1、4.4 差分方程建模差分方程建模 一、差分方程介绍一、差分方程介绍以以t 表示时间，规表示时间，规 定定t只取非负整数。只取非负整数。t=0表示第一周期初，表示第一周期初，t=1表示第二周期初等。表示第二周期初等。记记yt 为变量为变量y在时刻在时刻t 时取值，则称时取值，则称 为为yt 一阶差分一阶差分，称，称 为为二阶差分二阶差分。类似地，能够定义。类似地，能够定义ytn阶差分。阶差分。由由t、yt及及yt差分给出方程称差分给出方程称 为为yt差分方程，其中含最高阶差差分方程，其中含最高阶差分阶数称为该差分方程分阶数称为该差分方程阶阶。差分方程也能够写成不显含差分。差分方程也能够写成不显含
2、差分形式。比如，二阶差分方程形式。比如，二阶差分方程 也可改写成也可改写成 第1页满足一差分方程序满足一差分方程序 列列yt称为此差分方程解。类似于微分方程称为此差分方程解。类似于微分方程情况，若解中含有独立常数个数等于差分方程阶数时，称此情况，若解中含有独立常数个数等于差分方程阶数时，称此解为该差分方程解为该差分方程 通解通解。若解中不含任意常数，则称此解为满。若解中不含任意常数，则称此解为满足一些初值条件足一些初值条件 特解特解，比如，考查两阶差分方程，比如，考查两阶差分方程 易易见与与均是它特解，而均是它特解，而则为它通解，其它通解，其中中c1，c2为两个任两个任意常数。意常数。类似于微
3、分方程，称差分方程似于微分方程，称差分方程 为为n阶线性差分方程，阶线性差分方程，当当 0时称其为时称其为n阶非齐次线性差分阶非齐次线性差分方程，而方程，而 第2页则被称被称为方程方程对应齐次次线性差分方程性差分方程。若全部若全部 ai(t)均为与均为与t无关常数，则称其为无关常数，则称其为 常系数差分方程常系数差分方程，即即n阶常系数线性差分方程可分成阶常系数线性差分方程可分成（4.15）形式，其对应齐次方程为形式，其对应齐次方程为（4.16）轻易易证实，若序列，若序列与与均均为方程（方程（4.16）解，）解，则也是方程（也是方程（4.16）解，其）解，其中中c1、c2为任意常数，任意常数，
4、这说明，明，齐次方程解次方程解组成一个成一个线性空性空间（解空（解空间）。）。此规律对于（此规律对于（4.15）也成立。）也成立。第3页方程（方程（4.15）可用以下代数方法求其通解：）可用以下代数方法求其通解：（步一步一）先求解）先求解对应特征方程特征方程 （4.17）（步二步二）依据特征根不一）依据特征根不一样情况，求情况，求齐次方次方程程(4.16)通解通解情况情况1若特征方程（若特征方程（4.17）有）有n个互不相同个互不相同实根根,，则齐次方程（次方程（4.16）通解）通解为(C1,Cn为任意常数任意常数)，情况情况2若若是特征方程（是特征方程（4.17）k重根，通解中重根，通解中对
5、应于于项为为任意常数，任意常数，i=1,k。情况情况3 若特征方程（若特征方程（4.17）有单重复根）有单重复根 通解中对应它们项为通解中对应它们项为 为模，模，为幅角。幅角。第4页情况情况4若若为特征方程（特征方程（4.17）k重复根，重复根，则通通解解对应于它于它们项为为任意常数，任意常数，i=1,2k。.若若yt为方程方程(4.16)通解通解,则非非齐次方程次方程(4.15)通解通解为（步三步三）求非求非齐次方程次方程(4.15)一个特解一个特解求非齐次方程（求非齐次方程（4.15）特解普通）特解普通要用到要用到 常数变易法常数变易法，计算较繁。，计算较繁。对特殊形式对特殊形式 b(t)
6、也可使用也可使用 待定系待定系数法数法。第5页例例4.13求解两求解两阶差分方程差分方程解解对应齐次方程特征方程次方程特征方程为，其特征根，其特征根为，对应齐次方程通解次方程通解为 原方程有形如原方程有形如特解。代入原方程求得特解。代入原方程求得，故原方程通解，故原方程通解为在应用差分方程研究问题时，普通不需要求出方程通解，在在应用差分方程研究问题时，普通不需要求出方程通解，在给定初值后，通常可用给定初值后，通常可用 计算机迭代计算机迭代求解，但我们经常需要讨求解，但我们经常需要讨论解稳定性。对论解稳定性。对 差分方程差分方程(4.15),若不论其对应齐次方程通解若不论其对应齐次方程通解中任意
7、常中任意常 数数C1,Cn怎样取值怎样取值,在在 时总有时总有 ,则称方程则称方程(7.14)解是稳定解是稳定,不然称其解为不稳定不然称其解为不稳定.依据通解依据通解结构不难看出结构不难看出,非齐次方程非齐次方程(4.15)稳定充要条件为其全部特征稳定充要条件为其全部特征根模均小根模均小 于于1。第6页例例4.14（市场经济蛛网模市场经济蛛网模 型型）在自由竞争市场经济中，商品价格是由市场上该商品在自由竞争市场经济中，商品价格是由市场上该商品供给量决定，供给量越大，价格就越低。另首先，生供给量决定，供给量越大，价格就越低。另首先，生产者提供商品数量又是由该商品价格决定，价格上升产者提供商品数量
8、又是由该商品价格决定，价格上升将刺激生产者生产主动性，造成商品生产量增加。反将刺激生产者生产主动性，造成商品生产量增加。反之，价格降低会影响生产者主动性，造成商品生产量之，价格降低会影响生产者主动性，造成商品生产量下降。下降。在市场经济中，对每一商品实际上存在着两个不一样在市场经济中，对每一商品实际上存在着两个不一样函数：函数：（1）供给函数）供给函数x=f(P)，它是价格它是价格P单增函数，其曲线单增函数，其曲线称为供给曲线。称为供给曲线。（2）需求函数）需求函数x=g(P)，它是价格它是价格P单降函数，其曲线单降函数，其曲线称为需求曲线，供给曲线与需求曲线称为需求曲线，供给曲线与需求曲线
9、形状如图形状如图所表示。所表示。第7页记t时段初市段初市场上供上供给量量(即上即上一一时段生段生产量量)为xt，市，市场上上该商品价格商品价格为Pt。商品成交。商品成交价格是由需求曲价格是由需求曲线决定，决定，即即伴随伴随,Mt将将趋于平衡点于平衡点M*,即商品量将即商品量将趋于平衡于平衡量量x*,价格价格将将趋于平衡价于平衡价格格P*。图中箭中箭线反反应了在市了在市场经济下下该商品供商品供给量量与价格与价格发展展趋势。xoPP0P2P*P1xx1x2x0 x*需求曲线需求曲线供给曲线供给曲线M0M2M1M*PoM3M2M1不过，假如供给曲线和需求曲不过，假如供给曲线和需求曲线呈图线呈图中形状
10、，则平衡点中形状，则平衡点M*是不稳定，是不稳定，Mt将越来越远离平将越来越远离平衡点。衡点。第8页图图和图和图区分在哪里，区分在哪里，怎样判定平衡点稳定怎样判定平衡点稳定 性呢？性呢？不过，假如供给曲线和需求曲线呈不过，假如供给曲线和需求曲线呈 图图中形状，则平衡点中形状，则平衡点M*是不稳定，是不稳定，Mt将越来越远离平衡点。即使初始时刻供给量和将越来越远离平衡点。即使初始时刻供给量和价格对应于平衡点，一点微小波动也会造成市场供求出现越价格对应于平衡点，一点微小波动也会造成市场供求出现越来越大混乱。上述用图示法分析市场经济稳定性讨论在经济来越大混乱。上述用图示法分析市场经济稳定性讨论在经济
11、学中被称为市场经济学中被称为市场经济 蛛网模型蛛网模型。不难看出，在不难看出，在 图图中平衡点中平衡点M*处供给曲线切线斜率大于需处供给曲线切线斜率大于需求曲线切线斜率绝对值，而在求曲线切线斜率绝对值，而在图图中情况恰好相反。中情况恰好相反。第9页现在利用差现在利用差 分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是否正确。我们知道，平衡否正确。我们知道，平衡 点点M*是否稳定取决于是否稳定取决于 在在M*附近供、附近供、需曲线局部性态。为此，需曲线局部性态。为此，用用M*处供、需曲线线性近似来代替处供、需曲线线性近似来代替它们，并讨论此线性近似模型它们，并
12、讨论此线性近似模型 中中M*稳定性。稳定性。设供供给曲曲线与需求曲与需求曲线线性近似分性近似分别为 和和式中，式中，a、b分分别为供供给曲曲线在在M*处切切线斜率与需求曲斜率与需求曲线在在M*处切切线斜率斜率绝对值。依据市依据市场经济规律，当供律，当供给量量为xt时，现时段价格段价格，又，又对价格价格，由供，由供给曲曲线解得下一解得下一时段商品量段商品量 第10页由此由此导出一出一阶差分方程：差分方程：（4.18）此差分方程解在此差分方程解在(b/a)b时，用户需求对价格敏感度较小（小于生产者敏感程时，用户需求对价格敏感度较小（小于生产者敏感程度），商品供给量和价格会自行调整而逐步趋于稳定；反
13、之，度），商品供给量和价格会自行调整而逐步趋于稳定；反之，若若ab（商品紧缺易引发用户抢购），该商品供售市场易造（商品紧缺易引发用户抢购），该商品供售市场易造成混乱成混乱 .假如生产者对市场经济蛛网模型有所了解，为了降低因价格假如生产者对市场经济蛛网模型有所了解，为了降低因价格波动而造成经济损失，他应该提升自己经营水平，不应该仅波动而造成经济损失，他应该提升自己经营水平，不应该仅依据上一周期价格来决定现阶段生产量。比如能够依据本时依据上一周期价格来决定现阶段生产量。比如能够依据本时段与前一时段价格平均值来确定生产量。此时，若段与前一时段价格平均值来确定生产量。此时，若t 时段商时段商品量为品量
14、为 xt 时，仍有时，仍有第11页（4.21）将（将（4.19）式、（）式、（4.21）式代入（）式代入（4.20）式，整理得）式，整理得（4.19）但但t+1时段商品量段商品量则不再不再为而被修正而被修正为（4.20）由（由（4.19）式得）式得（4.22）（4.22）式是一个常系数二）式是一个常系数二阶线性差分方程，特征方程性差分方程，特征方程为其特征根为其特征根为第12页记。若。若，则此此时差分方程（差分方程（4.22）是不）是不稳定。定。，若若，此，此时特征根特征根为一一对共共轭复数，复数，。由线性差分方程稳定条件，由线性差分方程稳定条件，当当r2即即b2a时（时（4.22）式是）式是
15、稳定，从稳定，从 而而M*是稳定平衡点。是稳定平衡点。不难发觉，生产者管理方式这不难发觉，生产者管理方式这一更动不但使自己降低了因价一更动不但使自己降低了因价格波动而带来损失，而且大大格波动而带来损失，而且大大消除了市场不稳定性。生产者消除了市场不稳定性。生产者在采取上述方式来确定各时段在采取上述方式来确定各时段生产量后，如发觉市场仍不稳生产量后，如发觉市场仍不稳定（定（b2a），可按类似方法试），可按类似方法试图再改变确定生产量方式，此图再改变确定生产量方式，此时可得到更高阶差分方程。对时可得到更高阶差分方程。对这些方程稳定性条件研究很可这些方程稳定性条件研究很可能会导出深入稳定市场经济新能
16、会导出深入稳定市场经济新办法。办法。第13页例例4.15 国民经济稳定性国民经济稳定性 国民收入主要起源是生产，国民收入开支主要用于消费资金、国民收入主要起源是生产，国民收入开支主要用于消费资金、投入再生产积累资金及政府用于公共设施开支。现在我们用投入再生产积累资金及政府用于公共设施开支。现在我们用差分方程方法建立一个简略模型，粗略地分析一下国民经济差分方程方法建立一个简略模型，粗略地分析一下国民经济稳定性问题。稳定性问题。再生再生产投投资水水平平It取决于消取决于消费水平改水平改变量，量，设政府用于公共政府用于公共设施开支在一个不太大施开支在一个不太大时期内期内变动不大，不大，设为常数常数G
17、。故由。故由可得出可得出。将。将及及代入代入。记yt为第第t周期国民收入，周期国民收入，Ct为第第t周期消周期消费资金。金。Ct值决定于前决定于前一周期国民收入，一周期国民收入，设第14页（4.23）（4.23）式是一个二）式是一个二阶常系数差分方程，其特征方程常系数差分方程，其特征方程为，对应特征根特征根为（4.24）成立成立时才是才是稳定。定。（4.24）式可用于）式可用于预报经济发展展趋势。现用待定系数法求方程用待定系数法求方程（4.23）一个特解）一个特解。令。令代入（代入（4.23）式，得）式，得故当（故当（4.24）式成立）式成立时，差分方程，差分方程（4.23）通解）通解为其中其
18、中为模，模，为其幅角。其幅角。第15页比如，若取比如，若取，易易见，此，此时关系式关系式（4.12）成立，又若）成立，又若取取y0=1600，y1=1700，G=550，则由迭代公式由迭代公式求得求得 y2=1862.5,y3=.8,y4=2110.3,y5=2171.2,y6=2201.2,y7=2212.15,y8=2213.22,y9=2210.3,。易见易见第16页例例4.16 商品销售量预测商品销售量预测(实例实例)某商品前某商品前5年销售量见表年销售量见表。现希望依据。现希望依据 前前5年统计数年统计数据预测据预测 第第6年起该商品在各季度中销售量。年起该商品在各季度中销售量。从表
19、中能够看出，该商品在从表中能够看出，该商品在 前前5年相同季节里销售量呈增加年相同季节里销售量呈增加趋势，而在同一年中销售量先增后减，第一季度销售量最小趋势，而在同一年中销售量先增后减，第一季度销售量最小而第三季度销售量最大。预测该商品以后销售情况，一个方而第三季度销售量最大。预测该商品以后销售情况，一个方法是应法是应 用用最小二乘法最小二乘法建立经验模型。即依据本例中数据特征，建立经验模型。即依据本例中数据特征，能够按季度建立四个经验公式，分别用来预测以后各年同一能够按季度建立四个经验公式，分别用来预测以后各年同一季度销售量。比如，如认为第一季度销售量大致按线性增加，季度销售量。比如，如认为
20、第一季度销售量大致按线性增加，可设销售量可设销售量 由由15253217152430151320271512182614111625121234第五年第五年第四年第四年第三年第三年第二年第二年第一年第一年销售量售量季度季度 年份年份第17页 求得求得 a=1.3，b=9.5。依据依据 预测第六年起第一季度销售量预测第六年起第一季度销售量 为为 =17.3，=18.6，如认为销售量并非逐年等量增加而是按前一年或前几年同期销如认为销售量并非逐年等量增加而是按前一年或前几年同期销售量一定百分比增加，则可建立对应差分方程模型。仍以第一售量一定百分比增加，则可建立对应差分方程模型。仍以第一季度为例，为简
21、便起见不再引入上标，以表示季度为例，为简便起见不再引入上标，以表示 第第t年第一节季年第一节季度销售量，建立形式以下差分方程：度销售量，建立形式以下差分方程：或或等等。等等。上述差分方程中系数不一定能使全部上述差分方程中系数不一定能使全部统计数据吻合，数据吻合，较为合合理方法是用最小二乘法求一理方法是用最小二乘法求一组总体吻合很好数据。以建立体吻合很好数据。以建立二二阶差分方程差分方程为例，例，为选取取a0,a1,a2使使最小，解最小，解线性方程性方程组：第18页即求解即求解得得a0=-8，a1=-1，a2=3。即所求二。即所求二阶差分方程差分方程为 第19页即使这一差分方程恰好使全部统计数据
22、吻合，但这只是一个巧即使这一差分方程恰好使全部统计数据吻合，但这只是一个巧合。依据这一方程，可迭代求出以后各年第一季度销售量预测合。依据这一方程，可迭代求出以后各年第一季度销售量预测值值 y6=21，y7=19，等。等。上述为预测各年第一季度销售量而建立二阶差分方程，即使其上述为预测各年第一季度销售量而建立二阶差分方程，即使其系数与前系数与前 5年第一季度统计数据完全吻合，但用于预测时预测年第一季度统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事实不符。凭直觉，第六年预计值显著偏高，第七年销售值与事实不符。凭直觉，第六年预计值显著偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。稍作分析，不难看出，如分别对每量
23、预测值甚至小于第六年。稍作分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程，则依据统计数据拟合出系数可能会相一季度建立一差分方程，则依据统计数据拟合出系数可能会相差甚大，但对同一个商品，这种差甚大，但对同一个商品，这种 差异差异 应该是微小，故应依应该是微小，故应依据统计数据建立一个共用于各个季度差分方程。据统计数据建立一个共用于各个季度差分方程。为此，将季度此，将季度编号号为t=1,2,20，令，令或或等，利用全体数等，利用全体数据来据来拟合，求合，求拟合得最好系数。以二合得最好系数。以二阶差分方程差分方程为例，例，为求求a0、a1、a2使得使得 最小最小第20页求解求解线性方程性方程组即求解
24、三元一次方程即求解三元一次方程组解得解得a0=0.6937,a1=0.8737,a2=0.1941,故求得二阶差分方程故求得二阶差分方程（t21）依据此式迭代，可求得第六年和第七年第一季度销售量预测依据此式迭代，可求得第六年和第七年第一季度销售量预测值为值为y21=17.58，y25=19.16还是较为可信。还是较为可信。第21页例例4.16 人口问题差分方程模型人口问题差分方程模型 在在3.2中，我们已经讨论了人口问题两个常微分方程模型中，我们已经讨论了人口问题两个常微分方程模型Malthus模型模型和和Verhulst模型模型（又称（又称Logistic模型）。前者可模型）。前者可用于人口
25、增加短期预测，后者在作中、长久预测时用于人口增加短期预测，后者在作中、长久预测时 效果很好。效果很好。1、离散时间离散时间 Logistic模型模型在研究人口或种群数量实际增加情况时，有时采取离散化时在研究人口或种群数量实际增加情况时，有时采取离散化时间变量更为方便。比如，有些种群含有相对较为固定繁殖期，间变量更为方便。比如，有些种群含有相对较为固定繁殖期，按时段统计种群数量更靠近种群实际增加方式。人口增加虽按时段统计种群数量更靠近种群实际增加方式。人口增加虽无这种特征，但人口普查不可能连续统计，任何方式普查都无这种特征，但人口普查不可能连续统计，任何方式普查都只能得到一些离散时刻人口总量（指
26、较大范围普查）。这么，只能得到一些离散时刻人口总量（指较大范围普查）。这么，怎样建立人口问题离散模型问题十分自然地提了出来。怎样建立人口问题离散模型问题十分自然地提了出来。第22页建立离散模型一条直接路径是建立离散模型一条直接路径是用用差分代替微分差分代替微分。从人口。从人口问题Logistic模型模型可可导出一出一阶差分方程差分方程（4.25）(4.25)式中右端因子式中右端因子 常被称为常被称为阻尼因子阻尼因子。当当PtN时，种群增加接时，种群增加接 近近Malthus模型；当模型；当Pt靠近靠近N时，这一因子将时，这一因子将越来越显著地发挥阻尼作用，越来越显著地发挥阻尼作用，若若PtN，
27、它将使种群增加速，它将使种群增加速度度 在在Pt靠近靠近N时变得越来越慢，若时变得越来越慢，若 PN，它将使种群呈负增，它将使种群呈负增加。加。（4.25）式可改写）式可改写为（4.26）记,于是于是(4.26)式又可改写式又可改写为（4.27）第23页即使，（即使，（4.27）式是一个非线性差分方程，但对确定初值）式是一个非线性差分方程，但对确定初值x0，其后其后 x1可利用方程确定递推关系迭代求出。可利用方程确定递推关系迭代求出。差分方程（差分方程（4.27）有两个平衡点，）有两个平衡点，即即x*=0和和 。类似。类似于微分方程稳定性讨论，非线性差分方程平衡点稳定性也可经于微分方程稳定性讨论，非线性差分方程平衡点稳定性也可经过对其线性近似方程平衡点稳定性讨论部分地得到确定（过对其线性近似方程平衡点稳定性讨论部分地得到确定（时不能确定除外）。比如，对时不能确定除外）。比如，对 ，讨论，讨论 在在x*处线性近似方程处线性近似方程可知，当可知，当（即（即）时平衡点平衡点是是稳定，此定，此时（）若当若当 ，则平稳点，则平稳点 是不稳定，（这与对是不稳定，（这与对 一一切切a，p*=N均为均为Logistic方程稳定平衡点不一样）。方程稳定平衡点不一样）。第24页
