1、3.2 立体几何中的向量方法（2）空间向量与垂直关系学习目标1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.知识点一向量法判断线线垂直思考若直线l1的方向向量为1(1，3，2)，直线l2的方向向量为2(1，1，1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？答案l1与l2垂直，因为121320，所以12，又1，2是两直线的方向向量，所以l1与l2垂直.判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点A、B与C、D，计算向量与的坐标，若0，则两直线垂直，
2、否则不垂直.(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直.梳理设直线l的方向向量为a(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b(b1，b2，b3)，则lmab0a1b1a2b2a3b30.知识点二向量法判断线面垂直思考若直线l的方向向量为1，平面的法向量为2，则直线l与平面的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案垂直，因为12，所以12，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l与平面垂直.判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线l的方向向量与平面的法向量共线l.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直直线与平面平行或直线在平面内
3、.(3)直线l的方向向量与平面内的两相交直线的方向向量垂直l.梳理设直线l的方向向量a(a1，b1，c1)，平面的法向量(a2，b2，c2)，则laak(kR).知识点三向量法判断面面垂直思考平面，的法向量分别为1(x1，y1，z1)，2(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面，垂直的关系式是什么？答案x1x2y1y2z1z20.梳理若平面的法向量为(a1，b1，c1)，平面的法向量为(a2，b2，c2)，则0a1a2b1b2c1c20.类型一证明线线垂直例1已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CNCC1.求证：AB1MN.证明设A
4、B中点为O，作OO1AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A，B，C，N，B1，M为BC中点，M.，(1，0，1)，00.，AB1MN.反思与感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系写出点的坐标求直线的方向向量证明向量垂直得到两直线垂直.跟踪训练1如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，求证：ACBC1.证明直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC3，BC4，AB5，AC、BC、C1C两两垂直.如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则C(0，0
5、，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，(3，0，0)，(0，4，4)，0.ACBC1.类型二证明线面垂直例2如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.证明如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为ABC为正三角形，所以AOBC.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，以，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0).所以(1，2，)，(1
6、，2，)，(2，1，0).因为1(1)22()0.1(2)21()00.所以，即AB1BA1，AB1BD.又因为BA1BDB，所以AB1平面A1BD.反思与感悟用坐标法证明线面垂直的方法及步骤方法一：(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)求出平面的法向量.(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.跟踪训练2如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点P为DD1的中点.求证
7、：直线PB1平面PAC.证明如图建系，C(1，0，0)，A(0，1，0)，P(0，0，1)，B1(1，1，2)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)，(0，1，2)，(1，0，2).(1，1，1)(1，0，1)0，所以，即PB1PC.又(1，1，1)(0，1，1)0，所以，即PB1PA.又PAPCP，所以PB1平面PAC.类型三证明面面垂直例3在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ABBC，ABBC2，AA11，E为BB1的中点，求证：平面AEC1平面AA1C1C.证明由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以点B为原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴，建立
8、如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E(0，0，)，故(0，0，1)，(2，2，0)，(2，2，1)，(2，0，).设平面AA1C1C的法向量为n1(x，y，z)，则即令x1，得y1，故n1(1，1，0).设平面AEC1的法向量为n2(a，b，c)，则即令c4，得a1，b1，故n2(1，1，4).因为n1n2111(1)040，所以n1n2.所以平面AEC1平面AA1C1C.反思与感悟证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练3
9、在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCCD，BCD90，ADB30，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF平面ABC.证明以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设A(0，0，a)，则易得B(0，0，0)，C，D(0，a，0)，E，F(0，a，)，故(0，0，a)，.设平面ABC的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即取x11，n1(1，1，0)为平面ABC的一个法向量.设n2(x2，y2，z2)为平面BEF的一个法向量，同理可得n2(1，1，).n1n2(1，1，0)(1，1，)0，平面BEF平面ABC.1.下列命题中，正确命题的个数为()若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n
10、2；若n1，n2分别是平面，的法向量，则 n1n20；若n是平面的法向量，a与平面平行，则na0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直.A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析中平面，可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知正确.2.已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为()A.a(1，0，0)，b(3，0，0)B.a(0，1，0)，b(1，0，1)C.a(0，1，1)，b(0，1，1)D.a(1，0，0)，b(1，0，0)答案B解析因为a(0，1，0)，b(1，0，1)，所以ab0110010，所以ab，故选B.3.若直线l的方向向量为a(1，0，2)，
11、平面的法向量为(2，0，4)，则()A.l B.l C.l D.l与斜交答案B解析a，l.4.平面的一个法向量为m(1，2，0)，平面的一个法向量为n(2，1，0)，则平面与平面的位置关系是()A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能确定答案C解析(1，2，0)(2，1，0)0，两法向量垂直，从而两平面垂直.5.已知平面与平面垂直，若平面与平面的法向量分别为(1，0，5)，(t，5，1)，则t的值为_.答案5解析平面与平面垂直，平面的法向量与平面的法向量垂直，0，即(1)t05510，解得t5.空间垂直关系的解决策略几何法向量法线线垂直(1)证明两直线所成的角为90.(2)若直线与平面垂
12、直，则此直线与平面内所有直线垂直两直线的方向向量互相垂直线面垂直对于直线l，m，n和平面(1)若lm，ln，m，n，m与n相交，则l.(2)若lm，m，则l(1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直.(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量面面垂直对于直线l，m和平面，(1)若l，l，则.(2)若l，m，lm，则.(3)若平面与相交所成的二面角为直角，则证明两个平面的法向量互相垂直40分钟课时作业一、选择题1.设直线l1，l2的方向向量分别为a(2，2，1)，b(3，2，m)，若l1l2，则m等于()A.2 B.2 C.6 D.10答案D解析因为ab，故ab0，即2
13、32(2)m0，解得m10.2.若平面，的法向量分别为a(1，2，4)，b(x，1，2)，并且，则x的值为()A.10 B.10 C. D.答案B解析因为，则它们的法向量也互相垂直，所以ab(1，2，4)(x，1，2)0，解得x10.3.已知点A(0，1，0)，B(1，0，1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA平面ABC，则点P的坐标为()A.(1，0，2) B.(1，0，2) C.(1，0，2) D.(2，0，1)答案C解析由题意知(1，1，1)，(2，0，1)，(x，1，z)，又PA平面ABC，所以有(1，1，1)(x，1，z)0，得x1z0，(2，0，1)(x，1，z)0，得2
14、xz0，联立得x1，z2，故点P的坐标为(1，0，2).4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A.AC B.BD C.A1D D.A1A答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)，D(0，0，0)，A1(0，1，1)，C1(1，0，1)，E，(1，1，0)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，1)，(1)()(1)010，CEBD.5.若平面，垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是()A.n1(1，2，1)，n2(3，1，1)B.n1(1，1，2)，n2(2，1，1)C
15、.n1(1，1，1)，n2(1，2，1)D.n1(1，2，1)，n2(0，2，2)答案A解析1(3)21110，n1n20，故选A.6.两平面，的法向量分别为(3，1，z)，v(2，y，1)，若，则yz的值是()A.3 B.6 C.6 D.12答案B解析v06yz0，即yz6.二、填空题7.在三棱锥SABC中，SABSACACB90，AC2，BC，SB，则异面直线SC与BC是否垂直_.(填“是”或“否”)答案是解析如图，以A为原点，AB，AS分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由AC2，BC，SB，得B(0，0)，S(0，0，2)，C，.因为0，所以SCBC.8.已知点P是平行四边形ABCD
16、所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1).对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_.(填序号)答案解析(1，2，1)(2，1，4)122(1)(1)(4)0，APAB，即正确；(1，2，1)(4，2，0)(1)422(1)00，APAD，即正确；又ABADA，AP平面ABCD，即是平面ABCD的一个法向量，即正确；是平面ABCD的法向量，即不正确.9.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x1，2cos 2x2，0)和点Q(cos x，1，3)，其中x0，.若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为_.答案或解析由题意得，cos x
17、(2cos x1)(2cos 2x2)0.2cos2xcos x0，cos x0或cos x.又x0，x或x.10.在ABC中，A(1，2，1)，B(0，3，1)，C(2，2，1).若向量n与平面ABC垂直，且|n|，则n的坐标为_.答案(2，4，1)或(2，4，1)解析据题意，得(1，1，2)，(1，0，2).设n(x，y，z)，n与平面ABC垂直，即可得|n|，解得y4或y4.当y4时，x2，z1；当y4时，x2，z1.三、解答题11.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是CD的中点.证明：CD平面PAE.证明如图，以A为坐标原点，AB
18、，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设PAh，则相关各点的坐标为A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，3，0)，D(0，5，0)，E(2，4，0)，P(0，0，h).易知(4，2，0)，(2，4，0)，(0，0，h).因为8800，0，所以CDAE，CDAP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD平面PAE.12.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PAAB1，AD，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.求证：无论点E在BC边的何处，都有PEAF.证明建立如图所示空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(0，1，0)，F，
19、D，设BEx(0x)，则E(x，1，0)，(x，1，1)0，所以x0， 时都有PEAF，即无论点E在BC边的何处，都有PEAF.13.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点.(1)求证：A1EBD；(2)若平面A1BD平面EBD，试确定E点的位置.(1)证明以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a，则 A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a).设E(0，a，e) (0ea)，(a，a，ea)，(a，a，0)，a2a2(ea)00，即A1EBD.(2)解设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2).(a，a，0)，(a，0，a)，(0，a，e)，取x1x21，得n1(1，1，1)，n2(1，1，)，由平面A1BD平面EBD得n1n2，20，即e.当E为CC1的中点时，平面A1BD平面EBD.13
