1、第二讲第二讲 微积分基本公式微积分基本公式内容提要内容提要 1.1.变上限定积分；变上限定积分；2.2.牛顿莱布尼兹公式牛顿莱布尼兹公式。教学要求教学要求 1.1.了解作为变上限函数定积分及求导方法；了解作为变上限函数定积分及求导方法；2.2.熟悉牛顿莱布尼兹公式熟悉牛顿莱布尼兹公式。第1页一、变上限定积分一、变上限定积分普通地，若普通地，若?设物体作直线运动，设物体作直线运动，其速度其速度 ，则在则在 时间间隔时间间隔 若已知旅程函数若已知旅程函数旅程也可表示为旅程也可表示为在处理这个问题之前，先讨论原函数存在问题在处理这个问题之前，先讨论原函数存在问题.内所经过旅程为内所经过旅程为则在则在
2、 时间间隔时间间隔 内经过内经过第2页记为记为称它为变上限定积分所确定函数称它为变上限定积分所确定函数,(变上限定积分变上限定积分)第3页证证定理定理1则变上限定积分则变上限定积分由定积分中值定理，由定积分中值定理，最少存在一点最少存在一点使得使得第4页解解解解练习练习第5页解解第6页例例3 求极限求极限解解练习练习解解原式原式第7页证证二、牛顿二、牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式令令定理定理2再令再令牛顿：英国数学家牛顿：英国数学家莱布尼兹莱布尼兹：德国数学家德国数学家第8页牛顿（牛顿（1642.12.251727.3.20）生平介绍）生平介绍牛顿是英国数学家、物理学家和天文学家。祖父和父亲都是
3、农民。牛顿是英国数学家、物理学家和天文学家。祖父和父亲都是农民。牛顿幼年是不幸，他是个遗腹子，又是早产儿，生下来只有牛顿幼年是不幸，他是个遗腹子，又是早产儿，生下来只有3磅重，人们都担心他活不长久，可谁料到，就在这个小可怜头磅重，人们都担心他活不长久，可谁料到，就在这个小可怜头脑里孕育着非凡才智，他思想影响了人类数百年。脑里孕育着非凡才智，他思想影响了人类数百年。牛顿一生为近代自然科学奠定了主要基础，被益为牛顿一生为近代自然科学奠定了主要基础，被益为“有史以来最有史以来最伟大科学家伟大科学家”。在。在60 多年科学生涯中，牛顿共撰写专著多年科学生涯中，牛顿共撰写专著12本，其中本，其中科学著作
4、科学著作6本，年代学本，年代学2本，宗教著作本，宗教著作4本。作为数学家，牛顿从二本。作为数学家，牛顿从二项式定理到微积分，从代数和数论到古典几何和解析几何，有限差项式定理到微积分，从代数和数论到古典几何和解析几何，有限差分、曲线分类、计算方法和迫近论，甚至在概率论等方面，都有创分、曲线分类、计算方法和迫近论，甚至在概率论等方面，都有创造性成就和贡献。莱布尼兹曾说：造性成就和贡献。莱布尼兹曾说：“在从世界开始到牛顿生活时代在从世界开始到牛顿生活时代全部数学中，牛顿工作超出二分之一。全部数学中，牛顿工作超出二分之一。”牛顿以国葬礼埋在威斯敏斯特大教堂内，参加吊唁法国大文豪牛顿以国葬礼埋在威斯敏斯
5、特大教堂内，参加吊唁法国大文豪伏尔泰评论说，英国纪念一位数学家就象其它国家纪念国王一样盛伏尔泰评论说，英国纪念一位数学家就象其它国家纪念国王一样盛大。牛顿墓碑上拉丁碑铭最终一句是：大。牛顿墓碑上拉丁碑铭最终一句是：“他是人类真正骄傲，让我他是人类真正骄傲，让我们为之欢呼吧！们为之欢呼吧！”第9页莱布尼兹是德国数学家、哲学家，莱布尼兹出身于书香门第，莱布尼兹是德国数学家、哲学家，莱布尼兹出身于书香门第，父亲是莱比锡大学道德哲学教授，母亲也出身于教授家庭。父母亲父亲是莱比锡大学道德哲学教授，母亲也出身于教授家庭。父母亲自做孩子启蒙教师，耳濡目染，使莱布尼兹从小就十分好学，并有自做孩子启蒙教师，耳濡
6、目染，使莱布尼兹从小就十分好学，并有很高天赋。不幸是，父亲在他六岁时逝世，却给他留下了比金钱更很高天赋。不幸是，父亲在他六岁时逝世，却给他留下了比金钱更宝贵丰富藏书。从此，知书达理母亲担负起儿子幼年教育。宝贵丰富藏书。从此，知书达理母亲担负起儿子幼年教育。1661年，年，15岁莱布尼兹入莱比锡大学学法律，岁莱布尼兹入莱比锡大学学法律，1663年年5月获学士学位；月获学士学位；1664年年1月获哲学硕士学位；月获哲学硕士学位；1667年年2月，获法学博士学位。月，获法学博士学位。莱布尼兹是一位百科全书式出色学者，他研究领域及结果莱布尼兹是一位百科全书式出色学者，他研究领域及结果遍布数学、物理学、
7、逻辑学、生物学、地理学、航海学、法学、解遍布数学、物理学、逻辑学、生物学、地理学、航海学、法学、解剖学、哲学、历史和外交剖学、哲学、历史和外交，等等。其中以数学和哲学最为著明。等等。其中以数学和哲学最为著明。莱布尼兹一生没有结婚，没有在大学当过教授。但他工作领莱布尼兹一生没有结婚，没有在大学当过教授。但他工作领域是广泛，他业余活动范围是庞大。域是广泛，他业余活动范围是庞大。17他无声无息他无声无息死去。直到死去。直到1793年，汉诺威人才为他建了一座纪念碑；年，汉诺威人才为他建了一座纪念碑；1883年，在年，在莱比锡一座教堂附近竖起了他一座立式雕象。莱比锡一座教堂附近竖起了他一座立式雕象。莱布
8、尼兹（莱布尼兹（1646.7.11716.11.14）生平介绍）生平介绍第10页说明：说明：这么，牛顿这么，牛顿 莱布尼兹公式又可写成莱布尼兹公式又可写成或或解解解解牛顿牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式第11页解解第12页解解第13页解解第14页解解原式原式解解练习练习第15页例例6 6 设设 解解解解 设设 求求 练习练习第16页例例 7 7 计算曲线计算曲线xysin=在在,0p p上与上与x轴所围轴所围 成平面图形面积成平面图形面积.解解解解 面积面积第17页处导数处导数.解解解解原式原式练习练习第18页3.牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式1.变上限定积分变上限定积分 2.变上限定积分导数变上限定积分导数小结小结牛顿莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数牛顿莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数之间关系之间关系第19页
