1、东城区 2023-2024 学年度第一学期期末统一检测 高 三 数 学 2024.1本试卷共6页，150分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题 共 40 分)一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知全集U=x|0x4,集合 A=x|0x2,则CA= (A)x|2x4 (B)x|2x4 (C)x|2x0,b0,则 a12b12,是 412a0),若 f6=f2,则的一个取值为 .(14)设函数 fx=2x1,xa,x2+a,xa.若a=-2,
2、则f(x)的最小值为 ;若f(x)有最小值，则实数a 的取值范围是 (15)一般地，对于数列an，如果存在一个正整数 t，使得当n取每一个正整数时，都有 a=a,那么数列an就叫做周期数列，t叫做这个数列的一个周期. 给出下列四个判断：对于数列an,若 a1,2(i=1,2,3,),则an为周期数列；若an满足:( a2n=a2n+2,a2n1=a2n+1nN,则an为周期数列；若an为周期数列，则存在正整数 M，使得|a。|M恒成立；已知数列an的各项均为非零整数，S为其前 n项和，若存在正整数 M，使得 |S|0)的右焦点为 F，左、右顶点分别为 A，B， |AF|=2+3,|BF|=23
3、.()求椭圆 C 的方程;()设O是坐标原点，M，N 是椭圆 C 上不同的两点，且关于x轴对称，E，G 分别为线段 OM,MB 的中点,直线 AE 与椭圆C 交于另一点 D.证明:D,G,N三点共线. (20)(本小题 15 分)已知函数 fx=x1x+1kex,k0.()若k=1,求曲线 y=f(x)在(0,f(0)处的切线方程;()若1k2,求证:函数y=f(x)在(0,+)上有极大值 m,且-3m1.(21)(本小题 15 分)若有穷数列 A:a1,a2,ann4)满足： ai+an+1i=ccRi=12n,则称此数列具有性质 Pc.()若数列 A:-2,a,a,2,6具有性质 P.,求
4、a,a,c 的值;()设数列 A 具有性质 P,且( a1a201ijn时,存在正整数 k，使得 aa=a,求证：数列 A 为等差数列；()把具有性质 P。，且满足 |a2k1+a2k|=m(kN,kn2,m为常数)的数列 A 构成的集合记作 Tf(n,m).求出所有的 n,使得对任意给定的 m,c,当数列 AT(n,m)时，数列 A中一定有相同的两项，即存在 a=aij1ijn.高三数学 第 6 页(共 6 页)东城区20232024学年度第一学期期末统一检测 高三数学参考答案及评分标准 2024.1一、选择题(共 10 小题, 每小题4分, 共40分) (1) C (2) D (3) C
5、(4) D (5) B (6) A (7) C (8) B (9) A (10) D二、填空题(共5 小题，每小题5分，共25分) (11)(0,1)(1,+) 12y=2x 133(答案不唯 一 ) (14)-2 (-,-1 (15) 三、解答题(共6小题，共85分)(16)(共 14分)解: (I)取AC中点G, 连接FG, AG.在直三棱柱. ABCABC中,因为E,F,G 分别为AB,BC, AC的中点,所以 AEA1B1,GF/A1B1,GF=12A1B1,AE=12A1B1.所以GF AE, GF =AE.所以四边形EFGA为平行四边形，所以EF AG.又因为EF 平面ACCA,
6、AG平面ACCA,所以EF平面ACCA.6分() 在直三棱柱 ABCABC中,BB平面ABC.而BA平面ABC, BC平面ABC,所以BBBA, BBBC因为ABC=90, BABC,所以BA, BC,BB两互相垂直.如图，建立空间直角坐标系B-xyz.则A(0, 2, 0), B(0, 0, 0), C(2, 0, 0), E(0, 1, 0), r1, U, ).设P(0, 0, m) ,m0,2,则 AP=02m,BE=010,BF=102.设平面 BEF的一个法向量为n=(x,y,z),高三数学参考答案及评分标准 第 1 页 (共6 页) 所以 nBE=0,nBF=0,即 y=0,x+
7、2z=0.设z=-1, 则n=(2,0,-1)设AP与平面BEF所成的角为，则 sin=|cosAPn|=|APn|AP|n|=|m|522+m2=15解得 m=1,m=1.因为m0,2, 所以m=1. 于是, BP=1. 14分(17) (本小题13分)解: (I)在ABC中,由余弦定理得 cosB=BC2+AB2AC22BCAB又因为 BC=4,AC=13,AB=1,所以 cosB=42+12132241=12. 又B(0,),所以 B=3. 5分 () 选择条件: ADB=4.在ADB中，由正弦定理 ADsinB=ABsinADB, 得 AD32=122,所以 AD=62.所以sinBA
8、D=sin(B+ADB)=sin BcosADB+cos B sinADB =3222+1222 =6+24:.所以 SABD=12ABADsinBAD. =121626+24 =3+38 13分高三数学参考答案及评分标准 第 2 页 (共6页)选择条件：由余弦定理 AD2=AB2+BD22ABBDcosB,AB+BD+AD=33得 2+3BD2=1+BD2BD,解得 BD=2,所以 SABD=12ABBDsinB=121232=32.13分(18)(本小题13分)解：(I) 由表格中的数据可 知 ：2022 年 100 名参加第一次考试的考生中有60 名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的
9、概率为 60100=35;2023 年 100 名参加第一次考试的考生中有50 名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为 50100=12;从 2022年、2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，这两位考生都通过考试的概率为 3512=310. 4分() 记“2022年考生在第i次考试通过”为事件A(i=1,2,3),“小明2022年参加考试，他通过不超过两次考试该科目成绩合格”为事件 A，则 PA1=35,PA2=70100=710,PA3=80100=45.小明一次考试该科目成绩合格的概率 PA1=35,小明两次考试该科目成绩合格的概率 PA1A2=135710=725,
10、所以小明不超过两次考试该科目成绩合格的概率 PA=PA1A1A2=PA1+PA1A2=35+725=2225. 10分 () 88. .13 分(19)(本小题 15分)解: () 由题意得 a+c=2+3,ac=23,a2=b2+c2,解得 a=2,b=1,c=3. 所以椭圆C的标准方程为 x24+y2=1. 5分高三数学参考答案及评分标准 第 3 页 (共6 页)() 证明: 由() 得, A(-2,0),B(2,0).设M(m,n), 则N(m,-n), 且满足; m+4n=4.因为E为线段OM的中点，所以 Em2n2.所以直线AE :y=nm+4x+2.设D(x,y), 由 y=nm+
11、4x+2x2+4y2=4 得 m+4+4nx+16nx+16n4m+4=0. 因为 m+4n=4, 所以 2m+5x+4mx2m+8m+12=0. 所以 2x1=2m2+8m+122m+5, 解得 x1=m2+4m+62m+5, 则 y1=nm+42m+5,所以 Dm2+4m+62m+5nm+42m+5.因为G为线段MB的中点，所以 Gm+22n2.所以直线 GN的方程为 y+n=3nm2xm,代入D点坐标，得左式 =nm+42m+5+n=3nm+32m+5,右式 =3n2mm2+4m+62m+5m=3nm+32m+5.所以左式=右式. 所以D,G,N三点共线. 15分(20)(本小题 15分
12、)解: (I) 若k=1, 则 fx=x1x+1ex,所以 fx=2x+12ex,所以 f0=20+12e0=1,又因为 f0=010+1e0=2,所以曲线y=f(x)在(0,f(0)处的切线方程为 y-(-2)=(x-0),高三数学参考答案及评分标准 第 4 页 (共6 页) 即y=x-2. .6分() 若1k2, 因为 fx=2x+12kex,设函数 gx=2x+12kex,则 gx=4x+13kex0x0+所以 fx=2x+12kex为(0,+)上的减函数.当时1k2时, f0=20+12ke0=2k0, f12=212+12ke12=89ke1289e12所以当1k0,所以 1x0+1
13、01. 得-3m1. 15分(21)(本小题15分)解: (I) 由于数列A:-2, a, a,2,6具有性质 Pc,所以 a+a=2+6=4=c.高三数学参考答案及评分标准 第 5 页 (共 6 页)由 a+a=4以及 a=2,得 a=2. 由 a+a=4, 得 a=2. 4分()由于数列A具有性质P，且 a1a2an, n为奇数, 令n=2k+1,可得 a=0,设 a1a2akak+1=0ak+2ak+301ijn时，存在正整数k，使得 aa=a,所以 ak+3ak+2,ak+4ak+2,ak+5ak+2,a2k+1ak+2这k-1项均为数列A中的项， 且 )ak+3ak+2ak+4ak+
14、2ak+5ak+2a2k+1ak+2a2k+1, 因此一定有a k+3ak+2=ak+2,ak+4ak+2=ak+3,ak+5ak+2=ak+4,a2k+1ak+2=a2k, 即: ak+3ak+2=ak+2,ak+4ak+3=ak+2,ak+5ak+4=ak+2,a2k+1a2k=ak+2 ,这说明： ak+2,ak+3,a2k+1为公差为ak+ 的等差数列，再由数列A具有性质 P，以及 a=0可得，数列A为等差数列.9分()(1) 当 n=4k+2kN时,设A :a1,a2,a2k1,a2k,a2k+1,a2k+3,a2k+4,a4k1,a4k+2 由于此数列具有性质 Pr，且满足 |a+
15、a|=m,由 |a+a|=m和 a+a=c得c=m. c=m时, 不妨设 a+a=m, 此时有： a=ma,a=a, 此时结论成立. c=-m时, 同理可证.所以结论成立.(2)当 n=4kkN时, 不妨设c=0, m=1. 反例如下:-2k,2k-1,-2k+2,2k-3,1,-1,2,-2k+3,2k-2,-2k+1,2k.(3)当 n=2k+3kN时, 不妨设c=0, m=1. 反例如下:(-1).(k+1),(-1)k,(-1).(k-1),-1,0,1,-2,(-1).(k-1), 1k,1k+1 高三数学参考答案及评分标准 第6 页 ( 共6 页 ) 综上所述， n=4k+2kN符合题意. 15分.
