1、【科学备考】（新课标）2015高考数学二轮复习 第八章 立体几何 点、线、面的位置关系 理（含2014试题）理数1. (2014大纲全国,11,5分)已知二面角-l-为60,AB,ABl,A为垂足,CD,Cl,ACD=135,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案 1.B解析 1.依题意作图,平移CD至AD,作AEl,且DEl,连结BE,BD,则DE面BAE,则EAB=60,DAE=45,设AB=1,AE=1,则BE=1,DE=1,DA=.在RtBED中,BD=.cosBAD=,即异面直线AB与CD所成角的余弦值为.故选B.2. (2014广东,7,5分)若空间中四条两两
2、不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是()A.l1l4B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案 2.D解析 2.由l1l2,l2l3可知l1与l3的位置不确定,若l1l3,则结合l3l4,得l1l4,所以排除选项B、C,若l1l3,则结合l3l4,知l1与l4可能不垂直,所以排除选项A.故选D.3.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,表示平面.下列说法正确的是()A.若m,n,则mnB.若m,n,则mnC.若m,mn,则nD.若m,mn,则n答案 3.B解析 3.A选项m、n也可以相交或异
3、面,C选项也可以n,D选项也可以n或n与斜交.根据线面垂直的性质可知选B.4.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，6）已知一个四面体的一条棱长为，其余棱长均为2，则这个四面体的体积为（ ）（A）1 （B） （C） （D）3答案 4. A解析 4. 取边长为的边的中点, 并与其对棱的两个端点连接,5.(2014山东青岛高三第一次模拟考试, 5) 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A若则B若则C若则D若则答案 5. D解析 5.A选项不正确，因为是可能的；B选项不正确，因为，时，都是可能的；C选项不正确，因为，时，可能有；D选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其
4、是正确的故选D6. (2014安徽合肥高三第二次质量检测，9) 已知正方体中，线段上（不包括端点）各有一点，且，下列说法中，不正确的是（ ）四点共面B. 直线与平面所成的角为定值C. D. 设二面角的大小为，则的最小值为答案 6. D解析 6.正方体中，线段，上（不包含端点）各有一点、，且，如图，当连线与平行时，、四点共面，所以错误；直线与平面所成的角为定制，显然不正确，在平面的射影是，点如果是定点，直线与平面所成的角是变值，所以不正确；当点在的中点时，不妨设棱长为2，所以是钝角，所以不正确，故错误；对于选项，作于，过作于，令，则最小值时最大，此时点在，所以选项正确.故选D.7. (2014广
5、西桂林中学高三2月月考，4) 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面下列命题中正确的是( ) (A) (B) (C) (D) 答案 7. D解析 7. 若，则平面与垂直或相交或平行，故（A) 错误；若，则直线与相交或平行或异面，故（B) 错误；若，则直线与平面垂直或相交或平行，故（C) 错误；若，则直线，故（D) 正确. 选D.8. (2014周宁、政和一中第四次联考，7) 设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题：若，且则； 若，且. 则；若，则；若且, 则.其中正确命题的个数是 （ ）A1 B2 C3 D4答案 8. B解析 8. 正确；直线或，错误；错误，因为正方体有公共端点
6、的三条棱两两垂直；正确. 故真正确的是，共2个.9. (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，5) 已知，是两条不同的直线，为平面，则下列命题正确的是： (A) 若，则 (B) 若，则 (C) 若，则 (D) 若与相交，与相交，则，一定不相交（ ）答案 9. C解析 9. 对(A) 直线、还可能相交或异面；故 (A) 是假命题；对 (B) 垂直于同一个平面的两条直线平行，故 (B) 时假命题；对 (C) 真命题；对 (D) 直线、可能相交、平行或异面.故真命题是(C).10. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 7) 已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一
7、定能推出的是（ ）A. 且 B. 且 C. 且 D. 且答案 10. C解析 10. 对选项A，与平行或相交；对选项B，与平行或相交；选项C正确；选项D，与平行或相交. 故选C.11. (2014兰州高三第一次诊断考试, 6) 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列命题：若；若；如果相交；若其中正确的命题是 （ ）ABCD答案 11. D解析 11. 由平面与平面垂直的判定定理知，是真命题；当直线，平行时，与不一定平行，是假命题；直线与平面可能平行，假命题；真命题. 故正确的命题是.12.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，13）如图, 正四棱锥中， 是边的中点
8、，动点在四棱锥的表面上运动，且总保持，点的轨迹所围成的图形的面积为, 若以的方向为主视方向，则四棱锥的主视图的面积是 .答案 12. 4解析 12. 由题意可得点P在过点E且与直线AC垂直的平面上，取线段PC、CD的中点分别为F、G，并设GE与AC交于点H. 易得直线AC平面EFG，所以点P的轨迹即为EFG，因为AB=2，所以GE=，点的轨迹所围成的图形的面积为，所以可得FH=2，根据勾股定理可得GF=，所以四棱锥的侧棱长为. 所以四棱锥的主视图是以腰长为底边长为2的等腰三角形，其面积为4.13.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，15）如图，已知球是棱长为的正方体的内切球，则平面截球的
9、截面面积为 . 答案 13. 解析 13. 设截面圆的半径为r. 球心即为正方体的中心，且球O的半径为. 由正方体的性质可知，点O到平面ACD1的距离为，则，解得，所以截面圆的面积为.14. (2014陕西宝鸡高三质量检测(一), 7) 关于直线及平面，下列命题中正确的是（ ） A . 若 ，则 B. 若 ，则C. 若 ，则 D. 若 ，则答案 14. C解析 14. 对A，直线可能平行、相交或异面；对B，因为直线不一定在平面内，直线可能为异面直线，则B错误；对C，直线与平面垂直，需直线与平面内的两条相交直线垂直，则C正确；对D，同平行于一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，则D错误.15.
10、（2014重庆一中高三下学期第一次月考，19）（原创）如图，在四面体中，平面，。是的中点，是的中点，点在线段上，且。(1) 证明: 平面；(2) 若异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求的值。答案 15.查看解析解析 15. 法一：(1) 如图，连并延长交于，连，过作交于，则，。故，从而。因平面，平面，故平面；(2) 过作于，作于，连。因平面，故平面平面，故平面，因此，从而平面，所以即为二面角的平面角。因，故，因此即为的角平分线。由易知，故，从而，。由题易知平面，故。由题，故。所以，从而。法二：如图建立空间直角坐标系，则，。 (1) 设，则，因此。显然是平面的一个法向量，且，所以平面；(2)
11、 由(1) ，故由得，因此，从而，。设是平面的法向量，则，取得。设是平面的法向量，则，取得。故。16. (2014山西太原高三模拟考试（一），19) 如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，点O是A1C1的中点，AO平面A1B1C1. 已知BCA=90，AA1=AC=BC=2. （I）求证：AB1 AlC；（）求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值. 答案 16.查看解析解析 16.17. (2014福州高中毕业班质量检测, 18) 如图，直角梯形中，=4，点、分别是、的中点，点在上，沿将梯形翻折，使平面平面（）当最小时，求证：；（）当时，求二面角平面角的余弦值.答案 17.查看解析解析 17
12、.() 证明：点、分别是、的中点, ，又，平面平面，平面， 又，如图建立空间坐标系翻折前, 连结交于点，此时点使得最小., 又则，. （5分）() 解法一：设,平面, 点到平面的距离为即为点到平面的距离.，=，又=, =,即，（8分）设平面的法向量为, G(0,1, 0),(2,2, 2),则 , 即取, 则, , ，平面BCG的一个法向量为，则cos =，由于所求二面角的平面角为锐角,所以此二面角平面角的余弦值为. （13分）() 解法二: 由解法一得, 过点D作, 垂足, 过点作延长线的垂线垂足，连接. 平面平面, 平面，,所以就是所求的二面角的平面角. （9分）由于, 在中,又，在中，所
13、以此二面角平面角的余弦值为. （13分）18. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），19) 如图，在三棱锥中，面，且，为的中点，在上，且. （）求证：；（）求二面角的余弦值.答案 18.查看解析解析 18.（）不妨设，又，在中，则=，所以, 又, ,且也为等腰三角形.（法一）取中点，连接、，面，所以平面，又平面，. （6分）（法二），则，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，可得，, , 则，所以. （6分）（）同（）法二建立空间直角坐标系，可知，面的法向量可取为，（8分）设面的法向量为，则，即，可取，=，故二面角的余弦值为. （12分）19. (20
14、14山东实验中学高三第一次模拟考试，18) 如图，已知正三棱柱各棱长都为, 为线段上的动点. () 试确定；() 若的大小；答案 19.查看解析解析 19.解：以原点，为轴，过点与垂直的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，则，设，() 由得，解得，即为的中点.所以时，. （5分）() 当时，点的坐标为，取，则，所以是平面的一个法向量，又平面的一个法向量，（8分）所以，所以二面角的大小事. （12分）20.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，19）如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，底面是菱形，, 点P在底面上的射影为ACD的重心，点M为线段上的点（1）当点M为
15、PB的中点时，求证：PD/平面ACM；（2）当平面CDM与平面CBM夹角的余弦值为时，试确定点M的位置答案 20.查看解析解析 20. （1）设AC、BD的交点为I，连结MI，因为I、M分别为BD、BP的中点，所以PD/MI，又MI在平面ACM内，所以PD/平面ACM； 4分（2）设CD的中点为O，分别以OA、OC为x轴、y轴，过O点垂直平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，则, ，6分设，则,，设平面CBM的法向量为，则且，令则 10分所以21.(2014湖北武汉高三2月调研测试，) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5（）求直线B1C1与平面A1BC1所成角的正弦值；（）在线段BC1上确定一点D，使得ADA1B，并求的值答案 21.查看解析解析 21.解：（）AA1C1C为正方形，AA1AC平面ABC平面AA1C1C，AA1平面ABC，AA1AC，AA1AB由已知AB3，BC5，AC4，ABAC如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，则B(0，3，0) ，A1(0，0，4) ，B1(0，3，4) ，C1(4，0，4) ，19
