1、拓展二 数列求和常用的方法（精讲）思维导图常见考法考点一 裂项相消法【例1】（2021全国高二课时练习）数列an的前n项和为Sn，an是Sn和1的等差中项，等差数列bn满足b1S40，b9a1.（1）求数列an，bn的通项公式；（2）若cn，求数列cn的前n项和Wn.【答案】（1） an2n1；bn2n17；（2） .【解析】（1）an是Sn和1的等差中项，Sn2an1，当n2时，anSnSn1(2an1)(2an11)2an2an1，an2an1，当n1时，a1S12a11.a11且an0，2，an是首项为1，公比为2的等比数列，an2n1，Sna1a2an2n1.设bn的公差为d，b1S4
2、15，b9158d1，d2，bn15(n1)22n17.（2）cn，Wn.【一隅三反】1（2021全国）已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为Sn（1）求an及Sn；（2）令bn (nN*)，求数列bn的前n项和Tn【答案】（1）an2n1，Snn(n2)；（2）【解析】（1）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由于a37，a5a726，a12d7，2a110d26，解得a13，d2an2n1，Snn(n2)（2）an2n1，14n(n1)，故Tnb1b2bn数列bn的前n项和Tn2（2021六盘山高级中学高二月考（文）已知数列的各项均为正数，其前项和满足（1）证明：数
3、列是等差数列；（2）设数列，求数列的前项和【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由题意，数列的各项均为正数，且满足当时，可得，即，因为，所以，当时，解得所以数列是首项为1，公差为2的等差数列所以数列是等差数列为（2）由（1）知，可得，所以.3（2021内蒙古集宁一中（文）等差数列中，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知等差数列中，由可得，由等差数列的定义可得：是以为首项，以为公差的等差数列，所以.（2）由（1）得.所以.考点二 错位相减法【例2】（2021六盘山高级中学高二月考）设等差数列中，各项均为正数的数列的前项为，
4、已知点在函数的图像上，且（1）求数列和的通项公式；（2）设数列满足，数列的前项和为【答案】（1）；（2）【解析】（1）解：设等差数列的公差为，则，；点在函数的图像上，即；数列为等比数列，首项为，公比为3，即（2）解：得，【一隅三反】1（2021四川阆中中学）已知数列是首项，公比的等比数列，设，数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意，数列是首项，公比的等比数列，可得，又由，即，即数列的通项公式.（2）由（1）知，所以，所以，于是，两式相减，可得：，所以.2（2021福建省连城县第一中学高二月考）已知；，在这三个条件中任选一个，补充在下
5、面问题中，并给出解答.设正项等比数列的前项和为，数列的前项和为， ，对都有成立.（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）时，时，又符合上式，因为为正项等比数列，.选 ，或（舍）选 ，选 由得，或（舍），（2） - 得：3（2021黑龙江道里哈尔滨三中高二月考）已知数列满足，设.（1）证明：为等差数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1），为等差数列；（2），得：，考点三 分组求和法【例3-1】（2021河南新郑高二月考（文）已知数列，且，.（1）求的通项公式；（2）求的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1
6、），所以，又，所以，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以（2）由（1）可得，所以，.【例3-2】（2021全国高二课时练习）已知等差数列an前n项和为Sn，.（1）求数列an的通项公式及前n项和Sn；（2）设，求bn前n项和Tn.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由得.又因为，所以，则，解得；故，.（2）.当为偶数时：.当为奇数时：.综上得.【一隅三反】1（2021全国高二课时练习）设数列an的前n项和为Sn，已知S24，an12Sn1，nN*.（1）求通项公式an；（2）求数列|ann2|的前n项和.【答案】（1）an3n1；（2）【解析】（1）由题意得：，则，又当n2时，
7、由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an，数列an的通项公式为an3n1，nN*.（2）设bn|3n1n2|，nN*，b12，b21.当n3时，由于3n1n2，故bn3n1n2，n3.设数列bn的前n项和为Tn，则T12，T23.当n3时，Tn3，经验证，当n2时也符合上式.所以，Tn.2（2021江苏姑苏苏州中学高二月考）已知数列是公差为1的等差数列，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】（1）设等差数列的通项公式为，由于，成等比数列，则，解得，所以，（2）由题意，所以3（2021全国高二单元测试）已知数列的前n项和为
8、，数列满足.（1）求数列、的通项公式；（2）求.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由题意，得：，当时，当时，当时，也满足，.（2）由（1）知，即数列是以0为首项，1为公差的等差数列，当n为奇数时，n1为偶数， ；当n为偶数时，n1，n+1均为奇数， ；综上所述，可知：.4（2021全国高二单元测试）等差数列an的公差为正数，a11，其前n项和为Sn；数列bn为等比数列，b12，且b2S212，b2+S310（）求数列an与bn的通项公式；（）设cnbn+，求数列cn的前n项和Tn【答案】（）ann，bn2n；（）2n+1【解析】（）等差数列an的公差d为正数，a11，数列bn为等比数列，
9、设公比为q，b12，且b2S212，b2+S310，可得2q（2+d）12，2q+3+3d10，解得q2，d1，则an1+n1n，bn2n；（）cnbn+2n+2n+2（），则前n项和Tn（2+4+2n）+2（）+2（1）2n+1考点四 倒序相加法【例4】（2021全国高二课时练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）A100B105C110D115【答案】D【解析】因为函数满足，由可得，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为.故选：D.【一隅三反】1（2021新余市第一中学高二月考）已知函数，数列满足，则（ ）A2018B2019C4036D4038【答案】A【解析】，又，令，则，两式相加得，故选：A2（2021赣州市赣县第三中学高二开学考试（理）已知函数，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得（ ）.A25B26C13D【答案】C【解析】，即，设，则，则得：，故.故选：C.3（2021河南南阳中学高二月考）已知是上的奇函数，则数列的通项公式为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题已知是上的奇函数，故，代入得：， 函数关于点对称，令，则，得到，倒序相加可得，即，故选：C 16 / 16
