1、现代电子技术Modern Electronics TechniqueDec.2023Vol.46 No.242023年12月15日第46卷第24期0 引 言多轴转台作为空间角度的发生装置，被广泛应用于飞行器姿态测量、惯性导航测试与校准、精密加工等领域1。多轴转台的精度由多个环节的指标精度综合而得，其中回转轴线相交度是其重要的指标。安装、调整多轴转台的过程中会导致各轴之间存在相交误差而不能完全相交，从而影响多轴转台实际测量时的精度，转台转动过程中负载和转速会导致轴线相交度发生变化。转台安装、调试、校准、应用环节对轴线相交度的实时快速测量，有助于提高转台的测量精度2。针对多轴转台轴线相交度的求解问
2、题，众多研究人DOI：10.16652/j.issn.1004373x.2023.24.001引用格式：陈雨婷，薛梓，谢胜龙，等.基于多边法的多轴转台相交度测量方法J.现代电子技术，2023，46（24）：17.基于多边法的多轴转台相交度测量方法陈雨婷1，薛 梓2，谢胜龙1，邹 伟2，朱 进3，肖美梁1（1.中国计量大学 机电工程学院，浙江 杭州 310018；2.中国计量科学研究院，北京 100029；3.浙江省计量科学研究院，浙江 杭州 310018）摘 要：随着导航、光电跟测和飞行仿真等技术的飞速发展，对多轴转台的测量精度要求越来越高。轴线相交度是多轴转台重要的技术指标，为此，提出一种基
3、于多边法的激光跟踪干涉仪测量多轴转台相交度的方法。该方法首先对激光跟踪干涉仪位置进行自标定，构建坐标系；其次将靶球依次安装于双轴转台（方位轴和俯仰轴）的测量平面，利用多台激光跟踪干涉仪跟踪靶球，分别测量两轴的转动轨迹，采用最小二乘法对获取的轨迹进行拟合，通过所有轨迹点建立双轴转台回转轴线相交度的求解方程，以实现其相交度测量；最后重点分析了测量方法的主要误差来源，对测量不确定度进行评价。实验表明：所提方法相较传统测量方法测量误差更小，减小了动态测量盲区，无需辅助工件，且不受轴数限制，能够无接触、高精度测量。关键词：相交度测量；多轴转台；多边法；激光干涉；最小二乘法；误差分析中图分类号：TN249
4、34；TH711 文献标识码：A 文章编号：1004373X（2023）24000107Intersection measurement of multiaxis rotary table based on multilateral methodCHEN Yuting1,XUE Zi2,XIE Shenglong1,ZOU Wei2,ZHU Jin3,XIAO Meiliang1(1.College of Mechanical,China Jiliang University,Hangzhou 310018,China;2.National Institute of Metrology,Chi
5、na,Beijing 100029,China;3.Zhejiang Province Institute of Metrology,Hangzhou 310018,China)Abstract：With the rapid development of navigation,photoelectric tracking,and flight simulation technologies,the measurement accuracy requirements for multiaxis turntables are increasing.Axis intersection is a cr
6、itical technical indicator of multi axis turntables.Therefore,a method based on the polyhedron method of laser tracking interferometry is proposed to measure the axis intersection of multi axis turntables.Firstly,the laser tracking interferometer position is self calibrated to construct a coordinate
7、 system.Next,a target ball is sequentially installed on the measurement plane of each axis(azimuth axis and pitch axis)of the twoaxis turntable.Multiple laser tracking interferometers are used to track the target ball,and the rotation trajectory of each axis is measured.The trajectory is then fitted
8、 by means of the least squares method,and an equation for solving the axis intersection of the two axis turntable is established using all trajectory points to achieve its intersection measurement.Furthermore,the main error sources of the measurement method are analyzed,and the measurement uncertain
9、ty is evaluated.The experimental results show that,in comparison with traditional measurement methods,the proposed method has smaller measurement errors,can reduce the dynamic measurement blind zone,not require auxiliary workpieces,is not limited by the number of axes,and can achieve contactless hig
10、hprecision measurement.Keywords：intersection measurement;multiaxis rotary table;multilateral method;laser inferfermeter;least square;error analysis 收稿日期：20230508 修回日期：20230614基金项目：国家自然科学基金重点项目（51935004）；基本科研业务重点领域（AKYZD2213）1 1现代电子技术2023年第46卷员提出了测量方法。Zhou J等使用打表法测量安装于三轴转台上的三维实体棒转动角度并对其调同轴，通过测量三维实体棒得
11、出影响轴线的长度及角度信息3；毕超等将三坐标机作为辅助测量仪器，移动转台找到最佳测量位置，测量标定物标定轴线4；Guo X T等采用单站相机测量转台上若干靶标，建立转台坐标系，测量一定范围的靶标位置信息进而计算轴线5；仁顺清等采用水平仪测量轴线铅垂度，再用经纬仪观测安装于轴端的靶标，结合细丝引出各轴轴线，得到了五轴转台非整周回转的轴线6；于之靖等提出一种基于单 CCD相机多基站测量法，建立了单点多站光线交会模型，通过整周空间点位姿拟合球面获得球心，进一步拟合轴线7；鲁亚楠等将多站相机固定于转台上，通过对相机自身标定来测量转台平面8；王明元等人采用激光跟踪仪跟踪轴两端靶镜，静态测量整周转动中的若
12、干点，构造两圆并通过连接两圆心获得轴线方程9；余佳焕等提出一种室外全站仪跟踪棱镜测量太阳能发电系统装置轴线的方法，对测量点进行平面拟合与球拟合，得到轴线方程，精度在毫米级10。目前相交度测量方法分为接触式测量和非接触式测量两种。接触式测量主要有打表法、细丝法等依靠辅助工件测量的方法，需要考虑工件安装精度且操作繁琐，不适用于实时测量1112。非接触式测量按照测站数量分为单站和多站，常规的单站测量通过长度和角度结合测量被测物的空间位置，测量盲区较大；多站法可以减小测量盲区，以激光跟踪干涉仪为例，仅通过长度量实现目标的位置测量，不需要引入角度，避免了引入角度测量带来的误差，是当前测量精度较高的方法1
13、314。本文利用多台激光跟踪干涉仪，构建了一个可实时跟踪测量多轴转台转动轨迹的多站测量系统。1 基于激光测距的转台相交度测量原理1.1 测量系统参数标定为获取多轴转台的空间位置，首先采用四路激光跟踪干涉仪（基站）S1、S2、S3、S4组成测量网，构建坐标系，四路是实现系统参数标定的最小单元，标定布局如图 1所示。通过标定确定仪器参数（xsn,ysn,zsn），n=1,2,3,4。其中设 S1为坐标系原点（0,0,0），S2在 x轴上设为（xs2,0,0），S3在 xOy平面内设为（xs3,ys3,0），S4为靠近 xOy平面的基站，设为（xs4,ys4,zs4）。采用若干动点以及z方向的距离d
14、作为约束进行系统参数和初始点 P1位置的标定15。在 x 方向分布的三个平面上均匀选取27个标定点，4台激光跟踪干涉仪同时跟踪靶球，通过移动靶球依次获取所有标定点对应的干涉测长值。利用最小二乘原理求解系统参 数，为 避 免 迭 代 出 现 奇 异 值，使 用 Levenberg Marquardt16进行求解。图1 坐标系及参数标定布局1.2 双轴转台转动轨迹点测量双轴转台轴测量示意图如图 2 所示。双轴转台具有水平轴与竖直轴（对应卧式转台与立式转台），两者相互的空间关系如图 2a）所示，水平轴被测面面向坐标系xOy平面，竖直轴的被测平面与 xOy平面近似垂直。系统参数标定后，任意三路或四路基
15、站可实现目标点坐标测量，由于双轴转台的高度与地面基站 S4相近，靶球水平放置于竖直轴被测面转动时容易导致S4断光，故采用基站位置较高的S1、S2、S3进行测量。图2 双轴转台轴测量示意图基站和初始点P1的空间坐标均已知，初始点对应的初始长度 ln1已知，保持靶球不断光，通过将靶球转移至转台被测面的靶座上跟随转台转动，得到靶球转动轨迹任一动点对应的干涉测长lni，即可得基站测得的目标点相对于初始点的距离变化量l。根据距离变化量与初始点坐标，得到每台基站到任一目标点的实际测量距离公式为：dni=(xsn-x1)2+(ysn-y1)2+(zsn-z1)2+l（1）式中l=lni-ln1。根据三球交会
16、原理，任意 3台基站测量的目标点在2第24期空间中存在正解与负解，均取正解作为目标点的坐标。将基站测量的距离值代入式（2）即可解算目标动点Ti(xi,yi,zi)，i=1,2,n的坐标值。x2i+y2i+z2i=d21i(xi-xs2)2+y2i+z2i=d22i(xi-xs3)2+(yi-ys3)2+z2i=d23i（2）靶球接收光范围为-6060，对于水平轴，基站组成的测量网位于卧式转台被测面一侧，转台转动过程中不存在遮挡现象，可获取完整的转动轨迹点；对于竖直轴，为避免立式转台转动时卧式转台遮挡光路，分段获取转动轨迹点。轨迹点为空间中分布在圆轨迹附近的散点，将散点拟合于平面，得到平面对应的
17、法向量与拟合轨迹的圆心，以此获得回转轴的平均轴线方程。1.3 回转轴轴线相交度求解根据 1.2节中动态测量原理，获取轴线的关键在于确定被测平面。为使求解的离散点尽可能在一个平面上，构建不过原点的平面方程：Ax+By+Cz=1（3）将离散点代入式（3）表示为矩阵形式：HX=I（4）H=x1,y1,z1x2,y2,z2xi,yi,zi（5）式中：X为待求平面参数，X=A,B,C T；I=1,1,1，构成超定方程。根据离散数据最小二乘拟合方式，由式（6）求出平面参数。X=(HTH)-1HTI（6）另外，圆上任意两点连线的中垂线经过圆心 M（xc,yc,zc），则两垂直向量关系可用下式表示：ri,1
18、rc=0（7）圆上所有点写成矩阵形式为：QMT=I（8）式中：I=12(x2i+1+y2i+1+z2i+1-x21-y21-z21)；系数矩阵Q 为第 i+1 个点与第 1 个点的差。假设圆心在所求的式（3）平面中，则：XTMT=1（9）根据式（8）、式（9）求解空间圆心坐标，拟合半径 R由圆心及各轨迹点求出：R=1ni=1n(xi-xc)2+(yi-yc)2+(zi-zc)2（10）根据平面参数得到竖直轴、水平轴法向量为N1=(a1,b1,c1)、N2=(a2,b2,c2)，两个向量叉乘得到两异面轴线公垂线的向量：P=(b1c2-c1b2,a1c2-a2c1,a1b2-b1a2)（11）两个
19、拟合圆心M1、M2为水平轴与竖直轴上两点，异面两轴线间最短距离为两圆心向量在公垂线向量方向上的投影，即回转轴线相交度，公式如下：=|M1M2P|P（12）2 基于激光跟踪干涉仪的多站测量系统的不确定度分析对于激光跟踪干涉仪测量的目标点坐标以及多轴转台轴线相交度解算结果，影响结果不确定度的因素主要有激光干涉测距误差、坐标系统参数标定引起的测长误差、多光路交会于光学中心不一致造成的测长误差和转台端跳误差。除此之外，存在空气温湿度等环境因素造成的测长误差，因实际实验时在恒温恒湿隔振实验室进行，环境影响较小，故仅研究对测量结果影响较为明显的误差因子。实际应用中使用多台仪器（数量3）进行动态测量，本文按
20、照3台基站（最小测量单元）对测量方法展开分析。2.1 多站激光干涉测长误差引入的不确定度由于每个基站位置不同，与被测目标点的距离不同，目标点在空间中移动时每个基站对应的测距并不是同时增大或减小，对于测距误差引入的空间点坐标不确定度无法统一衡量，所以需要通过仿真进行分析。按照 1.2 节中原理在仿真中建立坐标系，选择 S1、S2、S3作为测量基站，设置基站坐标真值分别为（0，0，0）、（1 965，0，0）、（1 452，4 132，0）、（-897，4 154，460），初始点 P0（-1 300，1 000，3 000），设定测量区域 x-1 500，500，y0，4 000，z3 000，
21、8 000，单位为mm，在该区域布置三个方向上的若干散点，如图3所示。图3 仿真点分布将每个基站与每个目标点间的距离lni、基站距离初始点的长度ln0作为理论真值的代入量。基于激光跟踪干涉仪的多边法，依靠长度变化量解算坐标，初始点固定，长度变化量l的误差与目标点到陈雨婷，等：基于多边法的多轴转台相交度测量方法3现代电子技术2023年第46卷测量网的距离有关，且随着距离增加，激光干涉测距带来的误差也在增大，其单站的测距不确定度U=0.2 m+0.3 m/m。为了分析多站激光跟踪干涉测长误差对空间内不同方向上分布的点坐标测量不确定度的影响，将图3中x、y、z方向上均匀分布的所有三维点作为被测点，对
22、基站与各点之间的距离真值加入-U,U之内的随机噪声模拟测量值，进行 10 000次仿真，测量求解所有空间点三维坐标，并对三个方向的每个点进行坐标分量的不确定度计算。被测点在 z方向上分布时，即被测点在垂直于测量网的方向上移动，点坐标分量不确定度如图4所示。随着空间点 z值增加，点坐标分量 z的不确定度增大趋势较为明显；z值变化对点坐标分量 y的不确定度几乎没有影响，对点坐标分量 x影响较小，在测量空间内其不确定度不超过0.2 m。图4 z方向上不确定度变化规律被测点在 y方向上分布时，即被测点相较于测量网横向移动，点坐标分量不确定度如图5所示。图5 y方向上不确定度变化规律由图 5可知：空间点
23、坐标分量 x的不确定度变化较为稳定，约为 0.85 m；分量 y 不确定度在被测点处于中间位置（y=2 m）时最小，对坐标标准不确定度的影响可以忽略不计，向两段移动时逐渐增大。被测点在 x方向上分布时，即被测点相较于测量网纵向移动，点坐标分量不确定度如图6所示。在测量空间内被测点的高度越接近坐标原点 S1，其坐标分量 x的不确定度越小，坐标分量z与之相反，坐标分量y的不确定度几乎不受被测点的纵向移动影响，较为稳定。图6 x方向上不确定度变化规律经分析，测距误差对空间点坐标分量不确定度的影响在 x、y、z方向上分别呈现不同的规律，点坐标分量 y的不确定度只有在点坐标 y值变化时有明显改变，当被测
24、点为点 P8（x=-1 300 mm,y=3 000 mm,z=4 000 mm）时，其坐标分量 x、y、z的不确定度为 0.85 m、0.29 m、0.68 m，则实际的激光干涉测长误差导致的三维空间点坐标的标准不确定度为：u1=0.852+0.292+0.682=1.12 m（13）2.2 系统参数标定误差引入的不确定度测量目标点坐标之前需先对系统参数进行标定，再对目标进行跟踪测量。系统参数标定是误差的主要来源，根据测量原理式（2）可知，系统参数误差会直接引起目标点的坐标测量误差，导致解算结果出现误差，从而影响目标点测量不确定度。引入标定误差后基站坐标变为(xe,ye,ze)=xn+x,y
25、n+y,zn+z，由基站坐标偏差引起的测距误差d为：d=xi-(xn+x)2+yi-(yn+y)2+zi-(zn+z)2-(xi-xn)2+(yi-yn)2+(zi-zn)2（14）被测点以 P8为例，标定的系统参数误差为 30 m时，代入式（14）计算得到基站与空间点间距离的最大误差为 23.7 m，通过仿真判断，参数标定结果的分布服从正态分布，k=3，则以最小测量单元测量时，参数标定引入的三维空间点坐标标准不确定度为：u2=3 23.73 13.7 m（15）2.3 多光路交会误差引入的不确定度理想情况下，激光跟踪干涉仪在跟踪靶球时射入光线从靶球反射镜光学中心返回，多路光交于一点；而实际测
26、量中靶球发生转动，激光跟踪干涉仪的激光随靶球而动并不断调整光路以跟踪靶球球心，因此存在实际测4第24期量球心位置误差，进而造成光路光程差17，示意图如图7所示，其中虚线光路为理论光路，实线光路为实际光路。图7 光程差示意图理论上认为多光路跟踪靶球时对准靶球中心一极小区域内，使得三路光交会于光学中心 P，但由于光程差的存在，多路光各自对准靶镜上不同的位置，导致解算的实际交会点P位于灰色误差区域，如图8所示。图8 多光路交会误差多光路实际交会中心与理论光学中心存在误差，靶球光学中心测量误差18约为3 m，截面圆度误差19为0.2 m，按照靶球区域内均匀分布考虑，则多光路交会中心引入的三维空间点坐标
27、的标准不确定度为：u3=3 32+0.223 3 m（16）2.4 转台端面跳动误差引入的不确定度转台转动过程中会发生端面跳动，转台自身转动轨迹并非是平滑的，实际测量轨迹点受到端跳影响，拟合圆心位置也随着轨迹点的变动而发生偏移，需要通过拟合计算对轨迹进行一定的修正，对转台存在端跳误差的轨迹进行拟合，分析端跳误差对轨迹圆心的影响。仿真设定测量空间内生成一段完整的参考圆轨迹，对所有轨迹点加入01 m的端跳噪声，截取0 90的弧段，对比不同端跳噪声在拟合后对拟合结果的影响，其中拟合圆半径不确定度在 10-9量级，可忽略不计，拟合圆心的坐标不确定度如图9所示，转台端跳噪声引入的三维空间点坐标的不确定度
28、u4均在10-4 m级。2.5 空间点测量合成不确定度由前文分析可知，转台端跳噪声对测量结果的干扰较小，另外3个主要的系统误差对空间点坐标不确定度影响较为明显，空间点坐标的合成不确定度由3个主要系统误差引入的不确定度进行合成，因实际测量位置位于图3中点P8（x=-1 300 mm,y=3 000 mm,z=4 000 mm）附近，故以该点坐标为例，该方法测量的空间点坐标合成不确定度为：u=u21+u22+u23=1.122+13.72+32 14.1 m（17）图9 端跳误差引入的不确定度3 双轴转台动态测量实验为进一步验证测量方法的可行性，设计激光跟踪干涉仪测量轴相交度实验，激光跟踪干涉仪布
29、局如图 10所示。图10 激光跟踪干涉仪布局3.1 标定结果及干涉测距误差验证实验测量前按照1.1节中的方法对测量系统进行参数标定，参考距离 d 为 1 158.514 0 mm，参数标定结果依次为S2（1 964.787 4,0,0）、S3（1 452.330 2,4 132.171 9,0）、S4（-896.358 9,4 503.933 4,487.189 5），d=1 158.515 0 mm，参考距离d的标定误差为1 m。采用长导轨与一台激光干涉仪对测量系统进行精度验证，长导轨与测量网的径向距离约为 6 800 mm，测量装置如图11所示。图11 标准距离测量装置陈雨婷，等：基于多边
30、法的多轴转台相交度测量方法5现代电子技术2023年第46卷将靶球安装于导轨移动平台的靶座上并使三路激光跟踪干涉仪跟踪靶球，控制导轨使移动平台移动多段标准距离，记录起点和终点时的激光干涉仪示值与三路激光跟踪干涉仪的示值，根据式（2）原理测量每段位移起点和终点的空间坐标，以干涉仪的测量示值作为真值进行对比，比较不同距离下激光跟踪干涉仪的测量误差，3次实验的测量结果如表1所示。表1 标准距离测量误差距离/mm499.999 0999.992 91 499.988 01 999.982 1第1组/m-4.5-1.99.912.2第2组/m-3.12.14.811.1第3组/m-4.29.87.414.
31、1均值/m-3.93.37.412.5在距离测量网径向距离为 6 800 mm 时，三路激光跟踪干涉仪测量横向分布的标准距离最大误差为14.1 m。常规采用的激光跟踪仪因引入了角度误差，其点位测量不确定度为 15 m+6 m/m，在此径向距离下跟踪仪的测量误差约为56 m，本文方法的测量误差显然低于激光跟踪仪测量误差，可满足测量需求。3.2 双轴转台轴线相交度测量双轴转台由立式转台（竖直轴）、卧式转台（水平轴）组成，如图12所示。图12 双轴转台靶球安装于竖直轴负载平面时，转台转动导致靶球实际接收光范围小于120，使靶球边缘尽可能与负载平台呈大约 40，能够保证不断光情况下增大靶球接收光范围，
32、测量步骤如下：1）将已接光的靶球放置在初始点固定靶座上，采集 3台激光跟踪干涉仪的初始信息 ln0；然后保持光路无阻断情况下，将靶球转移至竖直轴负载平台的固定靶座上。2）3台激光跟踪干涉仪通过同步触发开始测量，水平轴处于锁紧状态，竖直轴从0起逆时针转动80，采集靶球轨迹对应的激光跟踪干涉仪长度信息。3）竖直轴回到零位，重复测量 3次，完成后保持靶球不断光将其放置于水平轴所在平面。4）将转台水平轴所在平面面向基站一侧，竖直轴锁紧，水平轴从0起转动360，转速相同，获取靶球轨迹对应的激光跟踪干涉仪长度信息。5）将采集的测长信息通过 1.2 节中算法进行转动轨迹散点坐标解算，采用前述拟合方法对圆轨迹
33、进行拟合，竖直轴测量结果如表 2 所示，水平轴测量结果如表3所示。表2 竖直轴转动轨迹拟合结果组数123均值圆心x-1 285.099 3-1 285.102 0-1 285.091 7-1 285.097 7y3 288.243 03 288.234 23 288.227 23 288.234 8z4 308.657 34 308.638 64 308.655 04 308.650 3半径r244.389 9244.391 0244.389 4244.390 1表3 水平轴转动轨迹拟合结果组数123均值圆心x-1 250.213 8-1 250.209 4-1 250.209 9-1 250
34、.211 0y3 311.580 93 311.580 03 311.588 03 311.583 0z4 381.593 54 381.597 54 381.592 34 381.594 4半径r81.439 581.436 081.435 881.437 1竖直轴的 3 组轴线方向向量分别为1.000,0.001 8,-0.004 7、1.000,0.001 9,-0.004 8、1.000,0.001 7,-0.004 7，取均值得1.000,0.001 8,-0.004 7，单位为mm。水平轴的 3 组轴线方向向量均为0.007 2,0.291 9,0.956 4，单位为mm。获得轴线
35、所过圆心与轴线方向向量的均值后，根据测量原理式（12），可计算本文所采用的方法测量该双轴转台轴相交度为0.904 0 mm。4 结 语本文提出一种基于多边法的多轴转台回转轴线相交度测量方法，重点分析了测量方法的主要误差源，并对测量不确定度进行评价。采用长导轨结合激光干涉仪形成不同大小的标准距离以验证该方法的测量精度，并与常规单站法使用的激光跟踪仪进行对比，因其仅依6第24期靠长度实现目标的坐标测量，避免了角度误差带来的影响，所以测点误差相比单站法的误差小。该方法比接触式方法操作容易，能够实时测量并获得双轴转台的轴线参数，计算得到双轴转台的轴相交度为 0.904 0 mm，减小了传统方法测量的盲
36、区且不受轴数限制，同样适用于其他回转轴的测量，能够达到非接触、快速、高精度的动态测量要求。参考文献1 陈志斌，肖文健，马东玺，等.大尺寸空间角测量技术进展及其分析J.应用光学，2016，37（3）：407414.2 BISOGNI L,MOLLAIYAN R,PETTINARI M,et al.Automatic calibration of a twoaxis rotary table for 3D scanning purposes J.Sensors,2020,20(24):7107.3 ZHOU J,SUN P Y,CHANG J T.Measurement method for or
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