网消息：“某些国家的彩票发行已占国家的GDP的1左右，而在我国，目
18、前这一比例仅为008左右”，如此看来中国的彩票发行规模还有一定的发展空间。 从目前全国各省(市、自治区)的彩票发行情况来看，其规则、奖项设置和设奖比例都不尽相同，而且有的差异很大，运行模式不统一，管理还不够规范，这些问题已经引起了许多人大代表和政协委员以及有关专家学者关注，也引起了政府有关部门的重视；政府为要加强管理和规范彩票的发行工作，出台了新的“彩票发行与销售管理办法”，对于彩票发行环节中的销售、开奖、游戏过程等相关内容，做出了原则性的规定(中国彩票网)。为此，我们认为对中国目前的彩票市场的运作情况进行研究和评价是必要的，尤其是对目前已有的彩票方案的合理性评估，以及现行规则是否符合本地区的
19、实际情况，能否通过彩票发行规则的制定提高对广大彩民的吸引力，促使更多的人加入到彩民的行列中来，使得国家和彩民的利益得到双赢，进一步促进我国的彩票事业的健康发展。我们就是在这样背景下，从数学的角度来研究这个“彩票问题”，是有现实意义的。作者认为通过对这个问题的研究，可能会产生一定的社会影响，或许能对某些地方的彩票发行工作有所帮助或促进，这是作者的一点想法。2 问题的产生过程 在评卷时，有好几位老师问我是怎么想到出这么一道题的。谈到这个问题的形成过程，早在2000年正是中国的彩票飓风刚刚形成的时候，作为一个数学工作者，特别是对于一个从事数学建模的数学工作者，更具有一种特别的敏感性和好奇心，意识到“
20、彩票的游戏规则”本身就是一个“数学游戏”，其中包含着许多数学问题。从河南省发行第一期福彩开始，到2001年共收集了一百多期的开奖数据资料，做了大量的统计计算和分析研究，就此结果提出了一个“百万元之梦能圆吗”?的问题，该问题主要侧重于选号的规律和方法上，后来发现这个问题是不可研究的，也是在姜启源教授的启发指导下，借助于网上的相关数据资料，将问题转到了彩票方案的评价和设计上来，从而提出了“彩票中的数学”这一问题。在该问题的进一步研究和求解过程中，也得到了北京大学孙山泽教授的指导和帮助。最后，该问题的描述和润色是由全国组委会的叶其孝教授、姜启源教授和唐云教授等专家集体创作而成。在此，对他们的指导和帮
21、助表示诚挚的感谢。3 建模方法综述 “彩票中的数学”这一问题与以往的赛题有所不同，它是一个完全开放的题目，给参赛学生留有很大的发挥创造的空间。该问题没有固定的解决方法和确定的数据答案。按照全国组委会和评审组讨论的意见，该题的评判原则主要有以下几点： 1)各方案的中奖概率是唯一确定的，要基本正确； 2)问题(一)要综合考虑方案的奖项、奖金、中奖率、中奖面等因素对彩民的吸引力，建立明确的、有可靠依据的评价指标，对已有方案做出评价； 3)问题(二)是在问题(一)的基础上建立优化模型(一般为，非线性的)，通过求解寻求更好的方案，不能用定性的描述确定； 4)问题(三)是建模的一部分，不能缺少。 符合以上
22、几点要求的答卷就是一份成功的论文答卷。 从评卷的情况来看，大多数的参赛队都能正确把握住了题目的主题，较好地完成了答卷。主要典型的方法可以归纳为三大类： i）风险决策的效用函数法：有些参赛队都是利用风险决策的理论和方法对问题进行了研究，但在效用函数的取法和合理性指标函数的确定上有差异，这里介绍几种。 a）取偏大型正态分布函数为效用函数，并将彩票方案对彩民的吸引力分为奖金的吸引力和中奖率的吸引力两个部分，分别构造出了两个满意度函数，并依据国家权威部门的调查报告中的数据将彩民分为冒险者、中立者和避险者三类，比例分别为，按照各自的最大满意度分别确定了相应的满意参数于是得到了满意度函数由此构造出吸度函数
23、其中表示第等奖的奖金的平均值，第等奖到第等奖的奖金的平均值，第等奖的概率之和。以为合理性指标函数对已有方案进行评价，解决了问题（一）。并对各奖项的设置、奖金比例，奖金数额和相应的概率给出约束，建立了非线性优化模型，解决了问题（二），模型的求解采用MATLAB实现。b）取博彩的心理函数为其中即表示单注彩票的平均收益，n为销售注数。于是构造吸引力函数为：这里表示总公平因子，即高项奖和低项奖的公平因子。并以为指标函数建立了相应的优化模型。c）取效用函数为，参数a利用“高通滤波系统中下限截止频率”的方法可以确定为。d）取模糊数学业中隶属度函数来反映彩票方案对彩民影响的心理为化规律，这里x0说明当彩民购
24、买彩票没有获奖而对彩民的负面影响的程度。并分别考虑客观概率和主观概率相应地构造出合理性指标函数和。所谓的主观概率，主要是从心理学的角度“人们通常倾向于高估低概率事件的出现，低估高概率事件的出现”，这就是主观概率与客观概率的差异。由此进一步构造出了合理性指标函数和优化模型。ii）层次分析法：答卷中有很多的都是以层次分析为主要方法对问题进行研究评价的，但所考虑的因素不尽相同，在比较矩阵和权重的确定上五花八门，多数都是以个人的主观意志确定的，一般认为这种方法缺少可靠的依据。使用较好是：综合考虑一等奖金额、低项资金额、中资率和中奖面等因素，并经社会调查得到了彩民对各因素重视的程度，使用得当也只能对问题
25、（一）进行讨论，解决问题（二）却无能为力。iii）分类加权法：将彩民分为风险喜好型、风险厌恶型和中性型三类，不同类型的彩民对各因素法和看法不同。有的队是根据社会调查或网上资料数据给出相应的权重。一般认为这种方法也有一定的主观性。另外，问题（三）要求“给报纸写一篇短文，供彩民参考”。它是建模的一部分，这也是今年B题的特点之一，主要是为考核学生对社会、生活中的热点问题的认识和理解能力，我们的大学生是社会大家庭中的一员，应该将自己熔人社会之去。这个问题也是为了考核学生的文字表达能力，这也是我们数学建模重点要求的一个方面。赛后有老师问我：“提出这个问题的初衷是什第”？按我的想法是：“从正面向老百性介、
26、绍购采的意义，引导彩民科学、理智地积极购买彩票，而不是教彩民如何下注、如何选号能中大奖”!事实上，从问题的提法上就已体现出来了：“通过报纸给彩民的建议”，我想正规的报纸刊载相关文章一定也是这样的内容。最让我高兴的是，很多队都写出了非常精彩的短文。这里把其中两篇短文的主要观点介绍给大家：把握机会，理智博彩：购买彩票，奉献爱心；把握尺度，合理购彩；讲究投注的科学性，树立彩民良好形象。谨慎“挂彩”：不要把彩票看成赌博；不要把买彩票看成是投资；不要把买彩票单纯是为了中奖；不要超过自己的经济实力购买彩票。他们在文章中不仅提出了自己的观点，而且也给出了有理有据的论述，得到了评委们的一致好评，我想这对他们能
27、够获得好的奖励不无关系。4 存在的问题从送全国评奖的三佰多份答案卷(B题)来看，三位同学三天内完成这样一篇研究论文应该是成功之作了，但还是存在这样那样的问题，根据我的感觉，在这里把我认为较普遍的问题提出来，供大家参考。1)有些队对题目的把握不准，审题不清，偏了题，所以没有正确地解决好问题。例如：题目中彩票的设奖率为50，单注彩票为2元等指标是给定的，现行的彩票方案也都有是如此，而用大量篇幅对此进行讨论是不合适的。2)多数用层次分析法的队都是主观定权的，有的偏向于一等奖金额，有的偏向于中奖率，一般认为都是不合适的。凡是这样的答卷所得的“最好”方案必定是23号(735，无特别号)，该方案显然不是最
28、好的。3)有些队，对问题(二)没有给出明确的优化模型，只是在评价已有方案的基础上，通过定性的分析、或综合几种认为较好的方案、或主观修改了某种方案的奖项和设奖比例等而得到一种方案，就认为是“最好”的了。4)有很多队的概率计算有错误，较普遍的是“传统型”(6+110)中四、五、六等奖的概率和23号方案的概率的计算，错的最多的是6+110中六等奖的概率。主要是忽略了“若已中高级别的奖就不再兼中低级别的奖”这一事实，计算了重复中奖的概率。譬如：六等奖的概率为 事实上，六等奖可能的组合和相应的组合数如下：其中*表示可以任意取的号码数；表示不能取相应的号码数。注意到，这里可能含有重复的组合，即中可能含、和
29、，组合数分别为、中可能含有，组合数为中可能含有，组合数为。综上所述，六等奖的组合数为。5 进一步要研究的问题我国的彩票事业还处于发展阶段，还有一些复杂的问题需要进一步的研究。就本题而言，也有一些值得进一步研究的问题： 1)关于彩票方案对彩民的吸引力问题，即彩民对待某种彩票方案的心理状态如何?用什么样的心理曲线能够准确地反映出不同类型彩民的心理变化情况? 2)合理性指标函数的构造问题。 3)彩票公司发行彩票的收益和风险问题，以及彩民购买彩票的中奖与风险的关系问题。 4)奖池有奖金的滚动积累，对彩票的发行和对彩民的心理影响问题。 注：对于后面的两个问题有很多不确定的因素，研究起来可能要复杂一些，故
30、此我在命题时有意回避了这两个问题，但有的参赛队想到了，并做了一些相关讨论。6 几点感想 彩票目前仍是社会上的热点问题之一，这个问题作为赛题提出，也产生了一定的社会效应，北京日报于2002年9月21日在报道“2002年高教社杯大学生建模竞赛”消息的同时，基本上全文刊载了这个题目，在社会上产生了一定的影响。从各赛区和全国组委会统计的情况来看，在本科组的参赛队中选B题的占了五分之三以上，也充分反应出广大学生对这一问题的兴趣和偏爱，更值得一提的是，在竞赛完以后，有些从来没有买过彩票的老师和同学都去亲身体验了下博彩的感觉，轻轻松松当了一次彩民，也是为福利事业尽了微薄之力。就这样一道题目能产生这样的社会效
31、应，这也是使作者最感到欣慰的。 通过这个问题，也使我进一步地认识到人们常说的一名话“数学无处不在”的内含，现在我觉得可以说：“数学模型无处不在”了。随着科学技术的发展，实际中有大量的实际问题需要用数学建模的方法转化为数学问题，即建立数学模型，然后用计算机来求解，这正是我们数学建模的过程。数学建模将会在工程与数学、工程师与数学家之间架起一座金桥，沟通二者之间的关系，消除二者因处理问题的方法和思维方式的差异而产生的障碍与隔阂。在此，我衷心地希望有更多的老师和同学们加入到数学建模的队伍中来，特别是基础课的老师们，在数学建模中提高自己、找到自己的价值和用武之地，也可以从中得到快乐，也是为我们的数学建模
32、事业健康发展做出应有的贡献。 今年，作为月题的命题人有幸参加了北京赛区和全国的评卷工作，使我感受最深的就是全国组委的专家教授们为保证评卷工作的准确性和公正性，做了大量深入细致的工作，组织工作迥然有条，他们认真对待每一份答卷、每一个问题。特别是由于参加全国评卷的评委来自于不同赛区和学校，经过组委会的科学分组，对答卷随机编号、密封，使任何一位评委都不会评判到所在赛区的任何一份答卷，并由多年参加评卷工作、又与参赛院校无关的专家负责协调工作，真正做到了公平、公正。这才是竞赛靠实力，拿奖靠水平。在几天的评卷工作中，同全国组委会和评委会的专家教授们一起工作、一起讨论问题，使自己受益匪浅。同时，有很多老师对
33、及题也提出了很好的意见和建议，在此一并表示谢意。二、“彩票中的数学”问题的优化模型 评价一个方案的优劣，或合理性如何，主要取决于彩票公司和广大彩民两方面的利益、事实上，公司和彩民各得销售总额的50%。是确定的，双方的利益主要就取决于销售总额的大小，即双方的利益都与销售额成正比。因此，问题是怎样才能有利于销售额的增加?即公司采用什么样的方案才能吸引广大的彩民积极踊跃购买彩票?具体地讲，问题涉及到一个方案的设置使彩民获奖的可能性有多大、奖金额有多少、中奖面怎样、各奖项的设置是否合理等因素，这些都对彩民的购买彩票的吸引力产生一定的影响，在这里可用彩民的心理曲线来描述一个方案对彩民的吸引力。另外，一个
34、方案对彩民的影响程度可能与区域有关，即与彩民所在地区的经济状况，以及收入和消费水平有关。为此，我们要考查一个方案的合理性问题，需要综合考虑以上这些因素的影响，这是我们建立模型的关键所在。1 模型假设与符号说明1)假设：彩票摇奖是公平公正的，各号码的出现是随机的，彩民购买彩票是随机的独立事件；对同一方案中高级别奖项的奖金比例或奖金额不应低于相对低级别的奖金比例或奖金额；根据我国的现行制度，假设我国居民的平均工作年限为T=35年。2)符号第j等(高项)奖占高项奖总额的比例，j=1,2,3;第i等奖奖金额均值彩民中第i等奖xi的概率，彩民对某个方案第i等奖的满意度，即第i等奖对彩民的吸引力，某地区的
35、平均收入和消费水平的相关因子，称为“实力因子”，一般为常数。2 建模的准备 1)彩民获各项奖的概率从已给的29种方案可知，可将其分为四类，选6+1(6+1/10)型、无特别号型，分别给出各种类型方案的彩民获各奖项的概率公式各种方案的各个奖项获奖概率及获奖总概率计算如表1。表1方案1-46+1/1020.81.82.613.424.23090.04569557/296.407054.484949.41842.82552.82550.470920.0298250.03774266+1/296.407051.40968.45738.88022.22001.48000.0197340.0377427-
36、97-304.912073.438457.56462.26942.38280.397140.0264760.03313710-117/313.802902.662036.12271.83682.02050.336750.0235720.02920812-147/322.971012.079714.99131.49741.7220.287000.210470.02583215-167/332.340801.638564.09641.22891.47472.245780.0188430.02294117-187/341.858871.301213.38311.01491.26870.211450.
37、0169160.02043619-227/351.487091.040972.81060.843181.09610.182690.0152240.018261237/351.4870929.147118.05170.51106.570.124834-256+1/361.197943.474022.08442.91820.729540.656590.0087550.016367267/361.197940.8385562.34800.704390.950920.158490.0137360.016367277/370.971300.6799111.97170.591520.828130.1380
38、20.0124220.014740286/402.60531.56325.15841.28962.06340.275120.0284280.033425295/601.8310.915574.94370.988742.62020.262020.0454160.0508062)确定彩民的心理曲线一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念，在此，彩民对一个方案的各个奖项及奖金额的看法（即对彩民的吸引力）的变化就是一个典型的模糊概念。由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据人们通常对一件事物的心理变化一般遵循的规律，不妨定义彩民的心理曲线为 其中表示彩民平均收入的相关因子，称为实力因子，一般为常
39、数。3）计算实力因子实力因子是反应一个地区彩民的平均收入和消费水平的指标，确定一个地区彩票方案应该考虑所在地区的实力因子，在我国不同地区收入和消费水平是不同的，因此，不同地区实力因子应有一定的差异，目前各地区现行的方案不尽相同，要统一来评估这些方案的合理性，就应该对同一个实力因子进行研究。为此，我们以中等地区收入水平（或全国平均水平）为例进行研究。根据相关网站的统计数据，不妨取人均年收入1.5万元，按我国的现行制度，平均工作年限T=35年，则人均总收入为52.5万元，于是，当万元时，取（即吸引力的中位数），则有。同理，可以算出年收入1万元、2万元、2.5万元、3万元、4万元、5万元、10万元的
40、实力因子如表2。表2年收入指标1万元1.5万元2万元2.5万元3万元4万元5万元10万元420393630589840786105098212611791681571210196442039283 模型的建立与求解问题（一）要综合评价这些方案的合理性，应该建立一个能够充分反应各种因素的合理性指标函数。因为彩民购买彩票可以认为是一种冒险行为，为此，我们根据决策分析中风险决策的理论，考虑到彩民的心理因素的影响，可取为风险决策的益损函数，于是作出如下指标函数 （1）即表示在考虑彩民的心理因素的条件下，一个方案的中奖率、中奖面、奖项和奖金设置等因素对彩民的吸引力。另一方面，由题意知，单注所有可能的低项
41、奖金总额为，根据高项奖的计算公式得单注可能的第j项（高项奖）奖金额为 故平均值为 利用Matlab可算出29种方案的合理性指标值F及高项奖的期望值，排在前三位的如表3。表3 指 标方 案F排 序97/304.00910-71.0861062067914101117/313.78410-71.704106324482116257/293.63710-77.5571053598417143问题（二）根据问题（一）的讨论，现在的问题是取什么样的方案、设置哪些奖项、高项奖的比例为多少和低项奖的奖金额为多少时，使目标函数有最大值。设以为决策变量，以它们之间所满足的关系为约束条件，则可得到非线性规划模型：
42、关于约束条件的说明：1）条件（1）（2）同问题（一）；2）条件（3）（4）是对高项奖的比例约束，的值不能太大或太小，（4）是根据已知的方案确定的；3）条件（5）是根据题意中一等奖的保底额和封顶额确定的；4）条件（6）中的分别为i等奖的奖金额比等奖的奖金额高的倍数，可由问题（一）的计算结果和已知各方案的奖金数额统计得：5）条件（7）是根据实际问题确定的，实际中高等奖的概率应小于低等奖的概率，它的值主要有确定。6）条件（8）（9）是对方案中取值范围的约束，是由已知的方案确定的；这是一个较复杂的非线性（整数）规划，其中概率的取值分为四种不同的情况K1，K2，K3，K4，都有整数变量确定，一般的求解是
43、困难的。为此，利用Matlab可求解得最优解为最优值为。故对应的最优方案为：32选6(6/32)，一、二、三等奖的比例分别为80%、9%、11%，四、五、六、七等奖的金额分别为200、10、1、0元。前面是针对中等收入水平的彩民情况考虑的，对于经济发达地区和欠发达地区应有所不同。这里分别对年收1万元、2.5万元、3万元、4万元、5万元、10万元，工作年限均35年的情况进行了讨论，给出适用于相应各种情况的最优方案，如下面的表4。表4年收入指 标1万元2万元2.5万元3万元4万元5万元10万元4203938407861050952126117916815712109644203928最优方案5+1
44、/336/327/306/376+1/327/337/35F8.25510-74.62310-74.10310-73.22310-72.47510-72.07510-71.82810-70.800.800.730.700.730.730.800.100.90.170.150.190.180.130.100.110.100.150.070.090.076.51056.181051.381061.461062.231062.991063.9110630371200044750652172227211.07105942526076001235173915071974174613820010020010020010371010202010201152225
