1、【科学备考】（新课标）2015高考数学二轮复习 第四章 三角函数及三角恒等变换 解三角形 理（含2014试题）理数1. (2014大纲全国,11,5分)已知二面角-l-为60,AB,ABl,A为垂足,CD,Cl,ACD=135,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案 1.B解析 1.依题意作图,平移CD至AD,作AEl,且DEl,连结BE,BD,则DE面BAE,则EAB=60,DAE=45,设AB=1,AE=1,则BE=1,DE=1,DA=.在RtBED中,BD=.cosBAD=,即异面直线AB与CD所成角的余弦值为.故选B.2. (2014重庆,10,5分)已知ABC的
2、内角A,B,C满足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1S2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是()A.bc(b+c)8B.ab(a+b)16C.6abc12D.12abc24答案 2.A解析 2.设ABC的外接圆半径为R,由三角形内角和定理知A+C=-B,A+B=-C.于是sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+sin 2A+sin 2B=-sin 2C+sin 2A+sin 2B+sin 2C=2sin(A+B)cos(A-B)+2sin Ccos C=2sin Ccos(A-B)-cos(A+B)=4sin
3、Asin Bsin C=sin Asin Bsin C=.则S=absin C=2R2sin Asin Bsin C=R21,2,R2,2,abc=8R3sin Asin Bsin C=R38,16 ,知C、D均不正确,bc(b+c)bca=R38,A正确.事实上,注意到a、b、c的无序性,并且168,若B成立,A必然成立,排除B.故选A.3.(2014江西,4,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则ABC的面积是()A.3B.C.D.3答案 3.C解析 3.c2=(a-b)2+6,即c2=a2+b2-2ab+6.C=,由余弦定理得c2=a
4、2+b2-ab,由和得ab=6,SABC=absin C=6=,故选C.4.(2014课标全国卷,11,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案 4.C解析 4.解法一:取BC的中点Q,连结QN,AQ,易知BMQN,则ANQ即为所求,设BC=CA=CC1=2,则AQ=,AN=,QN=,cosANQ=,故选C.解法二:以C1为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设BC=CA=CC1=2,则A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2),=(-1,0
5、,-2),=(1,-1,-2),cos=,故选C.5.(2014课标全国卷,4,5分)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.5B.C.2D.1答案 5.B解析 5.SABC=ABBCsin B=1sin B=,sin B=,若B=45,则由余弦定理得AC=1,ABC为直角三角形,不符合题意,因此B=135,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=1+2-21=5,AC=.故选B.6.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，10）（原创）已知分别是的三边上的点，且满足，. 则（ ）（A） （B） （C） （D）答案 6. D解析 6. 因为，；又因为，可得
6、, 所以DEAC; ，则可得, 所以可得.7. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，9) 向边长分别为的三角形区域内随机投一点，则该点与三角形三个顶点距离都大于1的概率为（ ）AB. C. D. 答案 7. A解析 7. 设ABC的三边AB=5，BC=6，AC=. 根据余弦定理可得，又因为B（0，），所以. 所以ABC的面积为. 而在ABC的内部且离点A距离小于等于1的点构成的区域的面积为，同理可得在ABC的内部且离点B、C距离小于等于1的点构成的区域的面积分别为，所以在ABC内部，且与三角形三个顶点距离都大于1的平面区域的面积为，根据几何概型的概率计算公式
7、可得所求概率为.8.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 6) 已知，是椭圆两个焦点，P在椭圆上，且当时，的面积最大，则椭圆的标准方程为( )(A) (B) (C) （D）答案 8. A解析 8. 在中，由余弦定理可得：，反解得，又因为的面积为，因为当时面积最大，故的最大角为，所以可得a=2b，又因为c=3，所以可得，椭圆方程为.9.(2014湖北武汉高三2月调研测试，10) 如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB是O的直径，上底CD的端点在圆周上若双曲线以A，B为焦点，且过C，D两点，则当梯形ABCD的周长最大时，双曲线的实轴长为 答案 9
8、. D解析 9. 分别过点作的垂线，垂足分别为，连结, 设,则, 等腰梯形的周长,令则，所以， ，所以，当即 ， ,此时， ,因为为双曲线的焦点，点在双曲线上，所以实轴长. 故选D.10. (2014四川,13,5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67,30,此时气球的高是46 m,则河流的宽度BC约等于_m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 670.92,cos 670.39,sin 370.60,cos 370.80,1.73)答案 10.60解析 10.不妨设气球A在地面的投影为点D,则AD=46,于是BD=ADtan(90-67)=46=19.
9、5,DC=ADtan(90-30)=4679.6,BC=DC-BD=79.6-19.560(m).11. (2014广东,12,5分)在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则=_.答案 11.2解析 11.利用余弦定理,将bcos C+ccos B=2b转化为b+c=2b,化简得=2.12. (2014福建,12,4分)在ABC中,A=60,AC=4,BC=2,则ABC的面积等于_.答案 12.2解析 12.由=,得sin B=sin A=1,B=90,故C=30,SABC=ACBCsin C=42=2.13.(2014江苏,14,5分)若A
10、BC的内角满足sin A+sin B=2sin C,则cos C的最小值是_.答案 13.解析 13.sin A+sin B=2sin C,由正弦定理得a+b=2c,cos C=,当且仅当a=b时等号成立,故cos C的最小值为.14.(2014天津,12,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为_.答案 14.-解析 14.由2sin B=3sin C得2b=3c,即b=c,代入b-c=a,整理得a=2c,故cos A=-.15.(2014课表全国，16，5分)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,
11、a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则ABC面积的最大值为_.答案 15.解析 15.因为a=2,所以(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C可化为(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cos A=,又0A,故A=,又cos A=,所以bc4,当且仅当b=c时取等号,由三角形面积公式知SABC=bcsin A=bc=bc,故ABC面积的最大值为.16. (2014安徽合肥高三第二次质量检测，15) 中，角所对的边分别为，下列命题正确
12、的是_（写出正确命题的编号）. 总存在某内角，使若，则存在某钝角，有；若，则的最小角小于； 若，则.答案 16. 解析 16. 在中，当时，所以正确；当时，满足，不满足，故错误；设为钝角，则，所以，故错误；因为，所以，所以，由于与是一组基底，所以，所以，由余弦定理求得，故正确；若，则，正确，因为在三角形中大边所对的角较大.故正确的是 .17. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，16) 在中，内角所对的边长分别为，已知角为锐角, 且 ，则实数范围为_. 答案 17.解析 17. 因为，由正弦定理，所以，即，又角为锐角，所以，所以，所以，即，解得或，故的取值范围是.18.(2014
13、吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，13) 在中，三个内角，所对的边分别为，若, 则= .答案 18. 解析 18. 由正弦定理，所以，即，19. (2014周宁、政和一中第四次联考，13) 在中，角所对的边分别为. 若，则 .答案 19. 1解析 19. 由及正弦定理得，.20.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 13) 在平面四边形中，已知，点分别在边上，且，若向量与的夹角为，则的值为 答案 20. 7解析 20. 如图所示，设直线与相交于，由题意知，令，则由，可得，故为等边三角形，在中，由余弦定理求得，21.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 9) 在中，已知，且的面积为，则边长为
14、 答案 21. 7解析 21. ，由余弦定理得，.22. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 15) 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为. ，则此球的表面积等于_. 答案 22. 解析 22. 三棱柱的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，解得，根据余弦定理得，设外接圆的半径为，则，外接球的半径为，球的表面积为.23. (2014大纲全国,17,10分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B.答案 23.查看解析解析 23.由题设和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A.故3tan
15、 Acos C=2sin C,因为tan A=,所以cos C=2sin C,tan C=.(6分)所以tan B=tan180-(A+C)=-tan(A+C)=(8分)=-1,即B=135.(10分)24. (2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.()求cosCAD的值;()若cosBAD=-,sinCBA=,求BC的长.答案 24.查看解析解析 24.()在ADC中,由余弦定理,得cosCAD=.()设BAC=,则=BAD-CAD.因为cosCAD=,cosBAD=-,所以sinCAD=,sinBAD=.于是sin =sin(BAD-CAD)
16、=sinBADcosCAD-cosBADsinCAD=-=.在ABC中,由正弦定理,得=,故BC=3.25. (2014陕西,16,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.()若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);()若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.答案 25.查看解析解析 25.()a,b,c成等差数列,a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.sin B=sin-(A+C)=sin(A+C),sin A+sin C=2sin(A+C).()a,b,c成等比数列,b2=ac.由余弦定理得cos B=,当且
17、仅当a=c时等号成立.cos B的最小值为.26.(2014安徽,16,12分)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.()求a的值;()求sin的值.答案 26.查看解析解析 26.()因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.由正、余弦定理得a=2b.因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.()由余弦定理得cos A=-.由于0A,所以sin A=.故sin=sin Acos+cos Asin=+=.27.(2014浙江,18,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ab,c=,cos2A-cos
18、2B=sin Acos A-sin Bcos B.()求角C的大小;()若sin A=,求ABC的面积.答案 27.查看解析解析 27.()由题意得-=sin 2A-sin 2B,即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B,sin=sin.由ab,得AB,又A+B(0,),得2A-+2B-=,即A+B=,所以C=.()由c=,sin A=,=,得a=,由ac,得Ac.已知=2,cos B=,b=3.求:()a和c的值;()cos(B-C)的值.答案 28.查看解析解析 28.()由=2得cacos B=2,又cos B=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos
19、 B.又b=3,所以a2+c2=9+22=13.解得a=2,c=3或a=3,c=2.因ac,所以a=3,c=2.()在ABC中,sin B=,由正弦定理,得sin C=sin B=.因a=bc,所以C为锐角,因此cos C=.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=+=.29.(2014北京,15,13分)如图,在ABC中,B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cosADC=.()求sinBAD;()求BD,AC的长.答案 29.查看解析解析 29.()在ADC中,因为cosADC=,所以sinADC=.所以sinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcos
20、 B-cosADCsin B=-=.()在ABD中,由正弦定理得BD=3.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=82+52-285=49.所以AC=7.30.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，20）（原创）在中，内角、的对边分别是、，且。(1) 求角的大小；(2) 设，求的面积。答案 30.查看解析解析 30. (1) 由正弦定理可得，即，故由余弦定理得，因此； (2) 因，故，得，且。故，得，故。31. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，17) 已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，ccosA，sinBcos
21、C(1) 求tanC的值；(2) 若a，求ABC的面积答案 31.查看解析解析 31. (1) cosA sinA，2分又cosCsinBsin(AC) sinAcosCsinCcosAcosCsinC 5分整理得：tanC 6分(2) 由（1）知sinC，cosC由正弦定理知：，故 9分又sinBcosC= 10分ABC的面积为：S= 12分32. (2014山西太原高三模拟考试（一），17) 已知ABC三个内角A，B，C的对边分别为, 面积为S， （I）求角A的值； （）若= , 求S+cosBcosC取最大值时S的值.答案 32.查看解析解析 32.33. (2014山东青岛高三第一次模
22、拟考试, 16) 已知向量，. （）求函数的单调递减区间；（）在中, 分别是角的对边, , ,若，求的大小.答案 33.查看解析解析 33.（），所以递减区间是. （5分）（）由和得: ,若，而又, 所以因为，所以若，同理可得：，显然不符合题意，舍去. （9分）所以，由正弦定理得: . （12分）34. (2014福州高中毕业班质量检测, 17) 已知函数. （）当时，求函数的单调递增区间；（）设的内角的对应边分别为，且若向量与向量共线，求的值.答案 34.查看解析解析 34.（）=，令，解得即，, 的递增区间为. （6分）（）由, 得而, 所以，所以得，因为向量与向量共线，所以，由正弦定理得
23、: （10分）由余弦定理得: ，即由解得. （13分）35. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），17) 如图，是海平面上的两个小岛，为测量两岛间的距离，测量船以15海里/小时的速度沿既定直线航行，在时刻航行到处，测得，1小时后，测量船到达处，测得，求两小岛间的距离. (注：四点共面) 答案 35.查看解析解析 35.由已知得，在，由正弦定理得，；（4分），在，由正弦定理得，；（8分）在，由余弦定理得：，故两小岛间的距离为海里. （12分）36.(2014湖北黄冈高三4月模拟考试，17) 在中，角所对的边分别为，且，（）求角；（）若，的面积，求及边的值.答案 36.查看解析解
24、析 36.（），即，舍，又， （6分）（2），即，（9分）又，由正弦定理得：，即. （12分）37. (2014河北唐山高三第一次模拟考试，17) 在中，角、的对边分别为，且. （）求的值； （）若成等差数列，且公差大于0，求的值.答案 37.查看解析解析 37.（）由，根据正弦定理得，所以.（4分）（）由已知和正弦定理以及（）得.设，22，得.（7分）又，所以090，故.（10分）代入式得.因此.（12分）38. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 17) 已知向量 , , 函数. （）求函数的最小正周期；（）已知分别为内角、的对边，其中为锐角，, 且求的面积.答案 38.查看解析解析
25、38.解：（），因为，所以. （6分）（），因为，所以，则，所以，即，则，从而. (12分）39. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试，16) 已知函数，且函数的最小正周期为. () 求函数的解析式；() 在中，角所对的边分别为, ，若，且，试求的值.答案 39.查看解析解析 39.解： () 因为，由，所以，所以. （5分)() 由 () ，所以，所以，解得，由于为的内角，所以，又，所以，即，又，由余弦定理得：. （12分）40. （2014广东汕头普通高考模拟考试试题，16）设，函数，且函数图像的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为. () 为求函数的解析式；() 在锐角三角
26、形中，角的对边分别为, 且满足，. 求边的长.答案 40.查看解析解析 40.() ，又因为，所以，所以. （6分）() 由() 得，所以，因为，所以，所以，（8分）所以，由正弦定理得. （12分）41. (2014广东广州高三调研测试，16) 在中，角，所对的边分别为，且. () 求的值；() 若，求的值.答案 41.查看解析解析 41.解：() 在中，.所以.所以. （7分）() 因为，由余弦定理，得.解得. （12分）42. (2014北京东城高三第二学期教学检测，15) 设的内角所对的边长分别为，且. （）求的值；（）求的最大值.答案 42.查看解析解析 42.（）在中，由正弦定理及可
27、得即，则. （6分）（）由() 得，当且仅当，即时，等号成立，故当时，的最大值为. （13分）43.（2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，17）已知函数.() 求函数f(x) 的单调递减区间；() 若ABC的三边满足，且边所对角为，试求的取值范围，并确定此时的取值范围答案 43.查看解析解析 43. () ，所以，所以函数的单调递减区间为. （6分）() 由余弦定理，所以，而，所以，所以. (13分)44.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，16）已知函数 (I) 求函数在上的单调递增区间； () 在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知m=(a，b) ，n=(f
28、(C), 1) 且m/n，求B答案 44.查看解析解析 44.45.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，16）已知函数 （1）求函数的值域；（2）已知锐角ABC的两边长分别为函数的最大值与最小值，且ABC的外接圆半径为，求ABC的面积答案 45.查看解析解析 45. 10分 12分46.(2014广西桂林中学高三2月月考，17) 在中，角，的对边分别为，已知（）求；（）若，的面为2，求答案 46.查看解析解析 46. 因为，所以，所以.由，得，即，由余弦定理，则，即，所以，所以. （10分）47.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，17）已知向量，函数（）求函
29、数的最小正周期；（）在中，分别是角的对边，且，且，求的值答案 47.查看解析解析 47.48. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测，19) 设，函数满足. （）求的单调递减区间；（）设锐角的内角、所对的边分别为、，且， 求的取值范围.答案 48.查看解析解析 48.解：（I）2分由得：， 4分5分由得：，的单调递减区间为：7分（II），由余弦定理得：，8分即，由正弦定理得：， ，11分锐角三角形， 12分的取值范围为. 13分49.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 17) 在ABC中，a, b, c分别为角A，B，C所对的边，且 (I) 求角A的大
30、小； () 若ABC的面积为3，求a的值答案 49.查看解析解析 49.50.(2014湖北武汉高三2月调研测试，17) 在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知sin(AB) cosC（）若a3，b，求c；（）求的取值范围答案 50.查看解析解析 50.解：（）由sin(AB) cosC，得sin(AB) sin(C) ABC是锐角三角形，ABC，即ABC = 又ABC， 由，得B由余弦定理b2c2a22cacosB，得( 2c2(3) 22c3cos即c26c80，解得c2，或c4当c2时，b2c2a2( 222(3) 240，b2c2a2，此时A为钝角，与已知矛盾，c2故c
31、46分故的取值范围为(1，1) 12分51.(2014湖北八市高三下学期3月联考，17) 己知函数在处取最小值（I）求的值。 （II）在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，已知a=l，b=，求角C答案 51.查看解析解析 51. （）=3分因为在处取得最小值，所以，故，又 所以6分（）由（1）知，因为，且A为内角，所以由正弦定理得，所以或. 9分当时，当时.综上， 12分52.(2014周宁、政和一中第四次联考，19) 直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为米，过点的一条直线与走廊的外侧两边交予、两点，且与走廊的一边的夹角为. （）将线段的长度表示为的函数； （）一根长度为5米
32、的铁棒能否水平（即铁棒与地面平行）通过该直角走廊？并说明理由. （铁棒的粗细忽略不计）答案 52.查看解析解析 52. 解析 由题意知，其中，设 （5分），又，函数在上是增函数，则的最大值，的最小值为，长度为5的铁棒能水平通过该直角走廊. （12分）53. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 17) 设的内角所对的边是，且 （） 求； （）求的值.答案 53.查看解析解析 53. 解析 （）由正弦定理得， 由可得，又，. （5分） （）由余弦定理得，. （10分）54. (2014天津七校高三联考, 16) 在中，已知，. () 求的值； () 若为的中点，求的长.答案 54.查看解
33、析解析 54. 解：（）且， （6分）（）由（）可得由正弦定理得，即，解得 （10分）在中， ，所以（13分）55. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 17) 如图中，已知点在边上，满足，. （）求的长；（）求.答案 55.查看解析解析 55. （） 因为，所以,即，在中，由余弦定理可知，即，解之得或由于，所以 （7分） （） 在中，由正弦定理可知，又由可知，所以,因为,所以 （12分）56. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 17) 已知圆O的半径为R(R为常数), 它的内接三角形ABC满足成立, 其中分别为的对边,求三角形面积的最大值.答案 56.查看解析解析
34、56.: 由,由正弦定理得代入得, 由余弦定理（6分）所以=，当且仅当时, （12分）57. (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，16) 已知向量，设函数. （）求函数的最小正周期； （）在中，角、所对的边分别为、，且，求的大小.答案 57.查看解析解析 57. 解析 （），又，. （5分） （）， （8分)由正弦定理，可得，即，又，由题意知识锐角，. (12分）58. （2014陕西宝鸡高三质量检测(一)，17 ）在中，角所对的边分别为，且 （）求的值； （）求三角函数式的取值范围.答案 58.查看解析解析 58. () ，且，由正弦定理得，又，又，. （6分）（）原式 ， ，即三角函
35、数式的取值范围为. （12分）59.(2014广州高三调研测试, 16) 在中，角，所对的边分别为，且（）求的值；（）若，求的值答案 59.查看解析解析 59.解析 （）在中，所以 （4分）所以. （6分） （）因为，由余弦定理， （9分）得解得 （12分）60. (2014兰州高三第一次诊断考试, 17) 已知的三内角、所对的边分别是，向量，且. （）求角的大小； （）若，求的范围.答案 60.查看解析解析 60. 解析 （） ，且.，即，而，故. （6分）（）由余弦定理，得 ， 当且仅当时，取等号.， ，又， . （12分）61. (2014湖北黄冈高三期末考试)设向量，函数（1）求函数的最小正周期；（2）在锐角中，角、所对的边分别为、，求的值.答案 61.查看解析解析 61.（1）,所以，函数的. (5分)（2）,，,62. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 在ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且，. （）求sinB的值；（）若，求ABC的面积.答案 62.查看解析解析 62.解：（）因为， 所以cosA=，（2分）由已知得，所以sinB=sin=. （5分）（）由（）知，所以sinC=，由正弦定理得，（8分）又因为，所以，a=， （10分）所以. （12分）39
