1、一、一、微分定义微分定义二、微分几何意义二、微分几何意义三、基本初等函数微分公式三、基本初等函数微分公式 与微分运算法则与微分运算法则五、小结五、小结 思索题思索题第七节第七节 函数微分函数微分四、微分在近似计算中应用四、微分在近似计算中应用第1页一、微分定义(differential)1.1.实例实例:正方形金属薄片受热后面积改变量正方形金属薄片受热后面积改变量.第2页再比如再比如,既轻易计算又是很好近似值既轻易计算又是很好近似值问题问题:这个线性函数这个线性函数(改变量主要部分改变量主要部分)是否全是否全部函数改变量都有部函数改变量都有?它是什么它是什么?怎样求怎样求?第3页2 2.定定义
2、义(微分实质微分实质)第4页由定义知由定义知:第5页3.可微(differentiable)条件定理定理证证(1)必要性必要性第6页(2)充分性充分性第7页例例1 1解解第8页二、微分几何意义MNT）几何意义几何意义:(:(如图如图)P(geometrical meaning of the differential)第9页三、基本初等函数微分公式 与微分运算法则求法求法:计算函数导数计算函数导数,乘以自变量微分乘以自变量微分.1.基本初等函数微分公式基本初等函数微分公式第10页2.函数和、差、积、商微分法则函数和、差、积、商微分法则第11页结论结论：微分形式不变性微分形式不变性3.复合函数微分
3、法则复合函数微分法则第12页例例2 2解解例例3 3解解第13页例例5 5解解例例4 4解解第14页例例6 6解解在以下等式左端括号中填入适当函数在以下等式左端括号中填入适当函数,使等式使等式成立成立.第15页四、微分在近似计算中应用第16页例例7 7解解第17页解解例例8 8第18页惯用近似公式惯用近似公式证实证实第19页例例9 9解解第20页五、小结 思索题微分学所要处理两类问题微分学所要处理两类问题:函数改变率问题函数改变率问题函数增量问题函数增量问题微分概念微分概念导数概念导数概念求导数与微分方法求导数与微分方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用科学研究微分法与导数理
4、论及其应用科学,叫叫做做微分学微分学.导数与微分联络导数与微分联络:第21页导数与微分区分导数与微分区分:第22页 近似计算基本公式近似计算基本公式第23页思索题思索题第24页思索题解答思索题解答说法不对说法不对.从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到，导数是从函数改变率出线性主部而得到，导数是从函数改变率问题归纳出函数增量与自变量增量之比极问题归纳出函数增量与自变量增量之比极限，它们是完全不一样概念限，它们是完全不一样概念.第25页思索题思索题 某家有一机械挂钟,钟摆周期为1秒.在冬季,摆长缩短了0.01厘米,这只钟天天大约快多少?解：第26页据题设,摆周期是1秒,由此可知摆原长为改变量为 也就是说,因为摆长缩短了0.01cm,钟摆周期便对应缩短了大约0.0002秒,即每秒约快0.0002秒,从而天天约快第27页练练 习习 题题 一一第28页第29页练习题一答案练习题一答案第30页第31页练练 习习 题题 二二第32页第33页练习题二答案练习题二答案第34页
