1、矩阵在LMS自适应滤波器的应用1.自适应滤波原理自适应滤波器是指利用前一时刻的结果，自动调节当前时刻的滤波器参数，以适应信号和噪声未知或随机变化的特性，得到有效的输出，主要由参数可调的数字滤波器和自适应算法两部分组成，如图1所示图1 自适应滤波器原理图图2自适应滤波器组合器x(n)称为输入信号，y(n)称为输出信号，d(n)称为期望信号或者训练信号，e(n)为误差信号，其中，e(n)=d(n)-y(n).自适应滤波器的系数(权值)w(i)根据误差信号e(n)，通过一定的自适应算法不断的进行改变，以达到使输出信号y(n)最接近期望信号1。 图中参数可调的数字滤波器和自适应算法组成自适应滤波器。自
2、适应滤波算法是滤波器系数权值更新的控制算法，根据输入信号与期望信号以及它们之间的误差信号，自适应滤波算法依据算法准则对滤波器的系数权值进行更新，使其能够使滤波器的输出趋向于期望信号。将上述表示成矩阵形式，输出，式中， ,误差信号被作为加权系数的控制信号，.均方误差（性能函数）, （1）其中是期望信号d和输入信号X的互相关矩阵。上式表明，当输入信号时平稳随机信号时，均方误差函数是权系数W的二次函数，它是一个中间上凹的超抛物形曲面，具有唯一最小值的函数用梯度向量，使性能函数到达它的最小点，,为求最佳权系数，令=0，即, （2）由信号处理理论可知，当滤波器的单位脉冲响应取最佳值时，其误差信号和输入信
3、号是正交的。或者对（1）求导，得到令它为0，可得到最佳权矢量的表达式, （3）此时，均方误差取最小值，将（1）中均方误差为，将最优权值系数带入，可得=+记,则得到 （4）将进行分解，得到,其中，Q为正交矩阵或者特征矩阵，是由特征值组成的对角矩阵，用下式表示，并带入（4）式有， （5） 最陡下降法的递推公式为, （6）为步长因子，用来控制迭代的速度，的值越大，则速度越快，但是精度下降，的值太小，则算法运算量增大2。因此需要根据要求作出适当的选择。带入（6），两边都减去，做变换，得到, （7）得到权系数的递推公式， （8）2. LMS自适应滤波器举例本实验通过一个二阶自回归过程来研究实时数据集平均
4、对LMS算法的影响，AR模型的差分方程为： 其中=1.558;=-0.81;是零均值方差为的白噪声；图3为模型及其二阶自适应线性预测模型， 图3：AR模型将权初始值设为0，根据LMS算法的基本步骤可以写出该算法的matlab程序如下： clearclose allclca1=1.588;a2=-0.81;u=0.001;N=1024;G=100;e=zeros(1,N);w1=zeros(1,N+1);w2=zeros(1,N+1);y=zeros(1,N);ee=zeros(1,N);%每个点的误差平方ep=zeros(1,N);%每个点的误差平方累积eq=zeros(1,N);%每个点的1
5、00次误差平方均值w11=zeros(1,N+1);%w1权值的累积w22=zeros(1,N+1);%w2权值的累积for g=1:Gv=randn(1,N);x(1)=v(1);x(2)=x(1)*a1+v(2);for n=3:N x(n)=a1*x(n-1)+a2*x(n-2)+v(n);endfigure(1)plot(x)title(输入信号x)for n=3:N y(n)=w1(n)*x(n-1)+w2(n)*x(n-2); e(n)=x(n)-y(n); w1(n+1)=w1(n)+2*u*e(n)*x(n-1); w2(n+1)=w2(n)+2*u*e(n)*x(n-2);
6、ee(n)=e(n)2;end w11=w1+w11; w22=w2+w22; ep=ep+ee;endeq=ep/G;W1=w11/G;W2=w22/G;figure(2)subplot(2,1,1)plot(w1)hold on subplot(2,1,2)plot(W1)hold onsubplot(2,1,1)plot(w2,r)title(w1与w2的收敛曲线,u=0.001)hold onsubplot(2,1,2)plot(W2,r);title(100次平均后w1与w2的收敛曲线,u=0.001)figure(3)subplot(2,1,1)plot(e)title(误差曲线（
7、学习曲线）u=0.001)subplot(2,1,2)plot(eq)title(100次平均误差曲线（学习曲线）u=0.001)下面对结果进行分析： 图4 输入信号 图5 w1与w2的收敛曲线图5为初始权值为0，u=0.001时的误差曲线，即所谓的学习曲线，收敛速度较快的为100次集平均学习曲线，而起伏较大的为单次实现的学习曲线.图6 平方误差曲线（学习曲线）u=0.001图6为误差的收敛曲线，可以看出100次平均误差的收敛效果较快。3. 结论信号通过系统的响应，在数学上可以等效为矩阵的运算，这种等效对于求解输出信号是很方便的。应用矩阵的变换和向量的性质求解自适应滤波器的权系数，通过观测矩阵中值的变化能比较直观的反映出滤波器在迭代过程中性能的变化，对于后期的分析有很重要的作用。参考文献：1贺宽，黄涛.基于matlab的自适应滤波器涉及J.武汉理工大学学报：信息与管理工程模块，2008（1）：70-71.2谷源涛.LMS算法收敛性能研究及应用D.北京：清华大学信息科学技术学院，2005:10-11.
