1、 数学分析(2) 试题及答案 （十六）数学分析 2 考试题一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题 2 分，共20 分）a,b1、 函数 f (x) 在 上可积的 必要条件 是（）A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数a,a2、函数 f (x)是奇函数，且在- 上可积，则（）AaBaf (x)dx= 2a f (x)dxf (x)dx= 0-a0-aCaDaf (x)dx= -2a f (x)dxf (x)dx= 2 f (a)-a0-a3、 下列广义积分中，收敛的积分是（）ABCD+ sin xdx101+111dxx3dxdxxx10-14、级数
2、收敛是部分和有界且的aalim a = 0nnnnn=1n=1（）A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件D 无关条件 5、下列说法正确的是（）A 和 收敛， 也收敛 B和 a bn naba bnnnn发散n=1n=1发散 n=1收敛和 n=1 发散n=1，a b，C(a + b )nnnnn=1 散 D发收敛n=1发散n=1和，发a b(a + b )abnnnnn nn=1n=1n=1n=1散a ba xa x6、 在 ， 收敛于 （ ），且 （ ）可a (x)nnn=1导，则（）a（x）可导ABa (x) = a(x)nn=1a xCD一致收敛，则 （ ）a (x)dx= ba(x
3、)dxba (x)nnaan=1n=1必连续7、下列命题正确的是（）A 在 ， 绝对收敛必一致收敛a ba (x)nn=1a b在 ， 一致收敛必绝对收敛BCa (x)nn=1a b若，则 在 ， 必绝对收敛lim | a (x) |= 0a (x)nnnD 在 ， 条n=1a b件收敛必收敛Dcosxa (x)n8、n=1的和函数为x2n+112n+1(-1) nn=0Ae BCsinxln(1+ x)x9、函数 z = ln(x+ y)A的定义域是（ ）B(x, y) | x 0, y 0(x, y) | y -x 5、解： 0| x（5 分） lim= 0（1 分）x2 yx2 + y2
4、x2 yx2 + y2x0y0x x由于 =-2， =2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3 分）x4 + 4x2 y2 - y2 x2 + y2 0（2 分）三、1、解、yf (x, y) = (x2 + y2) 2x0x2 + y2 = 0x4 - 4x2 y2 - y2 x2 + y2 0(4 分）xf (x, y) =(x2 + y2) 2y0x2 + y2 = 0 2z (0,0) = lim f (0,Dy) - f (0,0) = -1xxyxDyDy0 2z (0,0) = lim f (Dx,0) - f (0,0) = 1（6 分）yyxyDxDx02、解：由于（
5、3 分），即lim n |(-1) n+1 2n sin2n x |= 2sin x2nn级数绝对收敛条件收敛，级2sin2 x 1数发散（7 分）所以原级数发散（2 分）四、证明题（每小题 10 分，共 20 分）a，ba，1、证明：因为 在 上可积，故在f (x)1b 上有界，即$M 0，使得，（3f (x) M(xa,b)1分）从而一般来说，若f (x) x| f (t) | dt M (x- a)21a对 有（ 5 分 ） 则M (x- a) n-1(n-1)!nf (x) na，b，所以 在 上一f (x) M (b- a)(n-1)!n-1 (n ) f (x)nn致收敛于 0（2
6、 分） a+T f (x)dxx = T + ta f (t+ T )d(t+ T ) = a f (t)dt（2）（4 分）T00将式（2）代入（1）得证（2 分）2、1， zx ，（7 分）则y2xz = exyxy= -eyyx = 0（3 分）z z1yxyxyx + y = xe - yexyy23、 证明：令px = - ttf(sint)dt得证xf(sin x)dx= -0(p - t) f (sin(p - t)dt= pp f (sint)dt-pp0p00（7 分）（3 分）pp 2p xsinxsinx0 1+ cos2 x dx= 2 0 1+ cos2 xdx=p8
7、（十七）数学分析 2 考试题二、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题 2 分，共20 分）a,b1、 函数 f (x) 在 上可积的充要条件是（）A e0,$ s0和d0使得对任一分法D，当lx（D）d时，对应于w e的那些区间D 长度iix之和D 0,s0, d0使得对某一分法D，当l（D） xd时，对应于 w e的那些区间 D 长度之和iixD 0,$d0使得对任一分法D，当l（D）dx时，对应于w e的那些区间D 长度之和iixD 0, s0，$ d0使得对任一分法D，当lx（D）d时，对应于w e的那些区间D 长度iix之和D Ae0,$ N（e）0，
8、使 N有a (x) +La (x) B e0, N0，使 N 有a (x) +La (x) C$e0, N（e）0，使 N有a (x) +La (x) De0,$ N（e）0，使$ N有a (x) +La (x) en+1m8、的收敛域为（）1n(x-1) nn=1A (-1,1) B (0,2 C 0,2） D-1,1 ）9、重 极限存在是累次极限存在的（）A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条 件 D 无关条件10、 f (x, y) | =（）x( x0, y0)Alim f (x + Dx, y + Dy) - f (x , y )0000DxDx0Blim f (x + Dx,
9、y ) - f (x , y )0000DxDx0Clim f (x + Dx, y + Dy) - f (x + Dx, y )Dlim f (x + Dx, y )0 0Dx0000DxDx0Dx0三、计算题：（每小题 6 分，共 30 分）1、1 sinxcosx+1dx1+ x22、计算由曲线 y = x+1, y = 0, xy= 2和 x = e 围成的面-1积23、求 e 的幂级数展开- x25、 已知 z = f (x+ y, xy), f (u,v)可微，求 2zxy6、 求在（0，0）的累次极限f (x, y) = xx+- yy三、判断题（每小题 10 分，共 20 分）
10、1、 讨论p的敛散性lncosnn=3xn2、 判断的绝对和条件收敛性1+ x2n四、证明题（每小题 10 分，共 30 分）n=1f x a，a1、设 ( ) 是- 上的奇函数，证明af (x)dx= 0-a2、证明级数 y = 4n 满足方程 y(4) = yx(4n)!n=0SSc3、 证明 为闭集的充分必要条件是是开集。 参考答案一、1、D2、B3、D4、B5、C6、D7、A8、C9、D10、B二、1、解：1 sinxcosx+1dx=1 sinxcosx1 dx（2 分）dx+ 11+ x2-11+ x1+ x22-1-1由 于 sinxcosx 为 奇 函 数=0（ 2 分 ）1
11、sinxcosxdx1+ x21+ x2-1=p （2 分）所以积分值为 p （1 分）11-11+ x2dx arctanx |1 =22-12、 解：两曲线的交点为（1，2）（2 分）所求的面积为：1/222+（4 分）2xe2dx= 613 、 解 ： 由 于（ 3 分 ），ex = 1+ x+ x2 +L xnn! +L（3 分）2!e-x2 = 1- x2 + x4 +L (-1) n x2!n! 2n +L4 、 解 ： =（ 3 分 ）f + f x1 2（3 分）zzyf + f yx12 2zxy= f + f + (x+ y) f + xyf22112125、解： lim=
12、 -1，（3 分） lim= lim xx = 1x- y = lim - yx+ yx- yx+ yyx0y0y0y0x0y0（3 分）三、1、解：由于lncosp p 2 （6 分），又 收敛（21n2n 2n2n=1分）所以原级数收敛（2 分）2、解：当| x | 1时，有( ) nx，由上讨论知级数绝 xn=11+ x2nn=11+ ( )n=12nx对收敛（4 分）四、证明题（每小题 10 分，共 30 分）1 、 证 明 ：af (x)dx= 0 f (x)dx+a f (x)dx-a-a0（1）（4 分）f (t)dt（2）0 f (x)dxx = -ta f (-t)d(-t)
13、 = -a-a00（4 分）将式（2）代入（1）得证（2 分）2、证明：所给级数的收敛域为 (-,+)，在收敛域内逐项微分之，得（8x4n-1x4n-2x4n-3x4n-4y =(4n-1)! y =(4n- 2)! y =(4n- 3)! y(4) =(4n- 4)!n=1n=1n=1n=1分）代入得证（2 分）S S3、证明：必要性 若 为闭集，由于 的一S，x切聚点都属于 因为，对于任意的 x S 。 不cSx说，存在 的邻域 使得dO(x, )是的聚点，也就是S，因此 c是开集。f ，即dO(x, ) S dO(x, ) S c S充分性 对任意的 x S ，由于 c 是开集，因此存cxx S， 即 不是的聚dO(x, ) S c在 的邻域 使得dO(x, )S点。所以如果 有聚点，它就一定属于S.
