1、第5章IIR数字滤波器设计 第5章IIR数字滤波器设计 5.1数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 5.2模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 5.3利用模拟滤波器设计利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器数字滤波器 习题习题 第5章IIR数字滤波器设计 5.1数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念5.1.1滤波的概念滤波的概念在信号处理过程中，所处理的信号往往混有噪声，从接收到的信号中消除或减弱噪声是信号传输和处理中十分重要的问题。根据有用信号和噪声的不同特性，消除或减弱噪声，提取有用信号的过程称为滤波，实现滤波功能的系统称为滤波器。图5.1.1是滤波过程的示意图，如图所示，滤波器可以将所需要
2、的信号和干扰分离。例如，需要滤除声音信号中的噪声，就要设计一个合适的滤波器，它只能通过所需要的信号。第5章IIR数字滤波器设计 但实际上，只有很少的情况中能够完全滤除干扰；大多数情况下，只能折中处理，滤除绝大多数(并非全部)干扰，同时保留尽可能多(并非全部)的信号成分。图 5.1.1滤波过程第5章IIR数字滤波器设计 数字滤波器和模拟滤波器(Analog Filter，AF)有同样的滤波概念，只是信号的形式和实现滤波的方法不同。模拟滤波器是用电阻、电容、电感及有源器件等构成的，而数字滤波器是通过对输入信号进行数值运算的方法来实现滤波的。正因为有该不同点，数字滤波器具有比模拟滤波器精度高、稳定、
3、体积小、重量轻、灵活、不要求阻抗匹配以及实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能等优点。对于数字滤波器要求系统的输入、输出信号均为数字信号。如果要处理的是模拟信号，可通过在输入端和输出端分别加上模/数转换器和数/模转换器的方法，就可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。第5章IIR数字滤波器设计 数字滤波是通过离散时间系统来实现的，本书所讨论的线性时不变系统可以用单位脉冲响应h(n)、线性常系数差分方程和系统函数H(z)三种方式来描述，即(5.1.3)(5.1.2)(5.1.1)第5章IIR数字滤波器设计 其中，x(n)为输入信号，y(n)为滤波器的输出信号，是对x(n)滤波后的结果。上面的卷积和求
4、解差分方程的计算就是对x(n)的滤波，滤波特性由h(n)或ak和bk决定。后面会看到，所谓数字滤波器设计，就是根据滤波的要求，寻找滤波器单位脉冲响应h(n)，或滤波器系统函数H(z)(由ak和bk确定)的有效方法。滤波器可用于波形成形、调制解调、信号提取、信号分离和信道均衡等。所以，学习滤波器的设计与实现是必不可少的。第5章IIR数字滤波器设计 5.1.2滤波器的分类滤波器的分类滤波器的种类很多，但总的来说可以分成两大类，即经典滤波器和现代滤波器。经典滤波器即选频滤波器，是假定输入信号中的有用成分和希望去除的成分各自占有不同的频带(如图5.1.1所示)，这样，当输入信号通过一个线性系统(即滤波
5、器)后可将欲去除的成分有效地去除。如果信号和噪声的频谱相互重叠，那么经典滤波器将无能为力。现代滤波器的理论建立在随机信号处理的理论基础上，将信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计特征(如自相关函数、功率谱等)导出最佳的估值算法，从干扰中提取有用信号。第5章IIR数字滤波器设计 现代滤波器理论源于维纳在20世纪40年代及其以后的工作，因此维纳滤波器便是这一类滤波器的典型代表。此外还有卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤波器等。本书只讨论经典滤波器。经典滤波器从功能上可分为四种，即低通(Low Pass，LP)、高通(High Pass，HP)、带通(Band，Pass，BP)、带阻(Band S
6、top，BS)滤波器。当然，每一种又有模拟滤波器(AF)和数字滤波器(DF)两种形式。第5章IIR数字滤波器设计 图5.1.2给出了AF及DF的四种滤波器的理想幅频响应。由于理想滤波器的单位脉冲响应均是非因果且是无限长的，因此是不可能实现的。在实际工作中，要求设计的滤波器必须是物理可实现且稳定的。我们只能按某些准则设计滤波器，使之尽可能逼近理想滤波器，这些理想滤波器可作为逼近的标准用。另外需要注意的是，AF幅频特性的频率取值范围为0，而DF幅频特性是以2为周期的，在02的频率范围内，=0是零频率，而=是最高频率。第5章IIR数字滤波器设计 图 5.1.2理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性
7、第5章IIR数字滤波器设计 数字滤波器从实现的网络结构上考虑，将滤波器分成无限长脉冲响应(IIR)数字滤波器和有限长脉冲响应(FIR)数字滤波器。IIR滤波器的差分方程为从式(5.1.4)可以看出，滤波器n时刻的输出y(n)不仅与n时刻的输入x(n)以及n时刻以前的输入信号x(n1)、x(n2)、x(nM)等有关，还与n时刻以前的输出信号y(n1)、y(n2)、y(nN)等有关。其单位脉冲响应h(n)是无限长序列，而其结构上存在反馈支路，属于递归型结构。(5.1.4)第5章IIR数字滤波器设计 FIR滤波器的差分方程为从式(5.1.5)可以看出，滤波器n时刻的输出y(n)只与n时刻的输入x(n
8、)以及n时刻以前的输入信号x(n1)、x(n2)、x(nM)等有关。其单位脉冲响应h(n)是有限长序列，其结构上不存在反馈支路，属于非递归型结构。(5.1.5)第5章IIR数字滤波器设计 这两类滤波器无论是在性能上还是在设计方法上都有很大的区别。FIR滤波器可以对给定的频率特性直接进行设计，而IIR滤波器目前最通用的方法是利用已经很成熟的模拟滤波器的设计方法来进行设计。因此在后面的章节介绍滤波器设计方法和网络结构时均按照IIR和FIR两种滤波器分别进行介绍。第5章IIR数字滤波器设计 5.1.3滤波器的技术指标滤波器的技术指标设数字滤波器的频率响应H(ej)为H(ej)=|H(ej)|ej()
9、(5.1.6)式中，|H(ej)|称为幅频特性，()称为相频特性。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况，而相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。因此，即使两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不一样，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。下面分别介绍数字滤波器的幅频特性和相频特性指标。第5章IIR数字滤波器设计 1.幅频特性指标幅频特性指标图5.1.2所示的各种理想滤波器物理上是不可实现的，其根本原因是频率响应从通带到阻带之间有突变。为了物理上可实现，实际设计的滤波器在通带与阻带之间应有一定宽度的过渡带，以便允许幅频特性平滑地下降。同时，通带和阻带内不可能严格
10、为1或0，应允许有一定的偏差。容许偏差的极限称为容限。以低通滤波器为例，实际数字滤波器的幅频特性及技术指标如图5.1.3所示。第5章IIR数字滤波器设计 图 5.1.3逼近理想低通滤波器的误差容限第5章IIR数字滤波器设计 图5.1.3中，频段0，p称为通带，p称为通带截止频率，p称为通带容限，在通带内幅频特性要求为1p|H(ej)|1+p|p频段s，称为阻带，s称为阻带截止频率，s称为阻带的容限，在阻带内幅频特性要求为|H(ej)|ss|(5.1.8)(5.1.7)第5章IIR数字滤波器设计 为了压缩幅频特性曲线的刻度范围，直观地看出通带和阻带频响曲线，在工程中习惯用幅频函数的衰减dB(分贝
11、)值来描述滤波器的设计指标。通带内允许的最大衰减用p表示，阻带内允许的最小衰减用s表示，p和s分别定义为(5.1.9)(5.1.10)第5章IIR数字滤波器设计 式中均假定|H(ej0)|归一化为1。当时，p=3 dB，此时的通带截止频率称为3 dB通带截止频率，常用c表示。p、c和s统称为边界频率，它们在滤波器设计中是很重要的。图5.1.4画出了同一滤波器的幅频函数曲线和衰减dB曲线。图5.1.4(a)显示不出阻带响应曲线(近似与零值坐标轴重合)，而图5.1.4(b)清楚地显示出阻带40 dB 以下的响应曲线，这样便于观察和描述滤波器频率响应特性。所以，在后面的滤波器设计中，用幅频响应函数的
12、衰减dB值描述设计指标。第5章IIR数字滤波器设计 图 5.1.4幅频特性和幅度衰减dB曲线的对比第5章IIR数字滤波器设计 频段p，s称为过渡带，在这个过渡带内幅频特性平滑地从通带下降到阻带。从理论上说，过渡带越窄越好。但是后面会看到，当通带和阻带指标不变时，过渡带越窄，要求的滤波器阶数越高，付出的代价和成本也越高。所以滤波器技术指标要根据工程需要确定，而不是一味地追求高指标。2.相频特性指标相频特性指标数字滤波器的频率响应H(ej)为H(ej)=|H(ej)|ej()=ReH(ej)+j ImH(ej)(5.1.11)第5章IIR数字滤波器设计 则其对应的相频特性为一个理想滤波器除了具有所
13、期望的幅频特性外，还应具有线性相位，H(ej)线性相位是指()是的线性函数，即()=+(5.1.13)其中和为常数，=0时称为第一类线性相位，0时称为第二类线性相位。当输入信号x(n)经过这样的滤波器时，得到的输出信号y(n)的频谱为(5.1.14)(5.1.12)第5章IIR数字滤波器设计 式(5.1.14)说明，输出信号的相位谱是Y()=X()。对式(5.1.14)求傅里叶逆变换可得输出信号其中(5.1.15)(5.1.16)第5章IIR数字滤波器设计 y0(n)与滤波器的相位无关。可以看出，滤波器相位所引起的时延n与频率无关，这意味着输入信号的任何频率成分都有一样的时延。这说明，如果滤波
14、器具有线性相位特性，则对输入信号的时序不会有影响，即对输入信号的位移是处处相等的。例例5.1.1设有一个复合正弦信号x(n)=cos(0.1n)+cos(0.2n)分别通过两个低通滤波器，滤波器的频率响应如下：第5章IIR数字滤波器设计 则两个滤波器的输出信号y1(n)和y2(n)分别为第5章IIR数字滤波器设计 输入信号x(n)和输出信号y1(n)和y2(n)的时域波形如图5.1.5所示。可以看到，尽管两个滤波器的幅频特性完全一致，但是通过线性相位数字低通滤波器H1(ej)的输出信号y1(n)很好地保持了原始信号的波形，仅仅是延时了5个采样点。而通过非线性相位数字低通滤波器H2(ej)的输出
15、信号y2(n)则由于相位的失真而导致波形与输入信号不一致。由此例可以看出，相频响应对信号滤波以后的影响及线性相伴的重要性。通常IIR滤波器设计时只考虑幅频特性，适用于对相位要求不敏感的场合，如语音通信等。而FIR滤波器设计时实现线性相位较容易，一般同时考虑幅频和相频特性，应用对输出波形有要求，如波形传输、图像信号处理等应用中。第5章IIR数字滤波器设计 图 5.1.5系统相频特性对系统输出的影响第5章IIR数字滤波器设计 5.2模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计模拟滤波器设计本不属于数字信号处理的内容，但考虑到经典模拟滤波器理论是设计IIR滤波器的基础，因此有必要学习模拟滤波器的设计。本节简要介
16、绍模拟滤波器的基本概念和经典设计公式，略去繁杂的公式推导。前面已介绍了选频滤波器分为低通、高通、带通和带阻滤波器，而各种滤波器设计都是基于低通滤波器设计。因此，本节重点介绍低通模拟滤波器的设计公式和设计方法，然后简要介绍从低通到高通、带通和带阻滤波器的频率转换方法。第5章IIR数字滤波器设计 5.2.1模拟滤波器的幅度平方函数模拟滤波器的幅度平方函数给定模拟低通滤波器的技术指标p、p、s和s，其中p为通带内允许的最大衰减，s为阻带内允许的最小衰减，p和s的单位为dB，p为通带上限角频率，s为阻带下限角频率。现希望设计一个模拟低通滤波器Ha(s)为使其对数幅频响应10 lg|Ha(j)|2在p和
17、s处分别达到p和s的要求。(5.2.1)第5章IIR数字滤波器设计 p和s都是的函数，它们的大小取决于Ha(j)的形状，为此，我们定义一个衰减函数()即|Ha(j)|2=10()/10(5.2.3)显然p=(p)=10 lg|Ha(jp)|2s=(s)=10 lg|Ha(js)|2这样，式(5.2.3)把低通模拟滤波器的四个技术指标和滤波器的平方幅度函数|Ha(j)|2联系了起来。(5.2.2)第5章IIR数字滤波器设计 由于我们所设计的滤波器的冲激响应一般都为实函数，因而Ha(j)满足H*a(j)=Ha(j)(5.2.4)所以|Ha(j)|2=Ha(j)H*a(j)=Ha(j)Ha(j)(5
18、.2.5)又因为，可实现的模拟滤波器一定是因果的，由傅里叶变换和拉普拉斯变换的关系，令j=s，得到其幅度平方函数的拉普拉斯变换为Ha(j)Ha(j)|j=s=Ha(s)Ha(s)(5.2.6)式(5.2.6)中，Ha(s)和Ha(s)的零-极点是象限对称分布的，如图5.2.1所示。第5章IIR数字滤波器设计 图 5.2.1零、极点分布第5章IIR数字滤波器设计 这样，如果我们能由p、p、s和s求出|Ha(j)|2，然后取出它的左半平面零点zj和极点pk，就可以用这些零极点组成一个稳定的模拟滤波器，即 从这个意义上说，模拟滤波器的传递函数Ha(s)可由幅度平方函数|Ha(j)|2直接设计出来。因
19、此，平方幅度函数|Ha(j)|2在模拟滤波器的设计中起到很重要的作用。(5.2.7)第5章IIR数字滤波器设计 5.2.2模拟滤波器经典类型模拟滤波器经典类型设计模拟滤波器时，不但要求频率响应指标满足信号处理的要求，而且还要求滤波器便于硬件实现。经过多年研究开发，已经找到了多种逼近理想滤波特性的滤波器函数，其滤波特性各有特色，而且这些模拟滤波器的系统函数满足硬件综合实现条件。在此介绍五种经典的模拟低通滤波器的特征。1.巴特沃斯巴特沃斯(Butterworth)滤波器滤波器N阶巴特沃斯低通滤波器的幅度平方响应的表达式为(5.2.8)第5章IIR数字滤波器设计 其中，N为滤波器阶数，c是3 dB截
20、止频率。对几种不同的阶数N，给出归一化(c=1)巴特沃斯低通滤波器的幅频响应曲线如图5.2.2所示。图 5.2.2巴特沃斯滤波器的幅频响应第5章IIR数字滤波器设计 从图中可以看出：(1)当=0时，|Ha(j0)|2=1，即滤波器在=0处无幅度衰减。(2)当=c时，|Ha(jc)|2=0.5，|Ha(jc)|=0.707。即不管N取何值，所有的曲线都通过3 dB点，或者说衰减3 dB，这就是3 dB不变性。(3)在c，即过渡带及阻带中，|Ha(j)|2也随增加而单调减小，但由于/c1，故比通带内的速度要快得多，N越大，衰减速度越快，过渡带越窄。2.切比雪夫切比雪夫型型(Chebyshev)滤波
21、器滤波器N阶切比雪夫型低通滤波器的幅度平方响应的表达式为其中，N为滤波器阶数，p为通带截止频率，为通带波纹幅度参数，CN()是N阶切比雪夫多项式，后面两者表达式如下：(5.2.9)第5章IIR数字滤波器设计 对几种不同的阶数N，取相同的通带波纹幅度参数，对通带截止频率p进行归一化，切比雪夫型低通滤波器的幅频响应曲线如图5.2.3所示。图中，通带最大衰减p=1 dB，=0.5088。(5.2.11)(5.2.10)第5章IIR数字滤波器设计 图 5.2.3切比雪夫型滤波器的幅频响应第5章IIR数字滤波器设计 由图中可见：(1)N为偶数时，|Ha(j)|2在=0处值为，是通带内最小值；N为奇数时，
22、|Ha(j)|2在=0处值为1，是通带内最大值。(2)在p时，即过渡带及阻带中，|Ha(j)|2随增加而单调减小；阶数N值越快，衰减速度越快，过渡带越窄。第5章IIR数字滤波器设计 3.切比雪夫切比雪夫型型(Chebyshev)滤波器滤波器N阶切比雪夫型低通滤波器的幅度平方响应的表达式为其中，N为滤波器阶数，p为通带截止频率，s为阻带截止频率，为通带波纹幅度参数，CN()是N阶切比雪夫多项式。(5.2.12)第5章IIR数字滤波器设计 对几种不同的阶数N，取相同的和s，对阻带截止频率s进行归一化，切比雪夫型低通滤波器的幅频响应曲线如图5.2.4所示。图中，阻带最小衰减s=20 dB，通带最大衰
23、减p=1 dB，=0.5088。由图中可见：(1)当=0时，|Ha(j0)|2=1，即滤波器在=0处无幅度衰减。(2)在s的阻带内，幅频响应特性曲线为等波纹，N为偶数时，|Ha(j)|2在s处值为0，是阻带内最小值；N为奇数时，|Ha(j)|2在=s处值为s，是阻带内最大值。4.椭圆椭圆(Elliptic)滤波器滤波器N阶椭圆低通滤波器的幅度平方响应的表达式为其中，N为滤波器阶数，p为通带截止频率，为通带波纹幅度参数，UN()是N阶雅可比椭圆函数。雅可比椭圆函数是经典场论中的内容，实际设计中该函数需要查表计算，椭圆滤波器由此而来。(5.2.13)第5章IIR数字滤波器设计 又因为在1931年考
24、尔(Cauer)首先对这种滤波器进行了理论证明，所以其另一个通用名字为考尔(Cauer)滤波器。椭圆滤波器的典型幅频响应特性曲线如图5.2.5所示。由图5.2.5(a)可见，椭圆滤波器通带和阻带波纹固定时，阶数越高过渡带就越窄；由图5.2.5(b)可见，当椭圆滤波器阶数固定时，通带和阻带波纹越小则过渡带就越宽。所以椭圆滤波器的阶数N由通带截止频率p、阻带截止频率s、通带最大衰减p和阻带最大衰减s共同决定。相比前几种滤波器，椭圆滤波器可以获得对理想滤波器幅频响应的最好逼近，是一种性价比最高的滤波器，所以应用非常广泛。第5章IIR数字滤波器设计 图 5.2.5椭圆滤波器的幅频响应第5章IIR数字滤
25、波器设计 5.贝塞尔贝塞尔(Bessel)滤波器滤波器前面四种模拟低通滤波器的设计是以幅频响应指标为基准的，而对相位响应未作任何考虑。在许多应用场合，希望所设计的模拟低通滤波器具有线性相位特性，并能逼近幅度指标。实现这一目标的一种方法是，在满足幅度指标的滤波器后面用一个全通模拟滤波器来校正相位特性，使级联后的总系统在通带内逼近线性相位特性。但这种方法增加了模拟滤波器硬件的复杂度，对于设计A/D变换器中的抗混叠模拟滤波器和D/A变换器中的平滑模拟滤波器，这是不希望的。第5章IIR数字滤波器设计 贝塞尔滤波器在通带内逼近线性相位特性。贝塞尔低通滤波器的系统函数为Ha(s)为全极点型，并在=0的点提
26、供对线性相位特性好的逼近。即在直流频率(=0点)附近有最平坦的群延时特性。将系统函数的分母多项式BN(s)称为贝塞尔多项式。图5.2.6(a)和(b)示出了典型的贝塞尔低通滤波器的幅频响应特性曲线和相频特性曲线。应当注意，阶数相同时，贝塞尔滤波器的选择性比上述四种滤波器差。(5.2.14)第5章IIR数字滤波器设计 图 5.2.6贝塞尔滤波器的幅频和相频特性第5章IIR数字滤波器设计 6.五种类型模拟滤波器的比较五种类型模拟滤波器的比较前面讨论了五种类型的模拟低通滤波器的设计方法，前四种(巴特沃斯、切比雪夫型、切比雪夫型和椭圆滤波器)是主要考虑逼近幅度响应指标的滤波器，第五种(贝塞尔滤波器)是
27、主要考虑逼近线性相位特性的滤波器。为了正确地选择滤波器类型以满足给定的幅频响应指标，必须比较四种幅度逼近滤波器的特性。为此，下面比较相同阶数的归一化巴特沃斯、切比雪夫型、切比雪夫型和椭圆滤波器的频率响应特性。图5.2.7中滤波器指标为N=6，归一化截止频率为1、最大通带衰减为1 dB、最小阻带衰减为40 dB。第5章IIR数字滤波器设计 图 5.2.7四种模拟滤波器的幅频特性对比第5章IIR数字滤波器设计 调用MATLAB滤波器设计函数，很容易验证：当阶数相同时，对相同的通带最大衰减p和阻带最大衰减s，巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅频特性，过渡带最宽。两种类型的切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等，
28、比巴特沃思滤波器的过渡带窄，但比椭圆滤波器的过渡带宽。切比雪夫型滤波器在通带具有等波纹幅频特性，过渡带和阻带是单调下降的幅频特性。切比雪夫型滤波器的通带幅频响应几乎与巴特沃斯滤波器相同，阻带是等波纹幅频特性。椭圆滤波器的过渡带最窄，通带和阻带均是等波纹幅频特性。巴特沃斯和切比雪夫滤波器在大约四分之三的通带上非常接近线性相位特性，而椭圆滤波器仅在大约半个通带上非常接近线性相位特性。第5章IIR数字滤波器设计 贝塞尔滤波器在整个通带逼近线性相位特性，而其幅频特性的过渡带比其它四种滤波器宽得多。另一方面，在满足相同的滤波器幅频响应指标条件下，巴特沃斯滤波器阶数最高，椭圆滤波器的阶数最低，而且阶数差别
29、较大。所以，就满足滤波器幅频响应指标而言，椭圆滤波器的性能价格比最高，应用较广泛。由上述比较可见，五种滤波器各具特点。工程实际中选择哪种滤波器取决于对滤波器阶数(阶数影响处理速度和实现的复杂性)和相位特性的具体要求。例如，在满足幅频响应指标的条件下希望滤波器阶数最低时，就应当选择椭圆滤波器。第5章IIR数字滤波器设计 5.2.3模拟低通滤波器的设计模拟低通滤波器的设计模拟滤波器的一般设计过程如下：(1)根据信号处理要求确定设计指标；(2)选择滤波器类型；(3)计算滤波器阶数；(4)通过查表或计算确定滤波器系统函数Ha(s)。第5章IIR数字滤波器设计 计算滤波器阶数和求系统函数的公式和方法与所
30、选择的滤波器类型有关。下面主要介绍巴特沃斯滤波器的设计方法。其实，对每种滤波器，都有相应的计算机辅助设计程序或设计函数，因此，最主要的是掌握滤波器设计的基本原理与方法，至于那些复杂的计算公式及其计算过程，在实际设计中都是由计算机完成的。这里以巴特沃斯模拟低通滤波器设计为例进行介绍。由前述已知，巴特沃斯模拟低通滤波器的特性完全由阶数N和3 dB截止频率c确定，所以设计巴特沃斯模拟低通滤波器的过程可分两步：第一步，根据设计指标求阶数N和3 dB截止频率c；第二步，求系统函数Ha(s)。下面分别进行推导和介绍。第5章IIR数字滤波器设计 1.求阶数求阶数N和和3 dB截止频率截止频率c给定模拟低通滤
31、波器的技术指标通带内允许的最大衰减p、通带截止角频率p、阻带内允许的最小衰减s和阻带截止角频率s。根据式(5.2.1)和式(5.2.2)，并考虑巴特沃斯滤波器的单调下降特性(若边界频率点满足指标，则其它频率点必然满足要求。)以及Ha(j0)=1，可以得到(5.2.16)(5.2.15)第5章IIR数字滤波器设计 当=p时，幅度平方响应函数为将上式代入(5.2.15)得上式两边取指数后可得(5.2.18)(5.2.19)(5.2.17)第5章IIR数字滤波器设计 同理，可得式(5.2.19)除以式(5.2.20)消去c，得到只有一个未知量N的方程：(5.2.20)(5.2.21)第5章IIR数字
32、滤波器设计 则N的值为整数，通常N取大于或等于式(5.2.22)的整数。除了用式(5.2.22)计算N外，当阶数较低时，可以用曲线求得N后，由式(5.2.19)和式(5.2.20)均可求得c：(5.2.22)第5章IIR数字滤波器设计 用式(5.2.23)和式(5.2.24)所求的c均满足指标要求，只是用式(5.2.23)求c时，通带指标刚好满足要求，阻带指标有富裕量；用式(5.2.24)求c时，阻带指标刚好满足要求，通带指标有富裕量。实际设计时根据工程需求灵活选择。(5.2.23)(5.2.24)第5章IIR数字滤波器设计 2.求系统函数求系统函数Ha(s)将巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数
33、写成s的函数：由上式可知，幅度平方函数有2N个极点，极点为(5.2.25)(5.2.26)第5章IIR数字滤波器设计 式中，k=0，1，2N1个极点等间隔分布在半径为c的圆上(该圆称巴特沃斯圆)，间隔是。例如N=3，极点间隔为，极点分布如图5.2.8所示。为形成稳定的滤波器，取s左半平面的N个极点(k=0，1，N1)构成Ha(s)；而右半平面的N个极点(k=N，N+1，2N1)构成Ha(s)。因此，巴特沃斯低通滤波器系统函数Ha(s)可写为(5.2.27)第5章IIR数字滤波器设计 图 5.2.8三阶巴特沃斯滤波器极点分布第5章IIR数字滤波器设计 上面介绍的是通过直接计算极点来求系统函数的方
34、法。在实际工程设计时，滤波器设计手册会以表格形式列出各阶巴特沃斯归一化(c=1)低通滤波器的各种参数(见表5.2.1)。由表5.2.1中参数可以写出N阶巴特沃斯归一化低通原型系统函数：(5.2.28)第5章IIR数字滤波器设计 或G(p)中的分母可选择极点、分母多项式和分母因式三种形式。然后去归一化，得到3 dB截止频率为c的低通滤波器系统函数：(5.2.30)(5.2.29)第5章IIR数字滤波器设计 表表5.2.1归一化归一化N阶巴特沃思多项式系数阶巴特沃思多项式系数 第5章IIR数字滤波器设计 例例5.2.1已知通带截止频率为fp=500 Hz，通带最大衰减为p=1 dB，阻带截止频率为
35、fs=1000 Hz，阻带最小衰减为s=20 dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器，写出系统函数Ha(s)。解解(1)求阶数N和3 dB截止频率c。所以取N5。第5章IIR数字滤波器设计 按式(5.2.24)计算3 dB截止频率c为(2)求系统函数。由式(5.2.26)，有得5个极点分别为第5章IIR数字滤波器设计 最后第5章IIR数字滤波器设计 其中，b=9.8421017，分母多项式系数如下表：也可查表5.2.1得到所以第5章IIR数字滤波器设计 所设计滤波器的幅频响应曲线如图5.2.9 所示。由此例可见，阶数较高时，计算量很大，而且数据范围也很大。所以，实际工作中，根据技术指标，
36、一般利用计算机辅助来设计模拟低通滤波器。第5章IIR数字滤波器设计 图 5.2.9巴特沃斯模拟低通滤波器的幅频响应(例5.2.1)第5章IIR数字滤波器设计 5.2.4高通、带通及带阻滤波器的设计高通、带通及带阻滤波器的设计在模拟滤波器设计手册中，各种经典滤波器的设计公式都是针对低通滤波器的，并提供低通原型到其它各种滤波器的频率变换公式。所以，不论设计哪种滤波器，都可以先将该滤波器的技术指标转换为相应的归一化低通原型滤波器指标，按照该技术指标先设计低通滤波器，再通过频带转换，将低通的系统函数转换成所需类型的滤波器系统函数。模拟高通、带通、带阻滤波器设计流程如图5.2.10所示。设计过程中涉及的
37、频带变换公式和指标转换公式较复杂，其推导更为复杂。第5章IIR数字滤波器设计 本节首先介绍高通、带通及带阻滤波器的幅度特性参数，然后给出频带变换公式，最后举例说明设计高通、带通和带阻滤波器的方法。对那些繁杂的设计公式推导不作叙述，有兴趣的读者请参阅相关书籍。图 5.2.10模拟高通、带通、带阻滤波器设计流程第5章IIR数字滤波器设计 1.模拟滤波器的幅度特性参数模拟滤波器的幅度特性参数高通滤波器的幅度特性如图5.2.11(a)所示。图中ph和sh分别表示高通滤波器的通带截止频率和阻带截止频率；通带最大衰减和阻带最小衰减仍用p和s表示。带通滤波器的幅度特性如图5.2.11(b)所示。图中pl和p
38、u分别表示带通滤波器的通带下限频率和通带上限频率；sl和su分别表示带通滤波器的阻带下限频率和阻带上限频率；通带最大衰减和阻带最小衰减仍用p和s表示。另外定义0=pupl，称0为通带中心频率；B=pupl，称B为通带带宽，一般用B作为归一化参考频率。第5章IIR数字滤波器设计 带阻滤波器的幅度特性如图5.2.11(c)所示。图中pl和pu分别表示带阻滤波器的通带下限频率和通带上限频率；sl和su分别表示带阻滤波器的阻带下限频率和阻带上限频率；通带最大衰减和阻带最小衰减仍用p和s表示。另外定义20=pupl，称0为通带中心频率；B=pupl，称B为通带带宽，一般用B作为归一化参考频率。第5章II
39、R数字滤波器设计 图 5.2.11各种滤波器幅频特性曲线及边界频率示意图第5章IIR数字滤波器设计 2.模拟滤波器的频带转换方法模拟滤波器的频带转换方法为了叙述方便，用G(p)表示模拟低通滤波器的系统函数，p、s和c分别表示归一化模拟低通滤波器的通带截止频率、阻带截止频率和通带3 dB截止频率，高通、带通及带阻滤波器对应的频带变换关系如表5.2.2所示。第5章IIR数字滤波器设计 表表5.2.2模拟滤波器的频带变换关系模拟滤波器的频带变换关系 第5章IIR数字滤波器设计 下面举例说明高通、带通及带阻模拟滤波器的方法。例例5.2.2设计模拟高通滤波器，fp=4 kHz，fs=1 kHz，幅度特性
40、单调下降，fp处最大衰减为p=0.1 dB，阻带最小衰减s=40 dB。解解(1)高通技术指标：fp=4 kHz，p=0.1 dBfs=1 kHz，s=40 dB归一化频率为第5章IIR数字滤波器设计(2)归一化低通技术指标：(3)设计低通HLP(q)。采用巴特沃斯滤波器时，有取N5第5章IIR数字滤波器设计 按式(5.2.24)计算3 dB截止频率c为查表得归一化系统函数为去归一化得第5章IIR数字滤波器设计(4)求模拟高通HHP(s)：其中，分母多项式系数如下表：HLP(q)和HHP(s)的幅频响应曲线如图5.2.12所示。第5章IIR数字滤波器设计 图 5.2.12例5.2.2所得低通、
41、高通滤波器幅频响应第5章IIR数字滤波器设计 例例5.2.3设计模拟带通滤波器，通带截止频率为4 kHz和7 kHz，阻带截止频率为2 kHz和9 kHz，通带最大衰减为1 dB，阻带最小衰减为20 dB。解解(1)模拟带通滤波器的指标为fpl=4 kHz，fpu=7 kHz，p=1 dBfsl=2 kHz，fsu=9 kHz，s=20 dB此时通带中心频率为f20=fplfpu=40007000=28106通带带宽为B=fpufpl=70004000=3 kHz第5章IIR数字滤波器设计(2)归一化低通技术指标，根据表5.2.1 可得s与s的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的值，即s=1.9
42、63，这样在s=1.963 处的衰减能达到20 dB，在=4处的衰减更能满足要求。第5章IIR数字滤波器设计(3)设计低通HLP(q)。采用巴特沃斯滤波器时按式(5.2.24)计算3 dB截止频率c为，取N5第5章IIR数字滤波器设计 查表得归一化系统函数为去归一化得(4)求模拟带通HBP(s)：第5章IIR数字滤波器设计 其中，分子系数b5=6.97031021，分母多项式系数如下表：由运算结果可知，带通滤波器是2N阶的。HLP(q)和HBP(s)的幅频响应曲线如图5.2.13所示。模拟带阻滤波器的设计过程与带通滤波器相近，在此就不再举例说明了。第5章IIR数字滤波器设计 图 5.2.13例
43、5.2.3所得低通、高通滤波器幅频响应第5章IIR数字滤波器设计 5.3利用模拟滤波器设计利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器数字滤波器利用模拟滤波器成熟的理论和设计方法来设计IIR数字低通滤波器是经常用的方法。其设计过程如下：(1)将数字滤波器设计指标转换为相应的模拟滤波器指标；(2)设计相应原模拟滤波器，得到模拟低通滤波器的系统函数Ha(s)；(3)将Ha(s)转换成数字低通滤波器的系统函数H(z)。这样设计的关键是建立S平面与Z平面的映射关系，将S平面上的Ha(s)转换成Z平面上的H(z)。为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，转换关系必须满足以下两个要求：第5章IIR数字滤波器设计
44、(1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。也就是说，S平面的左半平面必须映射到Z平面的单位圆内。(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，即S平面的虚轴必须映射到Z平面的单位圆上。如图5.3.1所示。S平面与Z平面的映射方法有多种，但工程上常用的是脉冲响应不变法和双线性变换法。本节重点介绍这两种设计方法，并分析设计效果。第5章IIR数字滤波器设计 图 5.3.1S平面到Z平面的映射关系第5章IIR数字滤波器设计 5.3.1脉冲响应不变法脉冲响应不变法1.转换原理转换原理脉冲响应不变法实际上是模拟滤波器离散化(将模拟滤波器转换成数字滤波器)的一种方法。这种转换方法的基本思
45、想是波形逼近，使离散化后的数字滤波器的单位冲激响应h(n)最逼近模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)。根据这种设计思想，利用拉普拉斯变换和Z变换，可推导出用脉冲响应不变法从Ha(s)转换成H(z)的公式。推导思路如图5.3.2所示。第5章IIR数字滤波器设计 图 5.3.2脉冲响应不变法推导思路第5章IIR数字滤波器设计 为了简化推导，设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点si(i=1，2，N)，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，则Ha(s)可以用如下部分分式表示：(1)对Ha(s)进行拉普拉斯逆变换，可得到单位冲激响应ha(t)：(5.3.2)(5.3.1)第5章IIR数字滤波器设计(2)对
46、ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到数字滤波器的单位冲激响应h(n)：(3)对h(n)进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：(4)对比式(5.3.3)和式(5.3.4)可知，Ha(s)的极点si映射到Z平面，其极点变成，系数Ai不变化。对Ha(s)有多阶极点以及分子阶次高于分母阶次的复杂情况，其设计公式推导较为复杂，有兴趣的读者可参考相关资料。(5.3.4)(5.3.3)第5章IIR数字滤波器设计 2.S平面到平面到Z平面的映射关系平面的映射关系由以上分析得出了S平面到Z平面的极点映射关系：这里我们以采样信号作为桥梁，推导S平面到Z平面的映射关系。设ha(t)的采样信号为 ，根
47、据理想采样过程，可表示为(5.3.5)第5章IIR数字滤波器设计 对 进行拉普拉斯变换，得到(5.3.6)第5章IIR数字滤波器设计 由于，可见采样信号的拉普拉斯变换与相应的序列的Z变换H(z)之间的映射关系可用下式表示：z=esT (5.3.7)为了进一步分析这种映射关系，将s表示为s=+j (5.3.8)而将z表示为 z=rej (5.3.9)代入式(5.3.7)，得到rej=e(+j)T=eTejT(5.3.10)因此r=eT=T(5.3.11)第5章IIR数字滤波器设计 总结S平面到Z平面的映射关系如下：(1)z的模r仅对应于s的实部，由此可得：=0，r=1，S平面的虚轴映射为Z平面的
48、单位圆上；0，r0，r1，S平面右半平面映射为Z平面的单位圆外。这说明如果Ha(s)因果稳定，转换后得到的H(z)仍是因果稳定的。(2)z的幅角仅对应于s的虚部，即数字频率与模拟频率之间是线性关系，这是脉冲响应不变法的优点之一。(3)由于z=esT是一个周期函数，可写成第5章IIR数字滤波器设计 由式(5.3.12)可知，当不变，模拟频率从变化到时，数字频率则从变化到。这表明，将S平面沿着j轴分割成一条条宽为的水平带，每条水平带都将重叠映射到整个Z平面。此时所在的S平面与H(z)所在的Z平面的映射关系如图5.3.3所示。(5.3.12)，M为任意整数 第5章IIR数字滤波器设计 图 5.3.3
49、脉冲响应不变法时S平面与Z平面的映射关系第5章IIR数字滤波器设计 3.混叠现象混叠现象我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(j)和其采样信号的傅里叶变换 之间的关系满足式(2.4.5)，重写如下：将=T代入上式，得(5.3.13)(5.3.14)第5章IIR数字滤波器设计 上两式说明，数字滤波器频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓函数。所以，如果模拟滤波器具有带限特性，而且T满足采样定理，则数字滤波器频率响应完全模仿了模拟滤波器频率响应。这是脉冲响应不变法的最大优点。但是，有限阶数的模拟滤波器并不是带限的，实际上总是存在频谱混叠失真，如图5.3.4所示。现以一个具体的例子来说明混叠失
50、真的影响。第5章IIR数字滤波器设计 图 5.3.4脉冲响应不变法的频率混叠失真第5章IIR数字滤波器设计 例例5.3.1二阶巴特沃斯模拟低通滤波器的系统函数Ha(s)为用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)，并对采样周期T取不同值，观察频谱混叠失真现象。解解采用待定系数法将Ha(s)部分分式展开：Ha(s)的极点为第5章IIR数字滤波器设计 比较分子分母系数，得到关于待定系统A1和A2的方程组：第5章IIR数字滤波器设计 代入s1和s2的值求解，得到按照式，得到第5章IIR数字滤波器设计 通分并化简整理得其中，T分别取0.2 s、0.1 s、0.05 s时，模拟滤波器
