1、运筹学单服务台负指数分布排队系统分析 1 1 M/M/1M/M/1模型模型2 2 M/M/1/N/M/M/1/N/模型模型(即系统的容量有限即系统的容量有限)3 3 M/M/1/m M/M/1/m 模型（即顾客源为有限）模型（即顾客源为有限）本节讨论输入过程服从本节讨论输入过程服从PoissonPoisson过程，服过程，服务时间服从负指数分布单服务台的排队系统，务时间服从负指数分布单服务台的排队系统，分三种情况讨论：分三种情况讨论：运筹学顾客源顾客源排队系统排队系统排队排队结构结构服务服务机构机构排队规则服务规则服务规则接受接受服务服务后离去后离去 1 1 M/M/1M/M/1模型模型无无限
2、限输入过程服从输入过程服从参数为参数为 的的PoissonPoisson过程过程单队单队队长无限队长无限先到先服务先到先服务服务时间服从服务时间服从参数为参数为 的的负指数分布负指数分布生灭过程生灭过程运筹学状态状态转移转移图图01n-1nn+1.运筹学 求解：求解：:系统达到平稳后，系统有系统达到平稳后，系统有n n个顾客的概率。个顾客的概率。平衡方程：平衡方程：，且当，且当时时其中其中运筹学F关于关于 的几点说明：的几点说明：顾客平均到达率顾客平均到达率顾客平均服务率顾客平均服务率一个顾客服务时间一个顾客服务时间一个顾客到达时间一个顾客到达时间服务强度服务强度系统中至少有一个顾客的概率；系
3、统中至少有一个顾客的概率；服务台处于忙的状态的概率；服务台处于忙的状态的概率；反映系统繁忙程度反映系统繁忙程度 。即顾客平均到达率即顾客平均到达率小于顾客平均服务率时，小于顾客平均服务率时，系统才能达到统计平稳。系统才能达到统计平稳。运筹学 F计算有关指标计算有关指标队长队长运筹学队列长队列长 运筹学 逗留时间逗留时间:可以证明可以证明,Ws服从参数为服从参数为-的负指数分布的负指数分布.则则:等待时间等待时间运筹学FLittle公式（相互关系）公式（相互关系）F小结：小结：运筹学例15-2：某医院手术室每小时就诊病人数和手术时间的记录如下：到达的病人数 出现次数 n un 0 10 1 28
4、 2 29 3 16 4 10 5 6 6 以上 1 合计 100完成手术时间 出现次数 r vr 0.00.2 38 0.20.4 25 0.40.6 17 0.60.8 9 0.81.0 6 1.01.2 5 1.2 以上 0 合计 100运筹学F解：解：到达的病人数 出现次数 n un 0 10 1 28 2 29 3 16 4 10 5 6 6 以上 1 合计 100每小时病人平均到达率（人/小时）每次手术平均时间（小时/人）每小时完成手术人数（平均服务率）（人/小时）完成手术时间 出现次数 r vr 0.00.2 38 0.20.4 25 0.40.6 17 0.60.8 9 0.8
5、1.0 6 1.01.2 5 1.2 以上 0 合计 100运筹学F解：解：运筹学2 系统容量有限制的情形 (M/M/1/N/FCFS）系统的最大容量为系统的最大容量为N，排队等待的顾客最排队等待的顾客最多为多为N-1，在某一时刻顾客到达时，如在某一时刻顾客到达时，如果系统中已有个顾客，那么这个顾客果系统中已有个顾客，那么这个顾客就被拒绝进入系统。就被拒绝进入系统。F当当1时，为即时制；时，为即时制；F当当 时，容量无限制的情形。时，容量无限制的情形。运筹学状态状态转移转移图图01n-1nn+1.-1.运筹学2 系统容量有限制的情形 (M/M/1/N/FCFS）F状态转移方程状态转移方程运筹学
6、其中其中运筹学 运筹学 F计算有关指标计算有关指标队长队列长 运筹学 逗留时间 等待时间运筹学 例：单人理发馆排队问题 有6个椅子接待人们排队，超过6人顾客就离开，平均到达率3人/小时，理发需时平均15分钟。7为系统中的最大顾客数。平均到达率，平均到达率，平均服务率平均服务率 3 3人人/小时，小时，4 4人人/小时小时。运筹学 顾客到达就能理发的概率 相当于理发店内没有顾客等待顾客数的期望值运筹学 求有效到达率 顾客在理发馆内逗留的期望时间小时小时分钟分钟人人/小时小时运筹学 可能的顾客中有百分之几不等待就离开，即求系统中有7个顾客的概率。运筹学F设：设：m：为顾客总体数，为顾客总体数，：每个顾客的到达率，每个顾客的到达率，m-Ls ：系统外顾客的平均数，：系统外顾客的平均数，e=（m-Ls）：）：为系统有效到达率。为系统有效到达率。3 3 顾客源有限制的情形顾客源有限制的情形 (M/M/1/m/FCFSM/M/1/m/FCFS）含义与上节不同对顾客而言，而不是对系统m运筹学状状态态转转移移图图01mn-1n(m-n+1)(m-n)n+1.m-1m.(m-1)2运筹学注意到F状态转移方程状态转移方程运筹学 求解状态转移方程得求解状态转移方程得有效到达率运筹学 F计算有关指标计算有关指标队长队列长逗留时间运筹学 等待时间正常运转的平均设备台数例：P275#例5
