1、专题六 应用题 “在考查基础知识的同时，侧重考查能力”是高考的立意之本，而应用能力的考查又是近几年高考考查的重点考查实际问题背景下的数学建模是江苏卷几年不变的题型所以如何由实际问题转化为数学问题的建模过程的探索是复习的关键应用题的载体很多，前几年主要考查函数建模，以三角、导数、不等式知识解决问题，以往有一次函数模型(条件不等式模型)有先构造函数再利用导数求解(2015年、2016年)，演变为立体几何模型(2016年、2017年)；近两年三角模型走红(2018年、2019年)考查利用三角知识、导数、直线与圆等知识综合建模与求解能力，难度中等 题型(一)函数模型的构建及求解主要考查以构建函数模型为
2、背景的应用题，一般常见于经济问题或立体几何表面积和体积最值问题中. 典例感悟例1(2016江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍(1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解(1)由PO12知O1O4PO18.因为A1B1AB6，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥A1BPO162224(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O62
3、8288(m3)所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3)(2)设A1B1a m，PO1h m，则0h6，O1O4h.连结O1B1.因为在RtPO1B1中，O1BPOPB，所以h236，即a22(36h2)于是仓库的容积VV柱V锥a24ha2ha2h(36hh3)，0h6，从而V(363h2)26(12h2)令V0，得h2或h2(舍去)当0h2时，V0，V是单调增函数；当2h6时，V0，V是单调减函数故当h2时，V取得极大值，也是最大值因此，当PO12 m时，仓库的容积最大方法技巧解函数应用题的四步骤演练冲关1(2019常州期末)某公园要设计一个如图1所示的景观窗格(其外框可以看成在矩形
4、的四个角处对称地截去四个全等的三角形所得)，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴AFBE1.6米，两根竖轴CHDG1.2米记景观窗格的外框(如图2中的实线部分，轴和边框的粗细忽略不计)总长度为l米(1)若ABC，且两根横轴之间的距离为0.6米，求景观窗格的外框总长度；(2)由于经费有限，景观窗格的外框总长度不超过5米，当景观窗格的面积(多边形ABCDEFGH的面积)最大时，求出此景观窗格的设计方案中ABC的大小与BC的长度解：(1)记CH与AF，BE的交点分别为M，N，由ABC可得CBN，易知AB0.6，CNHM(1.20.6)0.3，所以BC0.6，BN，所以CDBE2BN1.6，则l
5、ABBCCDDEEFFGGHHA2AB2CD4BC1.22.4.答：景观窗格的外框总长度为米(2)由题意知，l2AB2CD4BC5.设CBN，BCr，则CNrsin ，BNrcos ，所以ABCH2CN1.22rsin ，CDBE2BN1.62rcos ，所以2(1.22rsin )2(1.62rcos )4r5，即4r(sin cos 1)，.设景观窗格的面积为S，则S1.21.62r2sin cos ，(当且仅当4r(sin cos 1)时取等号)令tsin cos (t(1，)，则sin cos ，所以S，其中11(当且仅当t，即时取等号)所以S(32)，即S(当且仅当4r(sin co
6、s 1)且时，取等号)，所以当且仅当r且时，S取得最大值答：当景观窗格的面积最大时，此景观窗格的设计方案中ABC且BC米2(2019盐城三模)如图，某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草莓，其中AB99 m，AD49.5 m现计划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜大棚n(nN*)个，每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计)，塑料薄膜的价格为每平方米10元；另外，还需在每两个大棚之间留下1 m宽的空地用于建造排水沟与行走小路(如图中EF1 m)，这部分的建设造价为每平方米31.4元(1)当n20时，求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积；(结果保留)(2)试确定大棚的个数，使
7、得上述两项费用的和最低(计算中取3.14)解：(1)设每个半圆柱型大棚的底面半径为r.当n20时，共有19块空地，所以r2(m)，所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)为r2rAD22249.5103(m2)，即蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积为103 m2.(2)设两项费用的和为f(n)因为r，所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)为Sr2rAD49.5，则f(n)10nS31.4149.5(n1)10n31.4149.5(n1)31.4，因为n220，当且仅当n10时等号成立，所以，当且仅当n10时，f(n)取得最小值，即当大棚的个数为10个时，上述两项费用的和最低题型(二
8、)与三角形、多边形有关的实际应用题主要考查与三角形有关的实际应用题，所建立函数模型多为三角函数模型. 典例感悟例2(2018江苏高考)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形ABCD，大棚内的地块形状为CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上设OC与MN所成的角为.(1)用分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定sin 的取值范围；(2)若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43.求当为
9、何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大解(1)如图，设PO的延长线交MN于点H，则PHMN，所以OH10.过点O作OEBC于点E，则OEMN，所以COE，故OE40cos ，EC40sin ，则矩形ABCD的面积为240cos (40sin 10)800(4sin cos cos )，CDP的面积为240cos (4040sin )1 600(cos sin cos )过点N作GNMN，分别交圆弧和OE的延长线于点G和K，则GKKN10.连结OG，令GOK0，则sin 0，0.当时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sin 的取值范围是.答：矩形ABCD的面积为800(4sin cos c
10、os )平方米，CDP的面积为1 600(cos sin cos )平方米，sin 的取值范围是.(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43，设甲的单位面积的年产值为4k(k0)，乙的单位面积的年产值为3k(k0)，则年总产值为4k800(4sin cos cos )3k1 600(cos sin cos )8 000k(sin cos cos )，.设f()sin cos cos ，则f()cos2sin2sin (2sin2sin 1)(2sin 1)(sin 1)令f()0，得，当时，f()0，所以f()为增函数；当时，f()0，所以f()为减函数所以当时，f()取到最大值答：当
11、时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大方法技巧三角应用题的解题策略(1)解三角应用题是数学知识在生活中的应用，要想解决好，就要把实际问题抽象概括，建立相应的数学模型，然后求解(2)解三角应用题常见的两种情况：实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解(3)三角函数的值域或最值的求解方法一般有化归法、换元法、导数法演练冲关(2019南通等七市一模)如图1
12、，一艺术拱门由两部分组成，下部分为矩形ABCD，AB，AD的长分别为2 m和4 m，上部分是圆心为O的劣弧CD，COD.(1)求图1中拱门最高点到地面的距离；(2)现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示设BC与地面水平线l所成的角为，记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用的函数表示h，并求出h的最大值解：(1)如图1，过O作与地面垂直的直线，分别交AB，CD于点O1，O2，交劣弧CD于点E，O1E的长即拱门最高点到地面的距离在RtO2OC中，O2OC，CO2，所以OO21，圆的半径ROC2.所以O1ERO1O2OO25.(2)在拱门放
13、倒过程中，过点O作与地面垂直的直线，与“拱门外框”相交于点P.当点P在劣弧CD上(不含点D)时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面的距离之和；当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离连接OB，由(1)知，在RtOO1B中，OB2.以B为坐标原点，水平线l为x轴，建立平面直角坐标系如图2，当点P在劣弧CD上(不含点D)时，.由OBx，OB2，得O，则h22sin.所以当，即时，h取得最大值，为22.如图3，当点P在线段AD上时，0.连接BD，设CBD，在RtBCD中，DB2，则sin ，cos .由DBx，得D(2cos()，2sin()所以
14、h2sin()4sin 2 cos .又当04cos2sin0，所以h4sin 2cos 在上单调递增所以当时，h取得最大值，为5.又225，所以h的最大值为22.答：(1)拱门最高点到地面的距离为5 m.(2)h艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面的最大距离h的最大值为(22)m.题型(三)与圆有关的实际应用题主要考查与直线和圆有关的实际应用题，在航海与建筑规划中的实际问题中常见.典例感悟例3(2019江苏高考)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，Q
15、A上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB10，AC6，BD12(单位：百米)(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；(3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离解(1)如图，过A作AEBD，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DEBEAC6，AECD8.因为PBAB，所以cosPBDsinABE.所以PB15.因此道路PB的长为15(百米)(2)均不能理由如下：若P在D处，由(1)可得E在圆上，则
16、线段BE上的点(除B，E)到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求若Q在D处，连接AD，由(1)知AD10，从而cosBAD0，所以BAD为锐角所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径因此Q选在D处也不满足规划要求综上，P和Q均不能选在D处(3)先讨论点P的位置当OBP90时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当OBP90时，对线段PB上任意一点F，OFOB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求当OBP90时，设P1为l上一点，且P1BAB，由(1)知，P1B15，此时P1DP1BsinP1BDP1BcosEB
17、A159；当OBP90时，在PP1B中，PBP1B15.由上可知，d15.再讨论点Q的位置由(2)知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求当QA15时，CQ3.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径综上，当PBAB，点Q位于点C右侧，且CQ3时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQPDCDCQ173.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为173(百米)(1)如图，过O作OHl，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系因为BD12，AC6，所以OH9，直线l的方程为y9，点A，B的纵坐标分别为3，3.因为AB为圆O的直径，AB10，所以圆O的方程
18、为x2y225.从而A(4，3)，B(4，3)，直线AB的斜率为.因为PBAB，所以直线PB的斜率为，直线PB的方程为yx.所以P(13，9)，PB 15.因此道路PB的长为15(百米)(2)均不能理由如下：若P在D处，取线段BD上一点E(4，0)，则EO45，所以P选在D处不满足规划要求若Q在D处，连接AD，由(1)知D(4，9)，又A(4，3)，所以线段AD：yx6(4x4)在线段AD上取点M，因为OM 5，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径因此Q选在D处也不满足规划要求综上，P和Q均不能选在D处(3)先讨论点P的位置当OBP90时，在PP1B中，PBP1B15.由上可知，d1
19、5.再讨论点Q的位置由(2)知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求当QA15时，设Q(a，9)，由AQ15(a4)，得a43，所以Q(43，9)此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径综上，当P(13，9)，Q(43，9)时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ43(13)173.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为173(百米)方法技巧与圆有关应用题的求解策略(1)在与圆有关的实际应用题中，有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程), 从而最终可以利用圆的知识来求解，如本例，需通过条件到两个定点A，B
20、的距离之比为定值3来确定动点(拦截点)的轨迹是圆(2)与直线和圆有关的实际应用题一般都可以转化为直线与圆的位置关系或者转化为直线和圆中的最值问题演练冲关(2019南京三模)如图，某摩天轮底座中心A与附近的景观内某点B之间的距离AB为160 m摩天轮与景观之间有一建筑物，此建筑物由一个底面半径为15 m的圆柱体与一个半径为15 m的半球体组成圆柱的底面中心P在线段AB上，且PB为45 m半球体球心Q到地面的距离PQ为15 m把摩天轮看作一个半径为72 m的圆C，且圆C在平面BPQ内，点C到地面的距离CA为75 m该摩天轮匀速旋转一周需要30 min，若某游客乘坐该摩天轮(把游客看作圆C上一点)旋
21、转一周，求该游客能看到点B的时长(只考虑此建筑物对游客视线的遮挡)解：以点B为坐标原点，BP所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，0)，Q(45，15)，C(160，75)过点B作直线l与半圆Q相切，与圆C交于点M，N，连接CM，CN，过点C作CHMN，垂足为H.设直线l的方程为ykx，即kxy0，则点Q到l的距离为15，解得k或k0(舍)所以直线l的方程为yx，即3x4y0.所以点C(160，75)到直线l的距离CH36.因为在RtCHM中，CH36，CM72，所以cosMCH.又MCH，所以MCH，所以MCN2MCH，所以该游客能看到点B的时长为3010(min)答：该游
22、客能看到点B的时长为10 min. A组大题保分练1.如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tanBCO.(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？解：法一：(1)如图(1)，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0，60)，C(170，0)，直线BC的斜率kBCtanBCO.又因为A
23、BBC，所以直线AB的斜率kAB.设点B的坐标为(a，b)，则kBC，kAB.联立解得a80，b120.所以BC150.因此新桥BC的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M的半径为r m，OMd m(0d60)由条件知，直线BC的方程为y(x170)，即4x3y6800.由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即r.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以即解得10d35.故当d10时，r最大，即圆面积最大所以当OM10 m时，圆形保护区的面积最大法二：(1)如图(2)，延长OA，CB交于点F.因为tanFCO，所以sinFCO，cosFCO.因为OA60
24、，OC170，所以OFOCtanFCO，CF，从而AFOFOA.因为OAOC，所以cosAFBsinFCO.又因为ABBC，所以BFAFcosAFB，从而BCCFBF150.因此新桥BC的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MDBC，且MD是圆M的半径，并设MDr m，OMd m(0d60)因为OAOC，所以sinCFOcosFCO.故由(1)知sinCFO，所以r.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以即解得10d35.故当d10时，r最大，即圆面积最大所以当OM10 m时，圆形保护区的面积最大2(2019苏锡常镇一模)某新建小区规划利用一块
25、空地进行配套绿化已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段弧，直路AB的垂直平分线OP恰是该抛物线的对称轴(如图)拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上经测量，直路AB长为40米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米设点C到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路AB的距离为n米 (1)求出n关于m的函数关系式；(2)当m为多大时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？并求出其最大值解：(1)以路AB所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则A(20，0)，B(20，0)，P(0，40)曲线段APB为抛物线的一段弧，可以设抛物线的解
26、析式为ya(x20)(x20)，将P(0，40)代入得40400a，解得a，抛物线的解析式为y(400x2)点C在抛物线上，n(400m2)，0m0.则Srlr ，记f(h)h(h0)，则f(h)1，令f(h)0，得h6.当h(0，6)时，f(h)0，f(h)在(6，)上单调递增所以，当h6时，f(h)最小，此时S最小，最小值为18.答：当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省4(2019南京四校联考)如图，某生态园区P的附近有两条相交成45角的直路l1，l2，交点是O，P到直路l1的距离为1 km，到直路l2的距离为 km，现准备修建一条通过该生态园区的直路AB，分别与直路l1，l2交于点
27、A，B.(1)当AB的中点为P时，求直路AB的长度；(2)求AOB面积的最小值解：以直路l1所在直线为x轴，O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系因为直路l1，l2相交成45角，所以直路l2所在直线的方程为xy0.因为P到直路l1的距离为1 km，到直路l2的距离为 km，所以可设P(x0，1)(x01)，所以，解得x03，所以P(3，1)(1)法一：设B(a，a)，因为P(3，1)是AB的中点，所以A(6a，2a)由于A在x轴上，所以2a0，即a2.所以A(4，0)，B(2，2)，AB2.所以直路AB的长度为2 km.法二：当直线AB的斜率不存在时，不满足题意，舍去当直线AB的斜率存在时
28、，设直线AB的斜率为k，由题意知k1或k1)，当a3时，A(3，0)，所以AOB的面积为 km2.当a1且a3时，设直线AB的方程为y1(x3)令y0，得x，即A，所以SAOBa(a1)22 24，当且仅当a1，即a2时取等号又4，所以AOB面积的最小值为4 km2.B组大题增分练1(2019扬州期末) 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD，其中AB3百米，AD百米，且BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形拟修建两条小路AC，BD(路的宽度忽略不计)，设BAD，.(1)当cos 时，求小路AC的长度；(2)当草坪ABCD的面积最大时，求小路B
29、D的长度解：(1)在ABD中，由BD2AB2AD22ABADcos ，得BD2146cos ，又cos ，BD2.，sin .在ABD中，由，得，解得sinADB.BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，CDB且CDBD2，cosADCcossinADB.在ACD中，AC2AD2DC22ADDCcosADC()2(2)22237，得AC，所以当cos 时，小路AC的长度为 百米(2)由(1)得BD2146cos ，S四边形ABCDSABDSBCD3sin BD27sin 3cos 7(sin 2cos )7sin()，其中sin ，cos ，且.当，即时，四边形ABCD的面积最大，此时sin
30、，cos ，BD2146cos 14626，BD，当草坪ABCD的面积最大时，小路BD的长度为百米2(2019南京盐城二模)某公园内有一块以O为圆心、半径为20米的圆形区域为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB(劣弧所对的扇形)所在的区域，其中点A，B均在圆O上，观众席为梯形ABQP以内、圆O以外的区域，其中APABBQ，PABQBA，且AB，PQ在点O的同侧为保证视听效果，要求观众席内的每一位观众到舞台O处的距离都不超过60米(即要求PO60)设OAB，.问：对于任意的，上述设计方案是否均能符合要求？解：过点O作OH垂直于AB，垂足为H
31、.在直角三角形OHA中，OA20，OAH，所以AH20cos ，因此AB2AH40cos ，所以ABAPBQ40cos .由题图可知，观众席内点P，Q处的观众离点O处最远连接OP，在OAP中，由余弦定理可知，OP2OA2AP22OAAPcos400(40cos )222040cos 400(6cos22sin cos 1)400(3cos 2sin 24)800sin1 600.因为，所以当2，即时，OP2取得最大值，(OP2)max8001 600，即(OP)max2020.同理，连接OQ，在OBQ中，(OQ)max2020.因为202060，所以观众席内的每一位观众到舞台O处的距离都不超过
32、60米故对于任意的，上述设计方案均能符合要求3(2019无锡期末)我国坚持精准扶贫，确保至2020年农村贫困人口实现脱贫现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植工作，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数从2018年初开始，若该村抽出5x户(xZ，1x9)从事水果包装、销售工作经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高，而从事包装、销售农户的年纯收入每户平均为万元(参考数据：1.131.331
33、，1.1531.521，1.231.728)(1)至2020年底，为使从事水果种植的农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1.6万)，则至少应抽出多少户从事包装、销售工作？(2)至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售工作的户数；若不能，请说明理由解：(1)由题意得11.6，5x1005x，xZ，1x10.函数y在x1，9上单调递增，由数据知，1.1531.5211.6，所以0.2，得x4，则5x20.答：至少抽出20户从事包装、销售工作(2)假设该村每户年均纯收入能达到1.35万元，由题意得，不等式1.35有正整数解，化简整理得3x230x700，所以
34、x5.因为34，且xZ，所以1x51，即4x6.答：至2018年底，该村每户年均纯收入能达到1.35万元，此时从事包装、销售工作的农户数为20户，25户或30户4(2019苏州期末)如图，长途车站P与地铁站O的直线距离为 千米，从地铁站O出发有两条道路l1，l2，经测量，l1，l2的夹角为，OP与l1的夹角满足tan .现要经过P修一条直路分别与道路l1，l2交于点A，B，并分别在A，B处设立公共自行车停放点(1)已知修建道路PA，PB的价格分别为2m元/千米和m元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A，B之间的距离；(2)考虑环境因素，需要对OA，OB段道路进行翻修，OA，OB段的翻修价
35、格分别为n元/千米和2n元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定A，B点的位置解：(1)以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，因为00)，又点B在射线yx(x0) 上，所以可设B(b，b)(b0)，由2，得所以所以A，B(3，3)，AB.答：A，B之间的距离为千米(2)法一：设两段道路的翻修总价为S，则SnOA2nOB(OA2OB)n，设yOA2OB，要使S最小，需y最小当ABx轴时，A(2，0)，这时OA2，OB2，所以yOA2OB2810.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x2)1(k0且k1)令y0，得点A的横坐标为2，所以OA2，令xy，得点B的横坐标为，因为2
36、0且0，所以k1，此时yOA2OB2，y，当k0时，y在(，1)上单调递减，在(1，0)上单调递增，所以yminy|k191时，y2101010.综上所述，要使OA，OB段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距O点千米处法二：如图，作PMOA交OB于点M，交y轴于点Q，作PNOB交OA于点N，因为P(2，1)，所以OQ1，又BOQ，所以QM1，OM，所以PM1，PNOM，由PMOA，PNOB，得，所以1，设两段道路的翻修总价为S，则SnOA2nOB(OA2OB)n，设yOA2OB，要使S最小，需y最小yOA2OB(OA2OB)59，当且仅当OAOB时取等号，此时OA3，OB.答：要使OA，OB段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距O点 千米处23
