1、 汉阳一中 2016学年度下学期二月调考模拟考试数学试卷理科第一卷共 60分一、选择题：本大题共 12个小题 ,每题 5分,共 60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 .1.已经知道 i为虚数单位，A. 1或1a R，假设 (a 1)(a 1 i)是纯虚数，那么 a的值为B.1C.1D.322.“ lg x,lg y,lg z成等差数列是“ y xz“成立的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件0, x 13.已经知道函数 f x, x 0，那么 f f f 1的值等于21,x 022+1A-1BCD0x 1 2t ,y 2 3t4.假
2、设直线的参数方程为(t为参数 )，那么直线的斜率为 ()2B 23C 32D 32A35.执行下列图所示的程序框图，如果输入正整数，满足 n m，那么输出的m np等于A Cnm 1Anm 1C nmmAnB.C.D.6一个几何体的三视图如下图，已经知道这个几何体的体积为10 3，那么 h3AB 3C 3 3D 5 32(第 5题图 )第 6题图aba b7已经知道 ，是非零向量，且a,b，那么向量 p3的模为 ( )| a | | b |1 23ABC2D3x y 11 08.设实数 x, y满足不等式组 3x y 3 0，那么 z 2x y的最大值为 ( )x 0A139.六名大四学生其中
3、 4名男生、 2名女生被安排到 A， B， C三所学校实习，每所学校C学校，男生甲不能到 A学校，那么不同的安排方法为B19 C24D292人，且 2名女生不能到同一学校，也不能到A. 24B.36C.16D.1810.已经知道 (1 x)10 a a (1 x) a (1 x) . a (1 x)102a，那么 =( )701210A l20 B120 C 960 D96011.已经知道球的直径 SC 4， A， B是该球球面上的两点，AB3， ASCBSC 30，那么棱锥S ABC的体积为3 32 331A.B.C.D.1212.设 fxf x的导函数，已经知道 x f xxf xln x
4、, f e为函数，那么下e列结论正确的选项是 ( )f x0,0,f x在A在单调递增B单调递减C f x在 0,上有极大值D f x 0,上有极小值第二卷非选择题共 90分二、填空题每题 5分，总分值 20分，将答案填在答题纸上X- B n, pE X 2,D X 1，那么p13.已经知道随机变量，且ana a 2a4q，那么公比14.在各项为正数的等比数列中，假设.6512x22x.假设函数15.已经知道f x是定义在 R上的周期为 3的函数，当 x 0,3时， f xy f x a在区间 -3,4上有 10个零点互不相同，那么实数 a的取值范围是 _x2 y216.点 P为双曲线为 3，
5、M为线段1(a 0,b 0)右支上第一象限内的一点，其右焦点为F2，假设直线 的斜率PF22a b2PF2|OF | | F M |，那么该双曲线的离心率为的中点，且222 三、解答题本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13217.本小题总分值 12分已经知道 m (sin x, ), n (cos x,cos(2 x)， f (x) m n621试求函数 f ( x)的单调递增区间3122在锐角 ABC中，ABC的三角 A, B,C所对的边分别为 a,b,c，且 f (C)的取值范围 .c3，求，且ab218.本小题总分值 12分年高考结束，某学校对高三毕业
6、生的高考成绩进行调查，高三年级共有1到 6 个班，从六个班随机抽取 50人，对于高考的考试成绩达到自己的实际水平的情况，并将抽查的结果制成如下的表格，班级频数达到163210631264126564643(1).根据上述的表格，估计该校高三学生年的高考成绩达到自己的实际水平的概率；(2).假设从 5班、 6班的调查中各随机选取 2同学进行调查，调查的4人中高考成绩没有达到实际水平的人数为，求随机变量的分布列和数学期望值 . 19.本小题总分值 12分如图，在四棱锥S ABCD中，底面 ABCD是菱形， BAD 600SAB底面 ABCD，并且，侧面SA SB AB 2， F为 SD的中点 .1
7、求三棱锥S FAC的体积；2求直线 BD与平面 FAC所成角的正弦值 .20.本小题总分值 12分如图，在平面直角坐标系 xOy中，离心率为2的椭圆2x2 y2a b22C :1(a b 0)的左顶点为 A，过原点 O的直线与坐标轴不重合与椭圆C交于 P,Q两点，直线 PA,QA分别与 y轴交于 M ,N两点 .当直线 PQ斜率为2时， PQ 2 3 .21求椭圆2试问以C的标准方程；MN为直径的圆是否经过定点与直线PQ的斜率无关？请证明你的结论.21.本小题总分值 12分44已经知道函数 f xx ln x a x 1 ,a R .1求曲线 y f x在点1, f 1处的切线方程；2假设当
8、x 1时，f x 0恒成立，求实数 a的取值范围；3 1141ee4a 1a3 f x的极小值为然对数的底 )a ,当 a 0时，求证：0 .( e 2.71828为自4a请考生在 22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分22.本小题总分值 10分选修 4-1：几何证明选讲.如图，圆周角点 F .， 交BAC的平分线与圆交于点 D，过点 D的切线与弦 AC的延长线交于点 E AD BC于1求证：BC DE；2假设 D, E,C, F四点共圆，且弧AC =弧 BC，求 BAC .23.本小题总分值 10分选修 4-4：坐标系与参数方程x y22x1，直线 l :3已经
9、知道椭圆C :3t,(t为参数 ).4 3y 2 3 t1写出椭圆 C的参数方程及直线 l的普通方程；2设 A(1,0)，假设椭圆 C上的点 P满足到点24.本小题总分值 10分选修 4-5：不等式选讲A的距离与其到直线 l的距离相等，求点 P的坐标 .已经知道函数f (x) 2x a x 1 .1当 a 1时，解不等式 f (x) 3；2假设 f (x)的最小值为 1，求 a的值 .4 汉阳一中 2016届二月调考模拟考试数学理科答案CACDD BBADC CB3 121210，16.13.17.14. 2 15.253【答案】 1单调递增区间为 k,k, k z(0, ) .； 21212
10、21【解析】1 m (sin x, ), n (cos x,cos(2 x)2632132123f (x) m n(sin x, ) (cos x,cos(2 x)sin xcosxcos(2x)266 23 1 sin(2 x2 2)35函数的单调递增区间 2k2x,k2k, k z,kx k, k z，12253212所以单调递增区间为 k121233 1sin(2 C2 2322 f (C)f (C), sin(2 C) 0, 2C2C2，可得或233335可得 CC或(舍去)36abc33C,c32 a 2sin A,b 2sin B3sinA sin B sinC212b 2sin
11、A sin B 2sin A sin( 23A) 2sin A sin 2 cos A cos 2 sin A3 3a323 cosAsin A0 A3sin( A)2636A,0 A，故 03sin( A)620626 32A3218.【答案】1 0.56 ;2分布列为0123p173157151 53.30 301030153E( ) 01231510【解析】1因为调查的 50人中达到实际的水平有：3 6 6 6 4 3 28人，28所求的概率为 P0.56 .505 2调查的 4人中高考成绩没有达到实际水平的人数为，那么0,1,2,322C C C C C311122C C 174232
12、434当 p( 0)p( 1)；2C C422C C 515646C C C C C3122223C C4212143C C221321p( 2)p( 3)，210C C 30664所求的分布列为0123p173157151 53.30 30103013E( ) 01235151019本小题总分值 12分解：如图 4，取 AB的中点 E，连接 SE，ED，过 F作 FGSE交 ED于 G，因为平面 SAB平面ABCD，并且 SA SB AB 2，SE平面ABCD，FG平面ACD，又 ABCD是菱形， BAD 60， SE3，12312且 FGSE3， SACD2 2sin1202三棱锥 S-
13、FAC的体积 V三棱锥 S FAC V三棱锥 S ACD V三棱锥 FACD121 12 312V三棱锥 S ACD33,6分连接 AC，BD交于点 O，取 AB的中点 E，连接 SE，那么 BD AC， SE AB，以 O为原点， AC，BD为轴建系如图 5所示，设直线 BD与平面 FAC所成角为，那么 A( 3，0，0)， C( 3，0，0)， B(0， 1，0)，3，12， 3， F3 1 3， ，D(0，1，0)，所以， AFS24423 3 1，43， AC (2 3，0，0)，24设平面 FAC的法向量为 n (x，y，1)，6 3 3 x4143AF ny0， AC n 2 3x
14、 0，2得 n (0， 2 3，1)，又 BD (0，2，0)，,8分10分4 32 132 39，13所以 sin| cos n, BD |2 3913故直线 BD与平面 FAC所成角的正弦值为,12分22时，PQ 2 3，220.解：1设 P(x0,x )，直线 PQ斜率为022221202202 x (x ) 3, x 1, (x0) 1,1，022a 2 b22a b2c222b 2，e，化为aaa2a2 2b222a 4,b 2.联立 21，122abx y 22椭圆C的标准方程为1.4分4 22以 MN为直径的圆过顶点( 2,0) .5分下面给出证明：x y022P(x ,y )，
15、那么 Q( x , y )，且01，即2022y0 4 .设x00004 2y02y0(x 2)，令 x 0，可得 M (0,x0 2 A( 2,0)，直线 PA方程为 y)，x0 2y02y0) .8分直线 QA方程为 y( x 2)，令 x 0，可得 N(0,x 2x0 202y02y0) 0，x0 2以 MN为直径的圆为 ( x 0)(x 0) ( y)( yx0 24x y0 y2x y204y02即0，22x 4x 4002x022y， x y 2202x0 4y 2 0，y02令 y 0，那么 x 2 0，解得x2，7 以MN为直径的圆过定点 ( 2,0) .12分1.解： (1)
16、 f (x) 4x ln x x334ax3. ,1分3分那么 f (1) 1 4a .又 f (1) 0，所以，曲线 y f (x)在点 (1,f (1)处的切线方程为 y (1 4a)( x 1) . ,3(2)解法 1：由 (1)得 f (x) x (4ln x 1 4a) .当 a时，因为 y 4ln x 1 4a为增函数，所以当 x 1时，4ln x 1 4a 4ln1 1 4a 1 4a ? 0，因此 f (x) 0 .1当且仅当 a，且 x 1时等号成立 .所以 f (x)在 (1, )上为增函数 .4因此，当 x1时， f (x) f (1) 0 .1所以， a,满足题意 .
17、,6分41411a解得 x e3当 af (x) x (4ln x 1 4a) 0，得 ln x a.4.时，由41114ae01.因为 a，所以 a0，所以e44141a4a当 x (1,e)时， f (x) 0，因此 f (x)在 (1,e)上为减函数 .1a所以当 x (1,e4)时， f (x) f (1) 0，不合题意.1综上所述，实数 a的取值范围是 (, . ,48分1x44解法 2： f (x) x ln x a(x4 1) 0ln x a(1) 0 .1 4a x4x x54a. ,1令 g( x) ln x a(1)，那么 g (x)4分x4x51x 1，得 x4 1.因此
18、，当当 a,4a, 1.x 1时， g (x) 0，时，由414当且仅当 a，且 x 1时等号成立.所以 g( x)在 (1, )上为增函数 .因此，当 x 1时， g (x) g(1) 0，此时 f (x) 0.1所以， a,满足题意 . ,7分4144当 ag (x) 0，得x4a 1.当 x (1, 4a)时， g (x) 0，时，由444因此 g(x)在 (1, 4a)上为减函数所以，当x (1, 4a)时， g(x) g (1) 0 .1此时 f (x) 0，不合题意 .综上，实数 a的取值范围是 ( , . ,9分4方法 3：当 x 1时， f (1) 0满足题意 .8 x4 ln
19、 x4x 1时， f (x) x ln x a(x4 1) 0a,. ,14分x41t ln t.4(t 1)令 x4 t，那么 ln xln t , t 1 .上述不等式可化为a,4t ln tln t t 1 .4(t 1)2令 h(t )令 p(t )，那么 a, h(t )在 (1, )上恒成立 . h (t)4(t 1)1ln t t 1，那么当 t 1时， p (t )1 0， p(t)在 (1, )上为增函数.t因此，当 t 1时, p(t) p(1) 0 .p(t)所以，当 t 1时, h (t)0，所以 h(t )在 (1, )上为增函数 . ,6分4(t 1)2令 q(t
20、) t ln t，由导数定义得 q (1) lim q(t ) q(1)t ln t .t 1limt 1t1t1t ln tt 1又 q (1) (t ln t) |t 1 1，所以lim1.t1t ln t1. ,4因此，当 t 1时， h(t )恒大于8分4(t 1),1 . ,48分所以，实数 a的取值范围是 (1a， x e4.13(3)由 f ( x) x (4ln x 1 4a) 0，得 ln x a41a14a)时， f (x) 0 f (x)为减函数；当 x ( e，当 x (0, e4,)时，f (x) 0 f (x)为增函数 .，f (x)所以1a14e4a 1 . ,的极小值 (a) f (e4) a1.由 (a) 1 e4a 1 0，得a4当 a (0, 1)时， (a) 0 , (a)为增函数；当 a (1 ,)时， (a) 0 , (a)为减函数所以.441
