1、课时提升作业(六十一)绝对值不等式一、选择题(每小题6分,共18分)1.若不等式|ax+2|6的解集为(-1,2),则实数a的值为()A.8B.2C.-4D.-8【解析】选C.由题知a0,由|ax+2|6-8ax0时,-x,又因为原不等式的解集为(-1,2),当a0时,xa的解集为M,且2M,则a的取值范围为()【解析】选B.由已知2M,可得2M,于是有a,即-aa,解得a,故应选B.3.如果关于x的不等式|x-3|+|x-4|a的解集不是空集,则实数a的取值范围是()A.0a1B.a1C.0a1【解析】选D.因为|x-3|+|x-4|(x-3)-(x-4)|=1,所以(|x-3|+|x-4|
2、)min=1.当a1时,|x-3|+|x-4|1.【加固训练】已知不等式|x+1|-|x-3|a.分别求出下列情形中a的取值范围.(1)不等式有解.(2)不等式的解集为R.(3)不等式的解集为.【解析】方法一: |x+1|-|x-3|表示数轴上的点P(x)与两定点A(-1),B(3)距离的差即|x+1|-|x-3|=|PA|-|PB|.由绝对值的几何意义知,PA-PB的最大值为|AB|=4,最小值为-|AB|=-4,即-4|x+1|-|x-3|4.(1)若不等式有解,则a只要比|x+1|-|x-3|的最大值小即可,故a4.(2)若不等式的解集为R,即不等式恒成立,则a只要比|x+1|-|x-3
3、|的最小值小即可,即a-4.(3)若不等式的解集为,则a只要不小于|x+1|-|x-3|的最大值即可,即a4.方法二:由|x+1|-|x-3|x+1-(x-3)|=4,|x-3|-|x+1|(x-3)-(x+1)|=4,可得-4|x+1|-|x-3|4.(1)若不等式有解,则a4.(2)若不等式的解集为R,则a-4.(3)若不等式的解集为,则a4.二、填空题(每小题6分,共18分)4.1|3x+4|6的解集为.【解析】1|3x+4|3x+41或3x+4-1x-1或x-,|3x+4|6-63x+46-x,故解集为答案: 5.不等式|x+2|-|x|1的解集为.【解析】方法一:当x-2时,-(x+
4、2)-(-x)1,-21,所以x-2.当-2x0时,(x+2)-(-x)1,2x+21,所以-2x-.当x0时,(x+2)-x1,21不成立,.综上知原不等式的解集为方法二:由绝对值的几何意义,点x到-2的距离与点x到0的距离的差小于等于1,如图所示.答案: 6.若存在实数x使|x-a|+|x-1|3成立,则实数a的取值范围是.【解题提示】存在实数x使|x-a|+|x-1|3成立(|x-a|+|x-1|)min3,要求出f(x)=|x-a|+|x-1|的最小值,可利用绝对值的几何意义或绝对值三角不等式来探求.【解析】方法一:不等式|x-a|+|x-1|3表示数轴上的点x到点a和点1的距离之和小
5、于等于3.因为数轴上的点x到点a和点1的距离之和最小时,即点x在点a和点1之间时,此时距离之和为|a-1|,要使不等式|x-a|+|x-1|3有解,则|a-1|3,解得-2a4.方法二:因为存在实数x使|x-a|+|x-1|3成立,所以(|x-a|+|x-1|)min3,又|x-a|+|x-1|x-a-(x-1)|=|a-1|,所以|a-1|3,解得-2a4.答案:-2a4【方法技巧】解决存在性问题的“两关”及“三法”求解存在性问题需过两关:第一关是转化关,先把存在性问题转化为求最值问题;第二关是求最值关,求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种:(1)利用绝对值的几何意义.(2)利用绝对值三
6、角不等式,即|a|+|b|ab|a|-|b|来快速求解其最值.(3)利用零点分区间来求其最值.三、解答题(每小题16分,共64分)7.设函数f(x)=.(1)当a=-10时,求函数f(x)的定义域.(2)若函数f(x)的定义域为R,试求a的取值范围.【解析】(1)由题设知:|x+2|+|x-6|-100.当x6时,不等式可化为(x+2)+(x-6)-10=2x-140,即x7.综上所述,函数f(x)的定义域为(-,-37,+).(2)由题设知,当xR时,恒有|x+2|+|x-6|+a0,即|x+2|+|x-6|-a.又由|x+2|+|x-6|(x+2)-(x-6)|=8,当-2x6时取“=”号
7、,所以-a8,即a-8,所以a的取值范围是-8,+).8.已知f(x)=|ax-4|-|ax+8|,aR.(1)当a=2时,解不等式f(x)2.(2)若f(x)k恒成立,求k的取值范围.【解题提示】(1)利用分类讨论思想将函数转化为分段函数,然后逐一求解每个不等式.(2)利用绝对值性质定理求解f(x)=|ax-4|-|ax+8|的最大值,然后确定k的取值范围.【解析】(1)当a=2时,f(x)=2(|x-2|-|x+4|)=当x-4时,不等式不成立;当-4x2时,由-4x-42,得-2时,不等式必成立.综上,不等式f(x)-.(2)因为f(x)=|ax-4|-|ax+8|(ax-4)-(ax+
8、8)|=12,当且仅当ax-8时取等号.所以f(x)的最大值为12.故k的取值范围是12,+).9.已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)若不等式f(x)6的解集为x|-2x3,求实数a的值.(2)在(1)的条件下,若存在实数n使f(n)m-f(-n)成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)由|2x-a|+a6得|2x-a|6-a,所以a-62x-a6-a.即a-3x3,所以a-3=-2,所以a=1.(2)由(1)知f(x)=|2x-1|+1.令(n)=f(n)+f(-n).则(n)=|2n-1|+|2n+1|+2所以(n)的最小值为4,故实数m的取值范围是4,+).10.已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.(1)解关于x的不等式f(x)+a-10(aR).(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求m的取值范围.【解析】(1)不等式f(x)+a-10,即|x-2|+a-10,当a=1时,解集为x2,即(-,2)(2,+);当a1时,解集为全体实数R;当a-|x+3|+m对任意实数x恒成立,即|x-2|+|x+3|m恒成立,又对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|(x-2)-(x+3)|=5,于是得m5,即m的取值范围是(-,5).- 6 -
