1、浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷（2024年4月）数学试题本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共6页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至6页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、座位号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知，则（ ）A. B. 3C. D. 5【答案】C【解析】【分析】由复数乘法以及
2、模的计算公式即可求解.【详解】由题意.故选：C.2. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4，则该椭圆的短轴长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由离心率得到的关系式，代入的值，即可求得短轴长.【详解】由可得（*），因，即，代入（*）解得，故短轴长为故选：B.3. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】D【解析】【分析】由等差数列求和公式结合已知列方程即可求解.【详解】由题意设等差数列的首项、公差分别为，因为，从而.故选：D.4. 已知四边形是平行四边形，记，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用平
3、面向量的线性运算求解即得.【详解】在中，所以.故选：A5. 过点作圆的切线，为切点，则的最大值是（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意可得，三角换元令，利用三角恒变换求出最大值.【详解】根据题意，设圆的圆心为，则，令，则，其中，所以的最大值为.故选：D.6. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先得，进一步由有，结合二倍角公式、商数关系以及诱导公式即可求解.【详解】因为，所以，又因为，所以，从而，所以.故选：B.7. 在边长为4的正三角形中，E，F分别是，的中点，将沿着翻折至，使得，则四棱锥的外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【
4、答案】C【解析】【分析】画出图形，通过分析得出，外接球球心在过底面外接圆圆心且垂直于底面（即平行于）的直线上面，且底面外接圆半径为，设到平面的距离为，过作于点，从而，由此列出方程组求出结合球的表面积公式即可得解.【详解】依题意取的中点为，且交于点，注意到是的中点，三角形是等边三角形，从而是三角形的中心，同时有，面，面，所以面，而面，所以平面面，故而点在平面的投影在上面，注意到三角形与三角形都是边长为2的等边三角形，即三角形与三角形全等，从而，面，面，所以面，因为面，所以，因为面，面，所以，又因为，面，面，故有面，所以，注意到点是直角三角形斜边上的中点，所以是四边形（或三角形）外接圆的圆心（这是
5、因为，从而四点共圆），所以四棱锥的外接球的球心在与平面垂直的上，且底面四边形外接圆的半径为，设到平面的距离为，过作于点，所以，即，解得，这意味着此时点与点重合，四棱锥的外接球的表面积是.故选：C.8. 已知点A，B，C都在双曲线：上，且点A，B关于原点对称，.过A作垂直于x轴的直线分别交，于点M，N.若，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】设，由且轴得，注意到，也就是，而，即，由此结合离心率公式即可求解.【详解】不妨设，由且轴，所以，所以，从而，即，设点，且它在双曲线上，即，其中，从而，.故选：B.【点睛】关键点点睛：关键是得到，由此即可顺利得解.二、选
6、择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 国家统计局统计了2024年1月全国多个大中城市二手住宅销售价格的分类指数，其中北方和南方各4个城市的90m及以下二手住宅销售价格的环比数据如下：北方城市环比（单位：%，上月=100）南方城市环比（单位：%，上月=100）北京99.5上海99.5天津99.6南京99.5石家庄99.6南昌99.6沈阳99.7福州99.8则（ ）A. 4个北方城市的环比数据的极差小于4个南方城市的环比数据的极差B. 4个北方城市的环比数据的均值小于4个南方城市的环比数据的
7、均值C. 4个北方城市的环比数据的方差大于4个南方城市的环比数据的方差D. 4个北方城市的环比数据的中位数大于4个南方城市的环比数据的中位数【答案】AD【解析】【分析】根据极差的定义判断A，根据平均数的定义判断B，根据方差的定义判断C，根据中位数的定义判D【详解】对于A，4个北方城市的环比数据的极差为，4个南方城市的环比数据的极差为，所以4个北方城市的环比数据的极差小于4个南方城市的环比数据的极差，故A正确；对于B，4个北方城市的环比数据的均值为，4个南方城市的环比数据的均值为，所以4个北方城市的环比数据的均值与4个南方城市的环比数据的均值相等，故B错误；对于C，4个北方城市的环比数据的方差为
8、，4个南方城市的环比数据的方差为，所以4个北方城市的环比数据的方差小于4个南方城市的环比数据的方差，故C错误；对于D，4个北方城市的环比数据的中位数为99.6，4个南方城市的环比数据的中位数为，所以4个北方城市的环比数据的中位数大于4个南方城市的环比数据的中位数，故D正确故选：AD10. 已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，且，则（ ）A. 数列是递增数列B. 数列是递减数列C. 若数列是递增数列，则D. 若数列是递增数列，则【答案】ACD【解析】【分析】写出的表达式，根据，得到或，由此即可判断AB，进一步根据递增数列的定义分别与的关系即可判断CD.【详解】由题意可知，且，故有且（否则若
9、，则的符号会正负交替，这与，矛盾），也就是有或，无论如何，数列是递增数列，故A正确，B错误；对于C，若数列是递增数列，即，由以上分析可知只能，故C正确；对于D，若数列是递增数列，显然不可能是，（否则的符号会正负交替，这与数列是递增数列，矛盾），从而只能是，且这时有，故D正确.故选：ACD.11. 已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据抽象函数性质可确定关于直线对称，关于点对称，从而可确定其周期性，再结合单调性可得函数的大致图象，结合周期性、对称性、对数函数性质、三角函数性质逐项判断即可得结论.详解】对于函数有，则函数关于直
10、线对称，由，则函数关于点对称，所以，所以得，则，故函数的周期为，且，故函数为偶函数，因为函数在区间上单调递增，则函数的大致图象如下图：由对称性可得，所以，故A不正确；由于，所以，故B正确；又，所以，故C正确；，且，因为，所以，故，所以，故D正确故选：BCD.【点睛】关键点点睛：抽象函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性，解决本题的关键是结合函数的性质确定函数的图象，从而可确定函数值的大小关系、对称关系.考查学生的基本分析能力与计算能力，属于中等难度的题型.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 的展开式中的系数是_.（用数字作答）【答案】【解析】【分析】根据二项
11、式定理求通项，从而可得的系数.【详解】展开式的通项为，则当时，的系数为.故答案为：.13. 已知集合，且有4个子集，则实数的最小值是_.【答案】#0.5【解析】【分析】根据的子集个数，得到元素个数，分和讨论，进而得到实数m的取值范围.详解】由有4个子集，所以中有2个元素，所以，所以 ，所以满足，或，综上，实数的取值范围为，或，故答案为：14. 已知函数，若，则实数的取值范围是_.【答案】或【解析】【分析】设，则，由正弦函数图象可列式，求得，对取值分析得到答案.【详解】设，则，所以问题转化为在上存在最大值和最小值，由正弦函数图象可得，解得，所以，当时，；当时，当时，当时，当，时，当时，而，即，所
12、以时，所有情况的范围的并集为；综上，实数的取值范围是或.故答案为：或.【点睛】思路点睛：换元令，利用正弦函数的图象分析可得，求出的范围，再带回上式验证求解的范围.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 如图，在三棱锥中，. （1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的平面角的正切值.【答案】（1）证明见解析 （2）2【解析】【分析】（1）先由解三角形知识证得，进一步由，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证；（2）解法一：一方面，过点作交于点，过点作交于点，连接，可以证明是二面角的平面角，另一方面可以通过解三角形知识即可得解；解法二：建立适当的空间
13、直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，进一步由法向量夹角的余弦坐标公式，结合平方关系以及商数关系即可运算求解.【小问1详解】在中，由余弦定理得，所以，所以，又，面，面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】解法一：过点作交于点，因为平面平面，平面平面，面，所以平面，因为面，所以，过点作交于点，连接，因为，面，面，所以面，因为面，则，所以是二面角的平面角.由（1）知，平面，因为平面，所以，所以，又，所以三角形是正三角形，所以，.在直角三角形中，所以.所以，二面角的平面角的正切值是2. 解法二：以为原点，所在直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，其中，由，得，所以，即，所
14、以，.设平面的法向量为，则，即，取，则，所以.又平面的法向量为，设二面角的大小为，因为为锐角，所以，所以，所以，二面角的平面角的正切值为2.16. 盒中有标记数字1，2的小球各2个.（1）若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率；（2）若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为（如1122，则），求的分布列及数学期望.【答案】（1）； （2）分布列见解析，1.【解析】【分析】（1）根据组合知识求得取球的方法数，然后由概率公式计算概率；（2）确定的所有可能取值为0，1，2，然后分别计算概率得分布列，再由期望公式计算出期望【小问1详解】设事件“取出的2个小
15、球上的数字不同”，则.【小问2详解】的所有可能取值为0，1，2.当相邻小球上的数字都不同时，如1212，有种，则.当相邻小球上的数字只有1对相同时，如1221，有种，则.当相邻小球上的数字有2对相同时，如1122，有种，则.所以的分布列为012所以数学期望.17. 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程；（2）分和讨论，利用导数结合不等式放缩判断导数正负，结合单调性验证恒成立是否满足.【小问1详解】当时，则，所以切线斜率为，又，所以，切线方程是.【小问2详解】
16、当时，因为，所以，所以.记，则，令，则.因为当时，所以在区间上单调递增，所以，所以，在区间上单调递增，所以，所以.当时，因为当时，令，则，若，则，即在区间上单调递增.若，则，所以在区间上单调递增.所以当时，在区间上单调递增.因为，所以，存在，使得，所以，当时，即在区间上单调递减，所以，不满足题意.综上可知，实数的取值范围为.18. 已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，过点作直线交于M，N两点，点，记直线，的斜率分别为，.（1）求的方程；（2）求的值；（3）设直线交C于另一点Q，求点B到直线距离的最大值.【答案】（1）； （2）； （3）.【解析】【分析】（1）由焦准距的定义求出的值即得；（2）
17、设出直线的方程，与抛物线方程联立消元，得到韦达定理，分别化简计算和，再整体代入计算即得定值；（3）设点表示出直线、的方程，分别利用过点， 过点得出与，与的关系式，消去，整理得，再与方程比较得出过定点，从而得到结论.【小问1详解】因为焦点到准线的距离为2，所以，所以抛物线的方程为.【小问2详解】如图，设，直线的方程为，由得，所以（*）由，将（*）代入整理得：.又，将（*）代入整理得：所以，.【小问3详解】设，则直线的斜率，所以直线的方程为，即.同理，直线方程为，直线方程为.因为直线经过，所以，解得，因为直线经过，所以，解得，所以，整理得.又因为直线的方程为，所以直线经过定点，所以，当时，点到直线
18、距离取得最大值为.19. 已知，集合其中.（1）求中最小的元素；（2）设，且，求的值；（3）记，若集合中的元素个数为，求.【答案】（1）7 （2）或10 （3）【解析】【分析】（1）根据集合新定义，确定中最小的元素即可；（2）根据集合中的元素可得，设，分别讨论当时，当时，当时，的取值情况，即可得结论；（3）设，则，其中，所以，根据组合数的运算性质确定与的关系，即可求得的值.【小问1详解】中的最小元素为.【小问2详解】由题得，设，.当时，或或或或或.经检验，当时，符合题意，所以.当时，或或或.经检验，当时，符合题意，所以.当时，不符合题意.因此，或10.【小问3详解】设，则，其中，所以，设，则.因为，所以.因为，所以，所以，又因为，所以.【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，注意两点：（1）根据集合定义式，确定集合中元素的特点，结合指数运算确定指数的取值情况从而得集合中的元素性质；（2）确定集合中的元素个数为时，结合组合数的运算性质确定与的关系.第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司
