1、第26讲矩阵与变换 近几年江苏高考矩阵与变换选讲重点考查二阶矩阵与平面向量、矩阵的变换、逆矩阵及矩阵特征值和特征向量，题目以简单题、中档题为主，复习中不宜过难考试说明：序号内 容要求ABC1矩阵的有关概念2二阶矩阵与平面向量3常见的平面变换4矩阵的复合与矩阵的乘法5二阶逆矩阵6二阶矩阵的特征值和特征向量7二阶矩阵的简单应用例1 已知矩阵A的逆矩阵A1，向量.(1) 求矩阵A；(2) 求A2的值解：(1) 矩阵A.(2) (解法1)矩阵A2，所以A2.(解法2)矩阵A的特征多项式为f()256，令f()0，得12，23.当12时，得1；当23时，得2.又212， A2A2(212)2A21A22
2、2(1)22332.设二阶矩阵A、B满足A1，(BA)1，求B1.解：设B1，因为(BA)1A1B1，所以，即解得所以B1.例2 已知矩阵A的逆矩阵A1.(1) 求矩阵A；(2) 求矩阵A1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量解：因为矩阵A是矩阵A1的逆矩阵，且|A1|221130，所以A.(2) 矩阵A1的特征多项式为f()243(1)(3)，令f()0，得矩阵A1的特征值为11或23，所以1是矩阵A1的属于特征值11的一个特征向量，2是矩阵A1的属于特征值23的一个特征向量已知矩阵的一个特征值为4，求另一个特征值及其对应的一个特征向量解：矩阵的特征多项式为f()(1)(x)6，因为14
3、是方程f()0的一个根，所以x2.由(1)(2)60得21.(6分)设21对应的一个特征向量为，则得xy，令x1，则y1，则矩阵的另一个特征值为1，对应的一个特征向量为.例3 已知矩阵A的一个特征根为2，它对应的一个特征向量为.(1) 求m与n的值；(2) 求A1.解：(1) 由题意得A2(2) 设A1E， 解得即A1.已知矩阵A的一个特征值为11，其对应的一个特征向量为1，已知，求A5.解：由题意A1， A的特征多项式为f()(1)2220，则11，22.当22时，特征方程为 属于特征值22的一个特征向量为2， 23. A5A5(23)(2)(1)5325.例4 已知矩阵M对应的变换将点A(
4、1，1)变为A(0，2)，将曲线C：xy1变为曲线C.(1) 求实数a、b的值；(2) 求曲线C的方程解：(1) 由题知，即解得(2) 设P(x，y)是曲线C上任意一点，P由曲线C上的点P (x0，y0)经矩阵M所表示的变换得到，所以，即解得因为x0y01，所以1，即1，即曲线C的方程为1.若圆C：x2y21在矩阵A(a0，b0)对应的变换下变成椭圆E：1，求矩阵A的逆矩阵A1.解：设点P(x，y)为圆C：x2y21上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为P(x，y)，则，所以因为点P(x，y)在椭圆E：1上，所以1.又圆的方程为x2y21，故，即又a0，b0，所以a2，b.所以A，所以A1.1.
5、 (2013江苏卷)已知矩阵A，B，求矩阵A1B.解：设矩阵A的逆矩阵为，则，即，故a1，b0，c0，d， 矩阵A的逆矩阵为A1， A1B.2. (2014江苏卷)已知矩阵A，B，向量a，x、y是实数，若AaBa，求xy的值解：由题意得解得 xy.3. 已知矩阵A，向量.求向量，使得A2.解：A2.设，由A2，得，从而解得所以.点拨：本题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求解能力4. 已知矩阵A的逆矩阵A1，求矩阵A的特征值解： A1AE， A(A1)1. A1， A(A1)1. 矩阵A的特征多项式为f()234.令f()0，解得矩阵A的特征值11，24.点拨：考查矩阵的基础知识，考查运算求解能力(本题模拟高考评分标准，满分10分)(2014苏锡常镇模考)已知点M(3，1)绕原点逆时针旋转90后，且在矩阵对应的变换作用下，得到点N(3，5)，求a、b的值解：绕原点逆时针旋转90对应的变换矩阵为.(2分) .(5分)则由，(7分)得 a3，b1.(10分)已知二阶矩阵A，矩阵A属于特征值11的一个特征向量为1，属于特征值24的一个特征向量为2.求矩阵A.解：，4， 解得 矩阵A.- 5 -
