1、【科学备考】（新课标）2015高考数学二轮复习 第六章 数列 数列的概念及表示 理（含2014试题）理数1. (2014大纲全国,10,5分)等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lg an的前8项和等于()A.6B.5C.4D.3答案 1.C解析 1.由题意知a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10,数列lg an的前8项和等于lg a1+lg a2+lg a8=lg(a1a2a8)=lg(a4a5)4=4lg(a4a5)=4lg 10=4.故选C.2. (2014安徽合肥高三第二次质量检测，6) 数列满足，其前项积为，则=（ ）A. B. C. D. 答案 2. D解析 2.因为，
2、所以，所以，所以数列的周期为4，又，所以. 3. (2014河北唐山高三第一次模拟考试，12) 各项均为正数的数列 , 满足：，那么（ ）A. B. C. D. 答案 3. B解析 3. 易知数列比增加的要快，当时，恒成立，所以选B.4.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，3）已知数列满足，若，则（ ）A1B2 C3 D答案 4. C解析 4. ，解得，所以.5.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，10），数列的前项和为，数列的通项公式为，则的最小值为（ ）A 答案 5. B解析 5. ，所以，所以可得，所以（当且仅当n=2时等号成立）.6. (2014河南郑州高中
3、毕业班第一次质量预测, 12) 已知数列的通项公式为，其前n项和为，则在数列、中，有理数项的项数为（ ） A. 42 B. 43 C. 44 D. 45答案 6. B解析 6. ，令，则，由，得，解得，的个数为43个，即中，有理项的项数为43.7. (2014兰州高三第一次诊断考试, 11) 如图，矩形的一边在轴上，另外两个顶点，在函数的图象上，若点的坐标，记矩形的周长，则（ ） A208 B. 216 C. 212 D. 220答案 7. B解析 7. 点的坐标为，顶点、在函数的图象上，依题意，又，数列数首项为4，公差为4的等差数列，.8. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二
4、中四校高三第三次联考，16) 若数列与满足，且, 设数列的前项和为，则= . 答案 8. 560解析 8. ，由此可得：当n为偶数时有，也即、，累加得；是即也即是；当n为奇数时，也即、，累加得；得，得，将、代入得；又因为、两式相减得、同理可得，所以可得数列为以2为公差以2为首项的等差数列，所以可得，代入得，所以=+.9. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），16) 定义表示实数中的较大的. 已知数列满足，若 记数列的前项和为，则的值为_. 答案 9. 5235解析 9. 当时，数列为：，周期为5；所以, 故. 5235.当时，数列为：，周期也是5.，所以（舍）. .10.（2
5、014江西红色六校高三第二次联考理数试题，14）设等差数列满足：，公差. 若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是 .答案 10. 解析 10. ，所以可得，又因为，所以可得. 因为当且仅当时，数列的前项和取得最大值，所以可得，解得.11. (2014广西桂林中学高三2月月考，15) 数列的通项公式，其前项和为，则= 答案 11.解析 11. 因为，所以当为奇数时，；当是偶数时，所以.12.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 16) 对于各项均为整数的数列，如果为完全平方数，则称数列具有“P性质” ，不论数列是否具有“P性质” ，知果存在与
6、不是同一数列的，且同时满足下面两个条件：是的一个排列；数列具有“P性质” ，则称数列具有“变换P性质” ，下面三个数列：数列的前n项和为；数列1，2，3，4，5；数列1，2，3，11. 其中具有“P性质” 或“变换P性质” 的有_（填序号）答案 12. 解析 12. 当时, 可得, 两式相减得, 所以具有” P性质”; 因为数列3,2, 1,5, 4具有: 3+1=22、2+2=22、1+3=22、5+4=32、4+5=32具有“P性质” 所以数列1，2，3，4，5具有“变换P性质” ；11+5才是一个平方数，而4加111内的5才能是一个平方数，两者矛盾，故数列1，2，3，11不具有“变换P性
7、质”.13.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，16) 已知数列中, , , ,则= .答案 13. 解析 13. ，所以=14. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），15) 对于实数，将满足“且为整数” 的实数称为实数的小数部分，用符号表示. 已知无穷数列满足如下条件: ；. () 若时, 数列通项公式为 ；() 当时, 对任意都有, 则的值为 .答案 14. () ；() 或解析 14. () 由，则，.() 当，即时，解得或舍去；当，即时，解得或舍去.综上所述，的值为或 .15. (2014陕西宝鸡高三质量检测(一), 5) 已知一次函数的图像经过点和，令 ，记数列的前
8、项和为，当时，的值等于（ ） A . B. C. D. 答案 15. A解析 15. 一次函数的图像经过点和，则，解得，.16. (2014大纲全国,18,12分)等差数列an的前n项和为Sn.已知a1=10,a2为整数,且SnS4.()求an的通项公式;()设bn=,求数列bn的前n项和Tn.答案 16.查看解析解析 16.()由a1=10,a2为整数知,等差数列an的公差d为整数.又SnS4,故a40,a50,于是10+3d0,10+4d0.解得-d-.因此d=-3.数列an的通项公式为an=13-3n.(6分)()bn=.(8分)于是Tn=b1+b2+bn=.(12分)17. (2014
9、重庆,22,12分)设a1=1,an+1=+b(nN*).()若b=1,求a2,a3及数列an的通项公式;()若b=-1,问:是否存在实数c使得a2nca2n+1对所有nN*成立?证明你的结论.答案 17.查看解析解析 17.()解法一:a2=2,a3=+1.再由题设条件知(an+1-1)2=(an-1)2+1.从而(an-1)2是首项为0,公差为1的等差数列,故(an-1)2=n-1,即an=+1(nN*).解法二:a2=2,a3=+1,可写为a1=+1,a2=+1,a3=+1.因此猜想an=+1.下用数学归纳法证明上式:当n=1时结论显然成立.假设n=k时结论成立,即ak=+1,则ak+1
10、=+1=+1=+1.这就是说,当n=k+1时结论成立.所以an=+1(nN*).()解法一:设f(x)=-1,则an+1=f(an).令c=f(c),即c=-1,解得c=.下用数学归纳法证明加强命题a2nca2n+11.当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(0)=-1,所以a2a31,结论成立.假设n=k时结论成立,即a2kca2k+1f(a2k+1)f(1)=a2,即1ca2k+2a2.再由f(x)在(-,1上为减函数得c=f(c)f(a2k+2)f(a2)=a31.故ca2k+31,因此a2(k+1)ca2(k+1)+11.这就是说,当n=k+1时结论成立.综上,符合条件的c存在,其中
11、一个值为c=.解法二:设f(x)=-1,则an+1=f(an).先证:0an1(nN*).当n=1时,结论明显成立.假设n=k时结论成立,即0ak1.易知f(x)在(-,1上为减函数,从而0=f(1)f(ak)f(0)=-11.即0ak+11.这就是说,当n=k+1时结论成立.故成立.再证:a2na2n+1(nN*).当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(a2)=f(0)=-1,有a2a3,即n=1时成立.假设n=k时,结论成立,即a2kf(a2k+1)=a2k+2,a2(k+1)=f(a2k+1)f(a2k+2)=a2(k+1)+1.这就是说,当n=k+1时成立.所以对一切nN*成立.由
12、得a2n-1,即(a2n+1)2-2a2n+2,因此a2nf(a2n+1),即a2n+1a2n+2,所以a2n+1-1,解得a2n+1.综上,由、知存在c=使a2nc60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.答案 21.查看解析解析 21.()设数列an的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)4=4n-2,从而得数列an的通项公式为an=2或an=4n-2.()当an=2时,Sn=2n.显然2n60n+800成立.当an=4n-2时,Sn
13、=2n2.令2n260n+800,即n2-30n-4000,解得n40或n60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.22. (2014湖南,20,12分)已知数列an满足a1=1,|an+1-an|=pn,nN*.()若an是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求p的值;()若p=,且a2n-1是递增数列,a2n是递减数列,求数列an的通项公式.答案 22.查看解析解析 22.()因为an是递增数列,所以|an+1-an|=an+1-an=pn.而a1=1,因此a2=p+1,a3=p2+p+1.又
14、a1,2a2,3a3成等差数列,所以4a2=a1+3a3,因而3p2-p=0,解得p=或p=0.当p=0时,an+1=an,这与an是递增数列矛盾.故p=.()由于a2n-1是递增数列,因而a2n+1-a2n-10,于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)0.但,所以|a2n+1-a2n|0,因此a2n-a2n-1=.因为a2n是递减数列,同理可得,a2n+1-a2n0,c30,c40;当n5时,cn=,而-=0,得1,所以,当n5时,cn0.综上,对任意nN*,恒有S4Sn,故k=4.24.(2014山东,19,12分)已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4
15、成等比数列.()求数列an的通项公式;()令bn=(-1)n-1,求数列bn的前n项和Tn.答案 24.查看解析解析 24.()因为S1=a1,S2=2a1+2=2a1+2,S4=4a1+2=4a1+12,由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以an=2n-1.()bn=(-1)n-1=(-1)n-1=(-1)n-1.当n为偶数时,Tn=-+-=1-=.当n为奇数时,Tn=-+-+=1+=.所以Tn=25.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，22）（原创）在数列中，已知，其前项和满足。(1) 求的值；(2) 求的表达式；(3) 对于任意的正整数，求证：。答案 25
16、.查看解析解析 25. (1) 依次令可得，； (2) 法一：由猜想，下面用数学归纳法证明：当时结论显然成立；假设时结论成立，即，则，故当时结论成立。综上知结论成立。 法二：猜想，下面用第二数学归纳法证明：当时结论显然成立；假设时结论成立，即，则，故当时结论成立。综上知结论成立。 法三：由题，当时，故，因此。又，故。(3) 法一：由(2) 知为等差数列，故。由知一定时，要使最小，则最大。显然，故，因此，从而。 法二：因为，所以，故，因此，从而，即。法三：(i) 当时不等式显然成立；(ii) 假设时不等式成立，即，则如“法二” 可证，故，即当时不等式成立。综上得证。26.(2014天津蓟县第二中
17、学高三第一次模拟考试，20) 已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且 （1）求数列的通项公式； （2）的值.答案 26.查看解析解析 26.（1）当n = 1时，解出a1 = 3,又4Sn = an2 + 2an3 当时 4sn1 = + 2an-13 , 即， ,（），是以3为首项，2为公差的等差数列， 6分 （2）又 = 12分27. (2014山东青岛高三第一次模拟考试, 19) 在数列中，其前项和为，满足. （）求数列的通项公式;（）设（为正整数）, 求数列的前项和.答案 27.查看解析解析 27.() 由题设得: , 所以所以，当时，, 数列是为首项、公差为的等差数列故. （5
18、分）（）由() 知: ，（9分）设则两式相减得：整理得：，所以. （12分）28. (2014安徽合肥高三第二次质量检测，20) 已知函数，方程的解从小到大组成数列. （）求，； （）求数列的通项公式.答案 28.查看解析解析 28. （I）当时，由，所以，即，当时 ，则，由得，所以，即. （5分）（），当时，由，得，因为，所以，即关于的方程在内有且仅有一个实数根，所以关于的方程在上所有实数根从小到大构成数列，所以. (13分）29. (2014重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，17) 已知等差数列中，；是与的等比中项（）求数列的通项公式：（）若求数列的前项和答案 29.查看解析解析 29.
19、（）因为数列是等差数列，是与的等比中项所以，又因为，设公差为，则，所以，解得或，当时, ，；当时，.所以或. （6分)（）因为，所以，所以，所以，所以两式相减得，所以. （13分）30.(2014湖北黄冈高三4月模拟考试，18) 已知数列的前项和，等差数列中，且公差.（）求数列、的通项公式；（）是否存在正整数，使得 若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.答案 30.查看解析解析 30.（）时，相减得：，又，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，.又，. （6分）（）令得：，即，当，当。的最小正整数为4. （12分）31. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试，19) 已知点的图象上一点
20、，等比数列的首项为，且前项和() 求数列和的通项公式；() 若数列的前项和为，问的最小正整数是多少？答案 31.查看解析解析 31.解：() 因为，所以，所以，又数列是等比数列，所以，所以，又 公比，所以，因为，又，所以，所以，所以数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列，所以，当时，所以. （6分）() 由() 得，（10分）由得，满足的最小正整数为72. （12分）32. （2014广东汕头普通高考模拟考试试题，20）设数列的前项和为, 已知，. () 求的值；() 求数列的通项公式；证明：对一切正整数，有.答案 32.查看解析解析 32.() 依题意, , 又, 所以；(3分) () 当
21、时, ,两式相减得(5分)整理得, 即,所以，(6分)又因为且， 所以 ，故数列是首项为, 公比为的等比数列,所以, 所以.() 因为当时, ，(10分)当时, ；(考生易漏)当且为奇数时, 令(),；当为偶数时, 令(), 此时， 综上, 对一切正整数, 有. (14分)33.(2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，17) 数列满足，等比数列满足.（）求数列，的通项公式；（）设，求数列的前项和.答案 33.查看解析解析 33.（）由，所以数列是等差数列，又，所以，由，所以，所以，即，所以. （6分) （）因为，所以，则，所以，两式相减的，所以. (12分）34.（2014山东潍坊高
22、三3月模拟考试数学（理）试题，19）已知数列的前n项和，数列满足，且 (I) 求，； () 设为数列的前n项和，求，并求满足 7时n的最大值答案 34.查看解析解析 34.35.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，17）已知数列的前n项和为， （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和为答案 35.查看解析解析 35. (1) 时, 得: 即 3分在中令, 有, 即，5分故对36.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，17）已知是单调递增的等差数列，首项，前项和为，数列是等比数列，其中 （1）求的通项公式； （2）令求的前20项和。答案 36.查看解析解析 3
23、6.37.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，22）已知函数 （）当时，求曲线在点处的切线方程；（）求的单调减区间； （）当时，设在区间上的最小值为，令， 求证：答案 37.查看解析解析 37. (1) 当时， 2分 曲线在点处的切线方程为： 即 3分38.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，18）已知数列的前项和是，且（）求数列的通项公式；（）设，求使成立的最小的正整数的值答案 38.查看解析解析 38. （1） 当时，由， 1分 当时， 是以为首项，为公比的等比数列 4分 故 6分（2）由（1）知， 8分 ， 故使成立的最小的正整数的值. 12分39. (2014重
24、庆五区高三第一次学生调研抽测，20) 已知数列的前项和为，且. （）求数列的通项公式；（）设，求使恒成立的实数的取值范围.答案 39.查看解析解析 39.解：（I）由可得，1分， ，即， 3分数列是以为首项，公比为的等比数列，. 5分（）7分 8分由对任意恒成立，即实数恒成立；设，当时，数列单调递减，时，数列单调递增；10分又，数列最大项的值为 12分40.(2014湖北八市高三下学期3月联考，18) 己知各项均不相等的等差数列an的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列 （I）求数列an的通项公式； （II）设Tn为数列的前n项和，若Tn对恒成立，求实数的最小值答案 40.查看解析
25、解析 40. （）设公差为d. 由已知得3分解得，所以6分（），9分 对恒成立，即对恒成立 又 的最小值为12分41. (2014周宁、政和一中第四次联考，18) 各项为正数的数列的前项和为，且满足： （）求； （）设函数，求数列答案 41.查看解析解析 41. 解析 （）由得，当时，；由化简得：，又数列各项为正数，当n2时，故数列成等差数列，公差为2，又，解得. （5分）（）由分段函数 可以得到：，当，时，（9分）故当时，. （13分）42. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），18) 已知数列前项和为，首项为，且，成等差数列. （）求数列的通项公式； （II）数列满足，求证：，答案
26、42.查看解析解析 42. （）成等差数列, ，当时，,两式相减得： .所以数列是首项为，公比为2的等比数列，. （6分） () ， （8分）， . （12分）43.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 20) 已知数列满足，是数列 的前项和. （）若数列为等差数列.（）求数列的通项；（）若数列满足，数列满足，试比较数列前项和与前项和的大小；（）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.答案 43.查看解析解析 43. 解析 （）（）因为，所以，即，又，所以，又因为数列成等差数列，所以，即，解得，所以；（）因为，所以，其前项和，又因为，（5分）所以其前项和，所以，当或时，；当或时，；当时，. （9分
27、） （）由知，两式作差，得，所以, 作差得， （11分）所以，当时，；当时，；当时，；当时，；因为对任意，恒成立，所以且，所以，解得，故实数的取值范围为. （16分）44. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 18) 已知数列与，若且对任意正整数满足 数列的前项和. （）求数列的通项公式； （）求数列的前项和答案 44.查看解析解析 44. 解析 （）因为对任意正整数满足，所以是公差为2的等差数列 又因为 所以， （2分）当时，；，当时， ，对不成立。所以，数列的通项公式: (5分) （）由（）知当时 ，当时 （8分）所以， ，当时仍成立.所以对任意正整数成立. (12分)45. (
28、2014天津七校高三联考, 19) 已知数列满足，其中为数列的前项和() 求的通项公式；() 若数列满足： () ，求的前项和公式.答案 45.查看解析解析 45. () ， 得，又时，. （5分）() ，两式相减得，. （13分）46. (2014天津七校高三联考, 15) 已知是一个公差大于0的等差数列，且满足（）求数列的通项公式；（）若数列和等比数列满足等式：（为正整数）求数列的前项和.答案 46.查看解析解析 46. 解析 （）设等差数列的公差为，则依题设，由，得由得 （3分）由得将其代入得，即，即，又，则代入得，. （8分）（）由于数列，是等比数列，故数列的前项和为. （13分）47. (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，17) 已知数列的前项和为，且. （）求数列的通项公式；（）设数列满足，求数列的前项和.答案 47.查看解析解析 47. 解析 （）当时，又当时，. (6分） （），. （12分）48. （2014陕西宝鸡高三质量检测(一)，16 ）已知数列的前项和满足. （）求数列的前三项、； （）设，求证：数列为等比数列，并指出的通项公式。答案 48.查看解析解析 48.：（）在中分别令1，2，3得，解得 （4分） （）由，当时，两式相减得，即，（6分），又，而，数列是首项为，公比为2的等比数列，故. (12分)36
