1、【北京特级教师 同步复习精讲辅导】2014-2015高中数学 导数的应用 判断单调性课后练习二 新人教版选修2-2判断下列命题的正误(1)yxlnx在(0，5)上是单调递增函数()(2)函数f(x)x有极值()(3)函数f(x)xsinx有无数个极值点()(4)当a1时，f(x)2ax，x(0，1是增函数()函数f (x)sinxcosxx1, 0x0)(1)若m1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若函数f(x)在区间(2m1，m1)上单调递增，求实数m的取值范围 课后练习详解答案：错误；错误；正确；正确详解: (1)要特别注意函数的定义域，函数的定义域为(0，)因为y
2、lnx1，令y 0，得x；令y 0，得0x1，所以f(x)在(，0)和(0，)上是单调递增函数，没有极值(3)f (x)sinxxcosx，令f (x)0，当cosx0时，有tanxx，作出函数ytanx与yx的图象(图略)，可知方程tanxx有无数个解，所以函数f(x)xsinx有无数个极值点(4)f (x)2a，因为y在(0，1上是减函数，所以2，又a1，所以f (x)220，所以f(x)在(0，1上是增函数答案：单调区间f (x)的单调递增区间是(0，)和，单调递减区间是；极小值为f ，极大值为f ()2详解:由f(x)sinxcosxx1,0x2，知f (x)1sin令f (x)0，从
3、而sin，得x或x，当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表：x(0，)f (x)00f(x)2因此，由上表知f (x)的单调递增区间是(0，)和，单调递减区间是，极小值为f ，极大值为f ()2答案：D详解: 由于AB的长度为定值，只要考虑点C到直线AB的距离的变化趋势即可当x在区间0，a变化时，点C到直线AB的距离先是递增，然后递减，再递增，再递减，S (x)的图象先是在x轴上方，再到x轴下方，再回到x轴上方，再到x轴下方，并且函数在直线AB与函数图象的交点处间断，在这个间断点函数性质发生突然变化，所以选项D中的图象符合要求答案：D详解：当时，即，令，则函数在区间上为减函数，又在定
4、义域上是奇函数，函数在定义域上是偶函数，且，则在上的解集是函数是定义域上的奇函数，则的解集是答案：见详解详解:(1)略，（2）证明：由（1）知，所以=考虑函数=2（0），则=所以当时，0，而，故当（0，1）时，0，可得0；当（1，+）时，0，可得0从而当0，且时，答案：(1)f(x)的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为(1，)；(2)a0详解: (1)由于f (x)ex2axe，曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线斜率k2a0，所以a0，即f(x)exex此时f (x)exe，由f (x)0得x1当x(，1)时，有f (x)0所以f(x)的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为(1，)(
5、2)设点P(x0，f(x0)，曲线yf(x)在点P处的切线方程为yf (x0)(xx0)f(x0)，令g(x)f(x)f (x0)(xx0)f(x0)，故曲线yf(x)在点P处的切线与曲线只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点因为g(x0)0，且g (x)f (x)f (x0)exex02a(xx0)若a0，当xx0时，g (x)0，则xx0时，g(x)g(x0)0；当xx0时，g (x)0，则xx0时，g(x)g(x0)0故g(x)只有唯一零点xx0由于x0具有任意性，不符合P的唯一性，故a0不合题意若a0，令h(x)exex02a(xx0)，则h(x0)0，h (x)ex2a令h (
6、x)0，得xln(2a)，记x*ln(2a)，则当x(，x*)时，h (x)0，从而h(x)在(，x*)内单调递减；当x(x*，)时，h (x)0，从而h(x)在(x*，)内单调递增(i)若x0x*，由x(，x*)时，g (x)h(x)h(x*)0；x(x*，)时，g (x)h(x)h(x*)0知g(x)在R上单调递增所以函数g(x)在R上有且只有一个零点xx*(ii)若x0x*，由于h(x)在(x*，)内单调递增，且h(x0)0，则当x(x*，x0)时有g (x)h(x)h(x0)0，g(x)g(x0)0；任取x1(x*，x0)有g(x1)0又当x(，x1)时，易知g(x)exax2(ef
7、(x0)xf(x0)x0f (x0)ex1ax2(ef (x0)xf(x0)x0f (x0)ax2bxc，其中b(ef (x0)，cex1f(x0)x0f (x0)由于a0，则必存在x2x1，使得axbx2c0所以g(x2)0，故g(x)在(x2，x1)内存在零点即g(x)在R上至少有两个零点(iii)若x0x*，仿(ii)并利用ex，可证函数g(x)在R上至少有两个零点综上所述，当a0时，曲线yf(x)上存在唯一点P(ln(2a)，f(ln(2a)，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P 答案：(1)15x3y250；(2) m的取值范围是m|1m0，得f (x)，f(x)的变化情况如下表：x(，3m)3m(3m，m)m(m，)f (x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递增区间是(，3m)和(m，)要使f(x)在区间(2m1，m1)上单调递增，应有m13m或2m1m，解得m或m1又m0且m12m1，所以1m2即实数m的取值范围是m|1m2- 5 -
