1、第十三章选修系列4学案73几何证明选讲(一)相似三角形的判定及有关性质导学目标： 1.了解平行线等分线段定理和平行线分线段成比例定理；2.掌握相似三角形的判定定理及性质定理；3.理解直角三角形射影定理自主梳理1平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等2平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段_推论1平行于三角形一边的直线截其他两边(或_)，所得的对应线段_推论2平行于三角形的一边，并且和其他两边_的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应_推论3三角形的一个内角平分线分对边所得
2、的两条线段与这个角的两边对应成比例3相似三角形的判定判定定理1对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应_的两个三角形相似判定定理2对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且_相等的两个三角形相似判定定理3对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例的两个三角形相似4相似三角形的性质(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；(2)相似三角
3、形周长的比等于相似比；(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方5直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在_与斜边的_，斜边上的高的_等于两条直角边在斜边上的射影的乘积自我检测1如果梯形的中位线的长为6 cm，上底长为4 cm，那么下底长为_cm.2如图，在ABC中，EDBC，EFBD，则下列四个结论正确的是(填序号)_；.3如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D，CD2，BD3，则AC_.4如图所示，在ABC中，AD是BAC的平分线，AB5 cm，AC4 cm，BC7 cm，则BD_cm.第4题图第5题图5(2011陕西)如图，BD，AEBC，ACD90，且AB6，
4、AC4，AD12，则BE_.探究点一确定线段的n等分点例1已知线段PQ，在线段PQ上求作一点D，使PDDQ21.变式迁移1已知ABC，D在AC上，ADDC21，能否在AB上找到一点E，使得线段EC的中点在BD上探究点二平行线分线段成比例定理的应用例2在ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使BDCE，DE的延长线交BC的延长线于点F.求证：.变式迁移2 如图，已知ABCDEF，ABa，CDb(0ab)，AEECmn(0m0，舍去负根)，所以斜边的长为5，故斜边上的中线的长为.515解析ADBC，OEAD，OEAD12，同理可求得OFBC20，EFOEOF15.62解析连接DE，因为ADBC，
5、所以ADB是直角三角形，则DEABBEDC.又因为DGCE于G，所以DG平分CE，故EG2.76解析设DEx，DEAC，解得BE.又AD平分BAC，解得x6.8.解析连接DE，延长QP交AB于N，则得PQBC.9证明由三角形的内角平分线定理得，在ABD中，在ABC中，(3分)在RtABC中，由射影定理知，AB2BDBC，即.(6分)由得：，(9分)由得：.(11分)10证明延长AD至G，使DGMD，连接BG、CG.BDDC，MDDG，四边形BGCM为平行四边形(4分)ECBG，FBCG，(8分)EFBC.(12分)11证明BOPM，(2分)DOPS，.(4分)即，由BOPR得.(6分)由DOP
6、N得.(8分)，即，.PMPNPRPS.(12分)学案74几何证明选讲(二)直线与圆的位置关系导学目标： 1.理解圆周角定理，弦切角定理及其推论；2.理解圆的切线的判定及性质定理；3.理解相交弦定理，割线定理，切割线定理；4.理解圆内接四边形的性质定理及判定自主梳理1圆周角、弦切角及圆心角定理(1)_的度数等于其的对_的度数的一半推论1：_(或_)所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角_相等推论2：半圆(或直径)所对的_等于90.反之，90的圆周角所对的弧是_(或_)(2)弦切角的度数等于其所夹孤的度数的_(3)圆心角的度数等于它所对弧的度数2圆中比例线段有关定理(1)相交弦定理：_的两
7、条_，每条弦被交点分成的_的积相等(2)切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的_(3)割线定理：从圆外一点引圆的两条_，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等温馨提示相交弦定理，切割线定理，割线定理揭示了与圆有关的线段间的比例关系，在与圆有关的比例线段问题的证明、计算以及证明线段或角相等等问题中应用甚广3切线长定理从_一点引圆的两条切线，_相等4圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理：圆内接四边形的对角_推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内角的_(2)判定定理：如果四边形的_，则四边形内接于_推论：如果四边形的一个外角等于它
8、的_，那么这个四边形的四个顶点_5圆的切线的性质及判定定理(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的_推论1：经过_且_与垂直的直线必经过切点推论2：经过_且切线与垂直的直线必经过_(2)判定定理：过半径_且与这条半径_的直线是圆的切线自我检测1如图在RtABC中，B90，D是AB上一点，且AD2DB，以D为圆心，DB为半径的圆与AC相切，则sin A_.2(2010南京模拟)如图，AB是圆O的直径，EF切圆O于C，ADEF于D，AD2，AB6，则AC长为_3(2011湖南)如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC4，ADBC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为_4如图所示，AB
9、是O的直径，BC是O的切线，AC交O于点D，若AD32，CD18，则AB_.5(2010揭阳模拟)如图，已知P是O外一点，PD为O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，PF12，PD4，则圆O的半径长为_、EFD的度数为_.探究点一与圆有关的等角、等弧、等弦的判定例1 如图，O的两条弦AC，BD互相垂直，OEAB，垂足为点E.求证：OECD.变式迁移1 在ABC中，已知CM是ACB的平分线，AMC的外接圆O交BC于点N；若ACAB，求证：BN3MN.探究点二四点共圆的判定例2 如图，四边形ABCD中，AB、DC的延长线交于点E，AD，BC的延长线交于点F，AED，AFB的角平分线交于点M，且
10、EMFM.求证：四边形ABCD内接于圆变式迁移2 如图，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B、C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求OAMAPM的大小探究点三与圆有关的比例线段的证明例3 如图，PA切O于点A，割线PBC交O于点B，C，APC的角平分线分别与AB，AC相交于点D，E，求证：(1)ADAE；(2)AD2DBEC.变式迁移3 (2010全国)如图，已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)ACEBCD；(2)BC2BECD.1圆周角定理与圆心角定理在证明角相等时有较普遍的应用，尤其是利用
11、定理进行等角代换与传递2要注意一些常用的添加辅助线的方法，若证明直线与圆相切，则连结直线与圆的公共点和圆心证垂直；遇到直径时，一般要引直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角解决有关问题3判断两线段是否相等，除一般方法(通过三角形全等)外，也可用等线段代换，或用圆心角定理及其推论证明4证明多点共圆的常用方法：(1)证明几个点与某个定点距离相等；(2)如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等；(3)证明凸四边形内对角互补(或外角等于它的内角的对角)5圆中比例线段有关定理常与圆周角、弦切角联合应用，要注意在题中找相等的角，找相似三角形，从而得到线段的比(满分：75分)一、填空
12、题(每小题5分，共40分)1如图，已知AB，CD是O的两条弦，且ABCD，OEAB，OFCD，垂足分别是E，F，则结论，AOBCOD，OEOF，中，正确的有_个2(2010湖南)如图所示，过O外一点P作一条直线与O交于A、B两点已知PA2，点P到O的切线长PT4，则弦AB的长为_3(2010陕西)如图，已知RtABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm,4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则_.4(2009广东)如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB4，ACB45，则圆O的面积为_5已知PA是圆O的切线，切点为A，PA2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB1，则圆O的半径R_
13、.6如图，圆O是ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD2，AB3.则BD的长为_7(2011天津)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DFCF，AFFBBE421.若CE与圆相切，则线段CE的长为_8(2010天津)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若，则的值为_二、解答题(共35分)9(11分)如图，三角形ABC中，ABAC，O经过点A，与BC相切于B，与AC相交于D，若ADCD1，求O的半径r.10(12分)(2009江苏)如图，在四边形ABCD中，ABCBAD.求证：ABCD.11(12分)(2011江苏)如图
14、，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1r2)圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)求证：ABAC为定值学案74几何证明选讲(二)直线与圆的位置关系自主梳理1(1)圆周角弧同弧等弧所对的弧圆周角半圆弦为直径(2)一半2.(1)圆相交弦两条线段长(2)等比中项(3)割线3.圆外切线长4.(1)互补对角(2)对角互补圆内角的对角共圆5(1)半径圆心切线切点圆心(2)外端垂直自我检测1.解析设切点为T，则DTAC，AD2DB2DT，A30，sin A.22解析连接CB，则DCACBA，又ADCACB90，ADCACB.AC2ABAD2612.AC2.3.解析如图，连接CE，A
15、O，AB.根据A，E是半圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得CEB90，CBE30，AOB60，故AOB为等边三角形，AD，ODBD1，DF，AFADDF.440解析如图，连接BD，则BDAC，由射影定理知，AB2ADAC32501 600，故AB40.5430解析由切割线定理得PD2PEPF，PE4，EF8，OD4.又ODPD，ODPO，P30，POD602EFD，EFD30.课堂活动区例1 解题导引(1)借用等弦或等弧所对圆周角相等，所对的圆心角相等，进行角的等量代换；同时也可借在同圆或等圆中，相等的圆周角(或圆心角)所对的弧相等，进行弧(或弦)的等量代换(2)本题的证法是证明一条线段等
16、于另一条线段的一半的常用方法证明作直径AF，连接BF，CF，则ABFACF90.又OEAB，O为AF的中点，则OEBF.ACBD，DBCACB90，又AF为直径，BAFBFA90，AFBACB，DBCBAF，即有CDBF.从而得OECD.变式迁移1 证明CM是ACB的平分线，即BCAC，又由割线定理得BMBABNBC，BNACBMBA，又ACAB，BN3AM，在圆O内ACMMCN，AMMN，BN3MN.例2 解题导引证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补证明连接EF，因
17、为EM是AEC的角平分线，所以FECFEA2FEM.同理，EFCEFA2EFM.而BCDBADECFBAD(180FECEFC)(180FEAEFA)3602(FEMEFM)3602(180EMF)2EMF180，即BCD与BAD互补所以四边形ABCD内接于圆变式迁移2 (1)证明连接OP，OM，因为AP与O相切于点P，所以OPAP.因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC.于是OPAOMA180，由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆(2)解由(1)得A，P，O，M四点共圆，所以OAMOPM.由(1)得OPAP.由圆心O在PAC的内部，可知OPMAPM
18、90，所以OAMAPM90.例3 解题导引寻找适当的相似三角形，把几条要证的线段集中到这些相似三角形中，再用圆中角、与圆有关的比例线段的定理找到需要的比例式，使问题得证证明(1)AEDEPCC，ADEAPDPAB.因PE是APC的角平分线，故EPCAPD，PA是O的切线，故CPAB.所以AEDADE.故ADAE.(2)PCEPAD；PAEPBD.又PA是切线，PBC是割线PA2PBPC.故，又ADAE，故AD2DBEC.变式迁移3 证明(1)因为，所以BCDABC.又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC，所以ACEBCD.(2)因为ECBCDB，EBCBCD，所以BDCECB，故，即BC2B
19、ECD.课后练习区14解析在同圆或等圆中，等弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对弦心距相等，故成立，又由，得，正确26解析连接BT，由切割线定理，得PT2PAPB，来源:学*科*网所以PB8，故AB6.3.解析ADBD(cm)，.48解析连接OA，OB，BCA45，AOB90.设圆O的半径为R，在RtAOB中，R2R2AB216，R28.圆O的面积为8.5.解析如图，依题意，AOPA，ABPC，PA2，PB1，P60，在RtCAP中，有2OA2R2tan 602，R.64解析由切割线定理得：DBDADC2，即DB(DBBA)DC2，DB23DB280，DB4.7.解析设BEa，则AF4a，F
20、B2a.AFFBDFFC，8a22，a，AF2，FB1，BE，AE.又CE为圆的切线，CE2EBEA.CE.8.解析PP，PCBPAD，PCBPAD.，.9.解过B点作BEAC交圆于点E，连接AE，BO并延长交AE于F，由题意ABCACBAEB，(2分)又BEAC，CABABE，则ABAC知，ABCACBAEBBAE，(4分)则AEBC，四边形ACBE为平行四边形BFAE.又BC2CDAC2，BC，BF.(8分)设OFx，则解得r.(11分)10证明由ABCBAD得ACBBDA，(3分)故A、B、C、D四点共圆，(5分)从而CABCDB.(7分)再由ABCBAD得CABDBA，因此DBACDB
21、，(10分)所以ABCD.(12分)11.证明如图，连接AO1并延长，分别交两圆于点E和点D.连接BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径(5分)从而ABDACE.(7分)所以BDCE，于是.(10分)所以ABAC为定值(12分)学案75坐标系与参数方程导学目标：1.了解坐标系的有关概念，理解简单图形的极坐标方程.2.会进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.3.理解直线、圆及椭圆的参数方程，会进行参数方程与普通方程的互化，并能进行简单应用自主梳理1极坐标系的概念在平面上取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做_；再选定一个长
22、度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个_设M是平面上任一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的_，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的_，记为.有序数对(，)叫做点M的_，记作(，)2极坐标和直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(，)，则它们之间的关系为x_，y_.另一种关系为：2_，tan _.3简单曲线的极坐标方程(1)一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程(，)0，并且坐标适合方程(，)0的点都
23、在曲线上，那么方程(，)0叫做曲线的_(2)常见曲线的极坐标方程圆的极坐标方程_表示圆心在(r,0)半径为|r|的圆；_表示圆心在(r，)半径为|r|的圆；_表示圆心在极点，半径为|r|的圆直线的极坐标方程_表示过极点且与极轴成角的直线；_表示过(a,0)且垂直于极轴的直线；_表示过(b，)且平行于极轴的直线；sin()0sin(0)表示过(0，0)且与极轴成角的直线方程4常见曲线的参数方程(1)直线的参数方程若直线过(x0，y0)，为直线的倾斜角，则直线的参数方程为这是直线的参数方程，其中参数l有明显的几何意义(2)圆的参数方程若圆心在点M(a，b)，半径为R，则圆的参数方程为00)的参数方
24、程为自我检测1(2010北京)极坐标方程(1)()0(0)表示的图形是()A两个圆 B两条直线C一个圆和一条射线 D一条直线和一条射线2(2010湖南)极坐标方程cos 和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是()A圆、直线 B直线、圆C圆、圆 D直线、直线3(2010重庆)直线yx与圆心为D的圆(0,2)交于A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为()A. B.C. D.4(2011广州一模)在极坐标系中，直线sin()2被圆4截得的弦长为_5(2010陕西)已知圆C的参数方程为(为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 1，则直线l与圆C的交点的直
25、角坐标为_.探究点一求曲线的极坐标方程例1 在极坐标系中，以(，)为圆心，为半径的圆的方程为_变式迁移1 如图，求经过点A(a,0)(a0)，且与极轴垂直的直线l的极坐标方程探究点二极坐标方程与直角坐标方程的互化例2 (2009辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系曲线C的极坐标方程为cos1，M、N分别为C与x轴，y轴的交点(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程变式迁移2 (2010东北三校第一次联考)在极坐标系下，已知圆O：cos sin 和直线l：sin()，(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当(
26、0，)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标探究点三参数方程与普通方程的互化例3 将下列参数方程化为普通方程：(1)；(2)；(3).变式迁移3 化下列参数方程为普通方程，并作出曲线的草图(1)(为参数)；(2) (t为参数)探究点四参数方程与极坐标的综合应用例4 求圆3cos 被直线(t是参数)截得的弦长变式迁移4 (2011课标全国)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)M是C1上的动点，P点满足2，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.本节内容要注意
27、以下两点：一、简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中和的具体含义求出，也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化得出同直角坐标方程一样，由于建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同在没有充分理解极坐标的前提下，可先化成直角坐标解决问题二、在普通方程中，有些F(x，y)0不易得到，这时可借助于一个中间变量(即参数)来找到变量x，y之间的关系同时，在直角坐标系中，很多比较复杂的计算(如圆锥曲线)，若借助于参数方程来解决，将会大大简化计算量将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x，y(它们都是参数的函数)的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性参数方
28、程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元等同极坐标方程一样，在没有充分理解参数方程的前提下，可先化成直角坐标方程再去解决相关问题(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1在极坐标系中，与点(3，)关于极轴所在直线对称的点的极坐标是()A(3，) B(3，) C(3，) D(3，)2曲线的极坐标方程为2cos21的直角坐标方程为()Ax2(y)2 B(x)2y2Cx2y2 Dx2y213(2010湛江模拟)在极坐标方程中，曲线C的方程是4sin ，过点(4，)作曲线C的切线，则切线长为()A4 B. C2 D24(2010佛山模拟)已知动圆方程x2y2xsin
29、 22ysin()0(为参数)，那么圆心的轨迹是()A椭圆 B椭圆的一部分C抛物线 D抛物线的一部分5(2010安徽)设曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的方程为x3y20，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为()A1 B2 C3 D4二、填空题(每小题4分，共12分)6(2010天津)已知圆C的圆心是直线(t为参数)与x轴的交点，且圆C与直线xy30相切，则圆C的方程为_7(2011广东)已知两曲线参数方程分别为(0)和(tR)，它们的交点坐标为_来源:学科网ZXXK8(2010广东深圳高级中学一模)在直角坐标系中圆C的参数方程为(为参数)，若以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的极坐标方程为_三、解答题(共38分)9(12分)(2011江苏)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程10(12分)(2010福建)在直角坐标
