1、邢台市2024年高中毕业年级教学质量检测（一）数 学注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 在复平面内，对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知，则（ ）A. B.
2、 C. D. 3. 在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（ ）A. 8B. 12C. 16D. 204. 已知椭圆的离心率为是上任意一点，为坐标原点，到轴的距离为，则（ ）A. 为定值B. 为定值C. 为定值D. 为定值5. 函数零点的个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 66. 如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可例如，求由方程所确
3、定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得那么曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 7. 如图，正四棱台容器的高为12cm，容器中水的高度为6cm现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（ ）A. B. C. D. 8. 倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于两点若，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，
4、有选错的得0分9. 设集合，则（ ）A. B. 的元素个数为16C. D. 子集个数为6410. 已知内角对边分别为为的重心，则（ ）A. B. C. 的面积的最大值为D. 的最小值为11. 已知函数和函数的定义域均为，若的图象关于直线对称，且，则下列说法正确的是（ ）A. 为偶函数B. C. 若在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则_，该直线的方程为_13. 4名男生和2名女生随机站成一排，每名男生至少与另一名男生相邻，则不同的排法种数为_14. 在直三棱柱中，底面ABC是边长为6的正三角
5、形，若M是三棱柱外接球的球面上一点，是内切圆上一点，则的最大值为_四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 如图，在三棱锥中，平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且，（1）证明：平面（2）求二面角的余弦值16. 已知等差数列的前n项和为，且也是等差数列（1）求数列的公差；（2）若，求数列的前n项和17. 小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张回答A类题正确概率为0.9，小张回答B类题正确的概率为0.45已知题库中B类题的数量是A类题的两倍（1）求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；（2）已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需
6、要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题目中恰好回答正确k个（，1，2，10）的概率为，则当k为何值时，最大？18. 双曲线上一点到左右焦点的距离之差为6，（1）求双曲线的方程，（2）已知，过点直线与交于（异于）两点，直线与交于点，试问点到直线的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由，19. 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.（1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；（2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程；（3）已知函数，直线为曲线“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证
7、明：.邢台市2024年高中毕业年级教学质量检测（一）数学注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 在复平面内，对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】
8、由复数的运算化简后求出即可.【详解】，所以在复平面内，对应的点位于第三象限.故选：C.2. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由二倍角余弦公式和诱导公式化简即可.【详解】，故选：B3. 在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（ ）A. 8B. 12C. 16D. 20【答案】C【解析】【分析】由回归方程的性质求出即可.【详解】设未剔除这两对数据前的的平均数分别为，剔除这两对数据前的的平均数分别为，因为所以，则，又这两对数据为，所以，所以，所以故选
9、：C.【点睛】关键点点睛：本题关键在于找到剔除前后的平均数.4. 已知椭圆的离心率为是上任意一点，为坐标原点，到轴的距离为，则（ ）A. 为定值B. 为定值C. 为定值D. 为定值【答案】D【解析】【分析】观察选项，设，从而表示出，再利用椭圆离心率的定义求得，进而得到椭圆方程，从而配凑出关于的式子，由此得解.【详解】依题意，设，则，因为椭圆的离心率为，所以，解得，所以的方程为，即，即，所以，故D正确，显然ABC错误.故选：D.5. 函数零点的个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】将零点问题转化为交点问题，利用函数性质判断即可.【详解】令，可得，则函数零点的个数为
10、与的交点个数，显然与均关于对称，又当时，当时，再结合两个函数的图象，可得与有5个交点，故函数零点的个数为5，故C正确.故选：C6. 如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得那么曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用给定隐函数的导数求法确定斜率，再求出切线方程即可.【详解】由给定定义得，对左右两侧同时求导，可得，将
11、点代入，得，解得，故切线斜率为，得到切线方程为，化简得方程为，故B正确.故选：B7. 如图，正四棱台容器的高为12cm，容器中水的高度为6cm现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先计算水的体积，再计算放入球后水和球的总体积，可得铁球的体积，利用体积公式可得答案.【详解】正四棱台容器的高为12cm，正四棱台容器内水的高度为6cm，由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长为，其体积为；放入铁球后，水位高为9cm，沿作个纵截面，从分别向底面引垂线，如图，其
12、中是底面边长10 cm，是容器的高为12 cm，是水的高为9 cm，由截面图中比例线段的性质，可得,此时水面边长为4 cm， 此时水的体积为，放入的57个球的体积为，设小铁球的半径为，则，解得.故选：A8. 倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于两点若，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用焦半径公式将所求弦长用三角函数表示，再利用三角函数性质求出取值范围即可.【详解】首先，我们来证明抛物线中的焦半径公式，如图，对于一个抛物线，倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于两点作准线的垂线，过作，则，解得，同理可得，如图，不妨设在第一象限
13、，由焦半径公式得，则，而，可得，故，故A正确，故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 设集合，则（ ）A. B. 的元素个数为16C. D. 的子集个数为64【答案】BCD【解析】【分析】解二次不等式化简集合，进而求得集合，利用集合的交并运算与常用数集的定义，结合集合子集个数的求法逐一分析各选项即可得解.【详解】对于ABC，因为，所以，即，所以有个元素，故A错误，BC正确；对于D，而有个元素，所以的子集个数为，故D正确.故选：BCD.10. 已知内角的对边分别为为的重心，则（ ）A.
14、 B. C. 的面积的最大值为D. 的最小值为【答案】BC【解析】【分析】利用重心性质及向量线性运算得，即可判断A，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得，的最大值，直接判断B，再结合三角形面积公式、余弦定理判断CD【详解】是的重心，延长交于点，则是中点，A错；由得，所以，又，即所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确；，当且仅当时等号成立，C正确；由得，所以，当且仅当时等号成立，所以最小值是，D错故选：BC 11. 已知函数和函数定义域均为，若的图象关于直线对称，且，则下列说法正确的是（ ）A. 为偶函数B. C. 若在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为D. 【答案】AD【解析
15、】【分析】利用函数对称性的定义判断A，利用周期性的定义判断B，利用给定区间的函数解析式求解未知解析式判断C，利用周期性对函数求和判断D即可.【详解】由的图象关于直线对称,可知即所以图象关于轴对称,故A正确.由可得又,所以可知的图象关于对称，所以，所以是周期为4的周期函数，则故B错误.当时, 又因为所以即在区间上的解析式为故C错误.因为，所以，所以，所以.故D正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得出，由此即可顺利得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则_，该直线方程为_【答案】 . 1 . 【解析】【分析】利用点在
16、圆上求解参数解决第一空，利用得到的垂直关系求出需要求的斜率，结合直线上的已知点得到直线方程，求解第二空即可.【详解】若过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则一定在圆上，可得，解得(其它根舍去)，故，而易知圆心为，半径为，又直线斜率为，设该直线的斜率为，显然两直线必定垂直，故得，则直线方程为，化简得直线方程，故答案为：1；13. 4名男生和2名女生随机站成一排，每名男生至少与另一名男生相邻，则不同的排法种数为_【答案】144【解析】【分析】采用分步乘法原理和排列计算结合插空法求出.【详解】4名男生先排，共有种，2名女生再排，共有种，再将2名女生插空到男生中，要求最左边，中间，最右边，共有3种，所以
17、一共有种，故答案为：144.14. 在直三棱柱中，底面ABC是边长为6的正三角形，若M是三棱柱外接球的球面上一点，是内切圆上一点，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】分析题意，将题目转化为求外接球半径与点到球心距离和的问题，求解即可.【详解】若底面ABC是边长为6的正三角形，则外接圆的半径为，内切圆半径为，设三棱柱外接球的半径为，且已知，可得，解得，设三棱柱外接球的球心与内切圆上一点的距离为，故，则的最大值为，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是确定取得最大值的情况，然后将目标式合理转化，得到所要求的线段和即可四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过
18、程或演算步骤15. 如图，在三棱锥中，平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且，（1）证明：平面（2）求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析. （2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质结合勾股定理得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明另一组线面垂直即可.（2）建立空间直角坐标系，先求出平面AEF的法向量，再求出面的法向量，利用二面角的向量求法求解即可.【小问1详解】分别为的中点, 平面，面，平面【小问2详解】以为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则设平面AEF的法向量为可得，故，令则解得，得到平面的一个法向量为易得平面的一个法向量为由图可知二
19、面角为锐角，所以二面角的余弦值为.16. 已知等差数列的前n项和为，且也是等差数列（1）求数列的公差；（2）若，求数列的前n项和【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用等差数列的性质得到方程，求解公差即可.（2）得到所需求和的数列，再利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】设数列的公差为，则因为是等差数列，所以为常数，所以解得，即公差为.【小问2详解】因为所以可得，故17. 小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张回答A类题正确的概率为0.9，小张回答B类题正确的概率为0.45已知题库中B类题的数量是A类题的两倍（1）求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；（2）已知
20、题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题目中恰好回答正确k个（，1，2，10）的概率为，则当k为何值时，最大？【答案】（1）0.6 （2）6【解析】【分析】（1）由独立事件的乘法概率求出即可；（2）由二项分布中最大值的计算求出即可，可设，利用组合数的性质求出即可.【小问1详解】设小张回答A类题正确的概率为，小张回答B类题正确的概率为，小张在题库中任选一题，回答正确的概率为，由题意可得，所以，所以小张在题库中任选一题，回答正确的概率为0.6.【小问2详解】由（1）可得，设，即，所以，即，解得，又，所以时，最大.18. 双曲线上一点到左右焦点的距离之
21、差为6，（1）求双曲线的方程，（2）已知，过点的直线与交于（异于）两点，直线与交于点，试问点到直线的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由，【答案】（1） （2）是定值，定值为【解析】【分析】（1）利用双曲线的定义与点在双曲线上得到关于的方程，解之即可得解；（2）假设直线方程，联立双曲线方程得到，再由题设条件得到直线与的方程，推得两者的交点在定直线上，从而得解.【小问1详解】依题意可得，解得，故双曲线的方程为.【小问2详解】由题意可得直线的斜率不为0，设直线的方程为，联立，消去，得，则，设，则，又，直线，直线，联立，两式相除，得，即，解得，所以点在定直线上，因为直线与直线之间的距
22、离为，所以点到直线的距离为定值，且定值为.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.19. 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.（1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；（2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程；（3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为
23、，若，证明：.【答案】（1）不是，理由见解析； （2）； （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导数为1的切点坐标，写出过两切点的切线方程，比较可得；（2）求出导数，利用其单调性可设切点为，且，写出两切线方程后由斜率相等，纵截距相等联立，求得切点坐标后可得切线方程；（3）设对应的切点为，对应的切点为，由导数几何意义得，由周期性，只需研究的情形，由余弦函数的性质，只需考虑，情形，在此条件下求得，满足，即，构造函数（），则，由导数确定单调性，从而得出缩小范围，所以，证明则，再由不等式的性质可证结论【小问1详解】不是，理由如下：由已知，由解得，又，不妨设切点为，在点处的切线的方程为，即，在点的切
24、线方程为，即与直线不重合，所以直线不是曲线的“双重切线”【小问2详解】由题意，函数和都是单调函数，则可设切点为，且，所以在点处的切线的方程为，在点的切线方程为，所以，消去得，设（），则，所以是减函数，又，所以在时只有一解，所以方程的解是，从而，在点处切线方程为，即，在点处的切线方程为，即，所以“双重切线”方程为；【小问3详解】证明：设对应的切点为，对应的切点为，由于，所以，由余弦函数的周期性，只要考虑的情形，又由余弦函数的图象，只需考虑，情形，则，其中，所以，又，即，时，令（），则，在上单调递减，又，所以，所以，此时，则，所以【点睛】方法点睛：本题考查新定义，考查导数的几何意义解题关键是正确理解新定义，并利用新定义进行问题的转化，转化为求函数图象的导数新定义实际上函数图象在两个不同点处的切线重合，这种问题常常设出切点为，由导数几何意义，应用求出切点坐标或者分别写出过两点的切线方程，由斜率相等和纵截距相等求切点坐标从而合问题获得解决
