1、【走向高考】2016届 高三数学一轮基础巩固 第12章 第1节 几何证明选讲 新人教B版一、填空题1.(2014湖北黄冈模拟)已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A，ACB的平分线分别交AB，AE于D，F两点，若ACB20，则AFD_.答案45解析因为AC为圆的切线，由弦切角定理知BEAC，又因为CD平分ACB，则ACDBCD，所以BBCDEACACD，根据三角形外角定理，ADFAFD，因为BE是圆O的直径，则BAE90，所以ADF是等腰直角三角形，所以ADFAFD45.2(文)(2014重庆理)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C，若PA
2、6，AC8，BC9，则AB_.答案4解析如图所示：根据切割线定理，得PA2PBPC，又因为PC(PBBC)，且PA6，BC9，所以36PB(PB9)，解得PB3.在PAC中，根据余弦定理cosACP，在ACB中，根据余弦定理AB2AC2BC22ACBCcosACB829228916，所以AB4.(理)(2013广东梅州联考)如图，PAB、PCD为O的两条割线，若PA5，AB7，CD11，AC2，则BD等于_答案6解析设PCx，则PDPCCDx11，由割线定理知PCPDPAPB，x(x11)5(57)60，x0，x4.PC4，PD15.PACPDB，P为公共角，PACPDB，BD6.3.(201
3、4陕西咸阳二模)如图，已知ABC的BAC的平分线与BC相交于点D，ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，若EB8，EC2，则ED_.答案4解析根据弦切角定理可得ABCEAC，因为线段AD为BAC的角平分线，所以BADDAC，又ADEABCBAD，则可以得到EDAEAD，即ADE为等腰三角形，则有DEAE，在ACE，ABE中，因为EACABC且AECAEB，所以CAEABE，则有AE4，即DEAE4.4如图，已知PA是O的切线，A是切点，直线PO交O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交O于点E.若PA2，APB30，则AE_.答案解析PA是O的切线，OAPA，在直角三角形P
4、AO中，tan30.PA2，AOPA2，即圆O的半径为r2，同理sin30，PO4.D是OC的中点，ODDC1，从而BDBOOD213，PDPOOD415，在三角形PAD中，由余弦定理得：AD2PA2PD22PAPDcos30(2)2522257，AD，再由相交弦定理得：ADDEBDDC，即DE313，DE，AEADDE.5(文)(2014广州综合测试一)如图，PC是圆O的切线，切点为点C，直线PA与圆O交于A，B两点，APC的角平分线交弦CA，CB于D，E两点，已知PC3，PB2，则的值为_答案解析由切割线定理可得PC2PAPBPA，由于PC切圆O于点C，由弦切角定理可知PCBPAD，由于P
5、D是APC的角平分线，则CPEAPD，所以PCEPAD，由相似三角形得.(理)(2014广东汕头模拟)如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G，给出下列三个结论：ADAEABBCCA；AFAGADAE；AFBADG.其中正确结论的序号是_答案解析由题意，根据切线长定理，有BDBF，CECF，所以ADAE(ABBD)(ACCE)(ABBF)(ACCF)ABACBC，所以正确；因为AD，AE是圆的切线，根据切线长定理，有ADAE，又因为AG是圆的割线，所以根据切割线定理有AD2AFAGADAE，所以正确；根据弦切角定理有ADFAGD，又因为BDBF，所以BDFB
6、FDADF，在AFB中，ABF2ADF2AGD，所以错误6如图所示，在ABCD中，BC24，E、F为BD的三等分点，直线AE交BC于M，直线MF交AD于N，则BMDN_.答案6解析连CF交AD于P，E、F为BD的三等分点，四边形为平行四边形，ABECDF，AEBCFDPFB，AMCP，M为BC的中点，FBMFDN，BFMDFN，BFMDFN，2，DNBC6.二、解答题7如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合，已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若A90，且m4，n6，求C，B
7、，D，E所在圆的半径解析(1)连结DE，根据题意在ADE和ACB中，ADABmnAEAC，即.又DAECAB，从而ADEACB.因此ADEACB.所以C，B，D，E四点共圆(2)m4，n6时，方程x214xmn0的两根为x12，x212.故AD2，AB12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连结DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH，由于A90，故GHAB，HFAC.从而HFAG5，DF(122)5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5.8(2014哈三中二模)如图，O1与O2相交于A，B两点，AB是O
8、2的直径，过点A作O1的切线交O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，分别与O1、O2交于C，D两点证明：(1)PAPDPEPC；(2)ADAE.证明(1)因为PE，PB分别是O2割线，所以PAPEPDPB又PA，PB分别是O1的切线和割线，所以PA2PCPB由得PAPDPEPC.(2)连接AC，DE，设DE与AB相交于点F，因为BC是O1的直径，所以CAB90，所以AC是O2的切线，由(1)得ACDE，所以ABDE，所以ADAE.一、填空题9(2013惠州三调)如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，OBPB1，OA绕点O逆时针旋转60到OD，则PD的长为_答案解析由图可知，PA2PB
9、PCPB(PBBC)3，PA，AOP60，又AOD60，POD120，PO2，OD1，cosPOD，PD.10(2014武汉调研)如图，O的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P，E为O上一点，DE交AB于点F.若AB4，BP3，则PF_.答案解析连接OE，则易知OEFOFEAOECDEDFBP，OEFP，FOEFDP，即DFEFOFPF，而DFEFAFFB，可得OFPFAFFB.设FBx，有(2x)(x3)(4x)x，解得x，则PF.11(文)(2015广东揭阳一中期中)如图，已知AB、BC是O的两条弦，AOBC，AB2，BC2，则O的半径等于_答案2解析设AO与BC相交于D，与O相交于E
10、，AOBC，AB2，BC2，AD1，由相交弦定理知ADDEBDDC，1(2R1)()2，R2.(理)(2014湖北八市联考)如图，A，B是圆O上的两点，且OAOB，OA2，C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D，则CD_.答案解析延长AO交圆O于点E，注意到C为OA的中点，则CE213，CA1，BC，由相交弦定理知CECABCCD，故CD.12(2014陕西宝鸡三模)如图，ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，PB交AC于点E，交圆O于点D，PAPE，PB9，PD1，ABC60，则EC_.答案4解析PA是圆O的切线，PA2PDPB9，可得PA3，PAC是弦切角，夹弧，PACABC60
11、，在APE中，PEPA，APE是正三角形，可得PEAEPA3，BEPBPE6，DEPEPD2，圆O中，弦AC，BD相交于E，BEDEAECE，可得623EC，EC4.二、解答题13(文)(2014南京、盐城二模)如图，ABC为圆的内接三角形，ABAC，BD为圆的弦，且BDAC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.(1)求证：四边形ACBE为平行四边形；(2)若AE6，BD5，求线段CF的长解析(1)因为AE与圆相切于点A，所以BAEACB.因为ABAC，所以ABCACB.所以ABCBAE.所以AEBC.因为BDAC，所以四边形ACBE为平行四边形(2)因为AE与圆相切于
12、点A，所以AE2EB(EBBD)，即62EB(EB5)，解得BE4.根据(1)有ACBE4，BCAE6.设CFx，由BDAC，得，即，解得x，即CF.(理)(2014吉林长春三调)如图，圆M与圆N交于A、B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C，D两点，延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F.已知BC5，BD10.(1)求AB的长；(2)求.解析(1)根据弦切角定理，知BACBDA，ACBDAB，ABCDBA，则，故AB2BCBD50，AB5.(2)根据切割线定理，知CA2CBCF，DA2DBDE，两式相除，得(*)由ABCDBA，得，又，由(*)得1.14(文)(2013黑龙江
13、哈尔滨六校联考)如图，已知四边形ABCD内接于O，且AB是O的直径，过点D的O的切线与BA的延长线交于点M.(1)若MD6，MB12，求AB的长；(2)若AMAD，求DCB的大小解析(1)因为MD为O的切线，由切割线定理知，MD2MAMB.又MD6，MB12，MBMAAB，所以MA3，AB1239.(2)因为AMAD，所以AMDADM，连接DB，又MD为O的切线，由弦切角定理知，ADMABD，又因为AB是O的直径，所以ADB为直角，即BAD90ABD.又BADAMDADM2ABD，于是90ABD2ABD，所以ABD30.所以BAD60.又四边形ABCD是圆内接四边形，所以BADDCB180.所
14、以DCB120.(理)(2013石家庄模拟)如图，过圆O外一点P作该圆的两条割线PAB和PCD，分别交圆O于点A、B，C、D，弦AD和BC交于点Q，割线PEF经过点Q交圆O于点E、F，点M在EF上，且BADBMF.(1)求证：PAPBPMPQ；(2)求证：BMDBOD.证明(1)BADBMF，A、Q、M、B四点共圆，PAPBPMPQ.(2)PAPBPCPD，PCPDPMPQ，又CPQMPD，CPQMPD，PCQPMD，则BCDDMF，BADBCD，BMDBMFDMF2BAD，又BOD2BAD，BMDBOD.15(2014东北三校一模)如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，C是劣弧AB
15、(不包括端点)上一点，直线PC交圆O于另一点D，Q在弦CD上，且DAQ PBC.求证：(1)；(2)ADQDBQ.解析(1)连结AB.因为PBCPDB，BPCDPB，所以PBCPDB，所以.同理.又因为PAPB，所以，即.(2)因为BACPBCDAQ，ABCADQ，所以ABCADQ，即.故.又因为DAQPBCBDQ，所以ADQDBQ.16(2015内蒙古赤峰市统考)如图，已知O和M相交于A、B两点，AD为M的直径，直线BD交O于点C，点G为的中点，连接AG分别交O、BD于点E、F，连接CE.(1)求证：AGEFCEGD；(2)求证：.解析(1)连接AB，AC，AD为M的直径，AGD90，AC为O的直径，CEF90，DFGCFE，ECFGDF，G为的中点，DAGGDF，ECFEFCGDFDFG，ECFGDF，DAGECF，CEFAGD，AGEFCEGD.(2)由(1)知DAGGDF，GG，DFGADG，DG2AGGF，由(1)知，.- 9 -
