1、设曲面方程为设曲面方程为过曲面上点过曲面上点 任作一条在曲面上曲线任作一条在曲面上曲线 ，设，设其方程为其方程为显然有显然有在上式两端对在上式两端对 求导，得求导，得第1页第2页从而曲面在从而曲面在 点切平面方程为点切平面方程为因为因为 任意性，可见曲面上过任意性，可见曲面上过 任一条曲线任一条曲线 在该点在该点切线都与切线都与 正交，所以这些切线应在同一平面上，这正交，所以这些切线应在同一平面上，这个平面称为曲面在个平面称为曲面在 点切平面，而点切平面，而 就是切平面法就是切平面法向量。向量。在在 点（设点（设 点对应于参数点对应于参数 ）有）有第3页过过 点与切平面垂直直线，称为曲面在点与
2、切平面垂直直线，称为曲面在 点法线，点法线，其方程为其方程为该法线一组方向数为：该法线一组方向数为：第4页总而言之若曲面方程为总而言之若曲面方程为则该曲面在则该曲面在 点切平面方程为点切平面方程为过过 点法线方程为点法线方程为第5页设设 分别为曲面在分别为曲面在 点法线与点法线与 轴正向之间轴正向之间夹角，那末在夹角，那末在 点法线方向余弦为点法线方向余弦为第6页若曲面方程为若曲面方程为轻易把它化成刚才讨论过情形：轻易把它化成刚才讨论过情形：于是曲面在于是曲面在 （这里（这里 ）点切平面方）点切平面方程为程为法线方程为法线方程为第7页若曲面方程为参数形式：若曲面方程为参数形式：假如由方程组假如
3、由方程组 能够确定两个函数：能够确定两个函数：于是能够将于是能够将 看成看成 函数，从而能够将问题化为刚函数，从而能够将问题化为刚才已经讨论过情形。才已经讨论过情形。代入方程代入方程 ，得，得所以需分别计算所以需分别计算 对对 偏导数。偏导数。第8页将将 分别对分别对 求导，注意到求导，注意到 为为 函数按隐函数求导法则有函数按隐函数求导法则有解方程组，得解方程组，得第9页法线方程法线方程于是曲面在于是曲面在 点切平面方程为点切平面方程为第10页例例 1 求球面求球面 在点在点 切平面及切平面及法线方程法线方程.解解设设则所以在点所以在点 处处 球面切平面方程为球面切平面方程为法线方程法线方程
4、第11页曲面夹角曲面夹角两个曲面在交线上某点处两个法线夹角称为这两个曲两个曲面在交线上某点处两个法线夹角称为这两个曲面在该点夹角。面在该点夹角。假如两个曲面在该点夹角等于假如两个曲面在该点夹角等于 90 度，则称这两个曲面在度，则称这两个曲面在该点正交。若两曲面在交线每一点都正交，则称这两曲该点正交。若两曲面在交线每一点都正交，则称这两曲面为正交曲面。面为正交曲面。例例 2 证实对任意常数证实对任意常数 ，球面，球面 与锥与锥面面 是正交。是正交。第12页即即证实证实球面球面 法线方向数为法线方向数为锥面锥面 法线方向数为法线方向数为在两曲面交线上任一点在两曲面交线上任一点 处，两法向量内积处，两法向量内积因因 在曲面上，上式右端等于在曲面上，上式右端等于 0，所以曲面与锥，所以曲面与锥面正交。面正交。第13页解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为第14页解解 令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程第15页解解设设 为曲面上切点为曲面上切点,切平面方程为切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得第16页因为因为 是曲面上切点，是曲面上切点，所求切点为所求切点为满足方程满足方程切平面方程切平面方程第17页第18页第19页第20页第21页第22页第23页
