1、大庆市2024届高三年级第三次教学质量检测数 学2024.04注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名班级考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液修正带刮纸刀.一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
2、的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）A. B.C. D.3.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）A.30 B.32 C.36 D.404.小明希望自己的高考数学成绩能超过120分，为了激励自己，他记录了近8次数学考试成绩，并绘制成折线统计图，如图，这8次成绩的第80百分位数是（ ）A.100 B.105 C.110 D.1205.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.6.已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取两球，每次取一球，记第一次取出的球的数字是，第二次取出的球的数字是.若事件“为偶数”
3、，事件“中有偶数且”，则（ ）A. B. C. D.7.已知函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.8.已知椭圆的左右焦点分别为，若经过的弦满足，则椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D.二多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知点是双曲线上一点，过向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ）A.双曲线的浙近线方程为B.双曲线的焦点到渐近线的距离为1C.D.的面积为10.设正方体的棱长为为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）A.B.平面C
4、.设与所成的角为，则的最大值为D.当棱锥体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为11.如图，函数的图象与直线相交，是相邻的三个交点，红，则下列说法正确的是（ ）A.B.若的最大值为，则C.若，函数在上单调递减，则D.若是偶函数，则的一个可能取值为三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在：的展开式中，含项的系数是_.13.在中，若边上的两条中线相交于点，则_；_.14.已知二次函数有两个不相等的零点，其中.在函数图象上横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到：一直继续下去，得到，其中.若，则前6项的和是_.四解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字
5、说明证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知，函数，且.（1）求的单调区间；（2）若恒成立，求的取值范围.16.（本小题满分15分）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者才能进入面试.面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得1分，答错不得分；第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分.（1）根据近几年的数据统计，应聘者的笔试得分服从正态分布，要求满足为达标.现有1000人参加应聘，求进入面试环节的人数.（结果四舍五入保留整数）（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题
6、答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的分布列与数学期望.附：若，则，17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，且是的中点.（1）求证：平面平面；（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的余弦值.18.（本小题满分17分）已知平面内一动圆过点，且在轴上截得弦长为2，动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设点是圆上的动点，曲线上有四个点，其中是的中点，是的中点，记的中点为.求直线的斜率：求面积的最大值.19.（本小题满分17分）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下
7、：当的三个内角均小于时，满足的点为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.请用以上知识解决下面的问题：已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且.（1）求；（2）若，求的最大值；（3）若，求实数的最小值.大庆市高三年级第三次教学质量检测数学答案及评分标准一单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案BDACDBDA1.B 【解析】因为，所以.故选：B.2.D 【解析】因为复数对应的点的坐标是，所以，所以.故选：D.3.A 【解析】设等差数列的公差为，由，得，解得，所以.故选：A.4.C 【解析】
8、因为，由图可知8次成绩由小到大排序，第7个位置的数是110，所以这8次成绩的第80百分位数是110.故选：C.5.D 【解析】函数的图象如下，由图可知在上单调递增.因为，所以，解得.故选：D.6.B 【解析】由已知则.故选：B.7.D 【解析】已知函数有2个零点，所以方程有两个根，即函数与的图象有两个公共点.（1）当时，.若直线与曲线相切，设切点坐标为，则曲线在点处的切线方程为.又因为切线过点，所以，解得，即.（2）当时，.若直线与曲线相切，设切点坐标为，则曲线在点处的切线方程为.又因为切线过点，所以，解得，即.综上，结合函数与函数的图象及增长速度可知，当两个函数的图象有两公共点时.故选：D.
9、8.A 【解析】法一：由题可知，所以，解得.由得，整理得，所以.故选：A.法二：由题可知，由已知得，解得.记中点为，因为，所以.在和中，由得，解得，所以.故选：A.二多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.ABD 【解析】题号91011答案ABDBCDAD因为双曲线的方程为，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故A正确.双曲线的右焦点到渐近线的距离为.故B正确.由点到直线的距离公式可得.故错误.如图，因为，所以.在和中，所以，所以，故D正确.故选：ABD.10.BCD 【解析】如图（1），
10、当点与重合时，与所成的角是.故错误.如图（2），易证平面平面，所以平面.故B正确.如图（3），因为，所以与所成的角为.因为平面，所以，所以，当点与（或重合时最大，此时最大，易得.故C正确.如图（3），因为，所以当点与重合时三棱锥体积最大，此时三棱锥的外接球即为正方体的外接球.设外接球半径为，则，所以，所以该三棱锥外接球的表面积为.故D正确.故选：BCD.11.AD 【解析】设，则，所以，所以，所以.因为，所以，所以，所以.故A正确.当时，（其中）.因为时有最大值，所以，所以.故B错误.法一：当时，是单调递减函数，所以的减区间为.因为函数在上单调递减，所以，得.因为，所以.故C错误.法二：因为，
11、所以.又因为，所以.因为函数在上单调递减，所以，解得.故C错误.因为，所以的一条对称轴方程是，所以时，是偶函数.故D正确.故选：AD.三填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.（13小题第1问2分，第2问3分）12.24； 13.； 14.63.12. 【解析】在的展开式中，.令得，所以含项的系数是.13. 【解析】法一：在中，由余弦定理得，所以.因为，所以，建立平面直角坐标系，如图，则，所以，所以.法二：.因为，所以14. 【解析】不妨设，则，所以.所以在处的切线方程为：.令，则.因为，所以，即，所以是首项为1，公比为2的等比数列，前6项和为.故的前6项和是.三解答题15.（本小题满分
12、13分）解：（1）的定义域为，由已知得，因为，所以，解得.令，解得（舍），.当时，；当时，.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）因为在上单调递减，在上单调递增，所以当时，有极小值.因为在上只有一个极值，所以.因为恒成立，所以，即，得.所以的取值范围是.16.（本小题满分15分）解：（1）因为服从正态分布，所以.因为，所以，所以.因此，进入面试的人数约为159.（2）由题意可知，的可能取值为则；.所以的分布列为：012345所以.17.（本小题满分15分）解：（1）因为，由余弦定理得，所以.因为，所以，所以.因为，所以四边形为平行四边形，所以.因为，所以，即.因为平面，所以平面.因为平面
13、，所以平面平面.（2）在平面内，过点作，交于.因为平面平面，平面平面，所以平面.以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则.由（1）可知为二面角的平面角，即，所以，由，可得.所以.设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的余弦值为.18.（本小题满分17分）解：（1）设动圆圆心，当时，由已知得，即；当时，点的轨迹为点，满足.综上可知，点的轨迹方程为.（2）设.由题意得，的中点在抛物线上，即.又，将代入得，同理可得，可知为方程的两根，所以.所以直线的斜率为0.（3）由得，所以，又因为，所以.又因为点在圆上，则，且.设的面积为，则，当时，有最大值48.所以面积的最大值为48.19.（本小题满分17分）解：（1）因为，所以，即，由正弦定理得：.所以.（2）由（1）知，所以的三个角都小于，因为点为的费马点，所以.由得：，整理得.又因为，所以，当且仅当时等号成立.所以，所以的最大值为.（3）由（2）知.设，由得.由余弦定理得：因为，所以，整理得.因为，当且仅当时等号成立.所以，整理得，解得或者（舍去）.所以实数的最小值为.
