1、设有两块曲面S1,S2,它们方程依次为:S1:F(x,y,z)=0S2:G(x,y,z)=0S1,S2交线C上点一定同时满足这两个方程,而不在交线上点绝不会同时满足这两个方程.所以即为交线C方程,称为空间曲线C普通方程.(2)x y zo S1S2C二、空间曲线及其方程二、空间曲线及其方程1.空间曲线普通方程第1页 x2+y2=1 x+y+z=2.yxz0例例5:柱面 x 2+y 2=1与平面x+y+z=2交线是一个圆,它普通方程是第2页2.空间曲线参数方程将曲线C上动点坐标x,y,z都表示成一个参数t函数.x=x(t)y=y(t)(3)z=z(t)当给定 t=t1时,就得到C上一个点(x,y
2、,z),伴随 t变动便可得曲线C上全部点.方程组(2)叫做空间曲线参数方程.第3页例例6:假如空间一点 M 在圆柱面 x2+y2=a2 上以角速度 绕 z 轴旋转,同时又以线速度v 沿平行于z 轴正方向上升(其中,v都是常数),那末点M 组成图形叫做螺旋线,试建立其参数方程.解解:取时间t为参数,设当t=0时,动点位于x轴上一点 A(a,0,0)处,经过时间t,由A运动到M(x,y,z),M在xOy面上投影为M(x,y,0).xyzhAOMtM第4页(1)动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转,所以经过时间t,AOM =t.从而x=|OM|cosAOM =acos ty=|OM|sinAOM =a
3、sin t(2)动点同时以线速度v沿 z 轴向上升.因而z=MM =vt 得螺旋线参数方程x=acos ty=asin tz=vt 注注:还能够用其它变量作参数.xyzAOMtM第5页yxzAOMtM比如比如:令=t.为参数;螺旋线参数方程为:x=acos y=asin z=b 当从 0变到 0+是,z由b 0变到 b 0+b,即M点上升高度与OM 转过角度成正比.尤其,当=2 时,M点上升高度h=2 b,h在工程上称 h=2 b为螺距.第6页3.空间曲线在坐标面上投影设空间曲线C普通方程F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0(4)由方程组(4)消去z后得方程 H(x,y)=0 (5)方程(
4、5)表示一个母线平行于z 轴柱面,曲线 C 一定在柱面上.xyzooC空间曲线 C 在 x O y 面上曲线必定包含于:投影H(x,y)=0z=0第7页注注:同理可得曲线在yOz面或xOz面上投影曲线方程.第8页例例7:已知两个球面方程分别为:x2+y2+z2 =1和 x2+(y 1)2+(z1)2 =1 求它们交线C在xOy面上投影曲线方程.解:联立两个方程消去 z,得两球面交线C 在 x O y 面上投影曲线方程为椭圆柱面第9页设一个立体由上半球面和锥面所围成,求它在xoy面上投影.解解:半球面与锥面交线为由方程消去 z,得 x2+y2=1yxzOx2+y2 1于是交线C 在xoy面上投影
5、曲线为x2+y2=1z=0这是xoy面上一个圆.所以,所求立体在xoy面上投影为:x2+y2 1例例8:圆柱面)(第10页研究方法是采取平面截痕法.6 6 二次二次曲面标准方程曲面标准方程1.定义定义 由x,y,z二次方程:ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0所表示曲面,称为二次曲面.其中a,b,i,j 为常数且a,b,不全为零.c,d,e,f第11页zoxyO2 用平面z=k去截割(要求|k|c),得椭圆当|k|c 时,|k|越大,椭圆越小;当|k|=c 时,椭圆退缩成点.2.几个常见二次曲面几个常见二次曲面.(1)椭球面1 用平面z=0去截割,得椭圆第1
6、2页3 类似地,依次用平面x=0,平面 y=0截割,得椭圆:尤其尤其:当a=b=c时,方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原点o,半径为a球面.第13页(2)椭圆抛物面:1 平面 z=k,(k 0)截割,截线是平面 z=k上椭圆.k=0时,为一点O(0,0,0);伴随k增大,椭圆也增大.zyxo2 用平面 y=k去截割,截线是抛物线第14页3 类似地，用平面 x=k 去截割,截线是抛物线.第15页第16页一、二阶行列式概念一、二阶行列式概念设有数表a11称数a11 a22a12 a21为对应于数表(1)二阶行列式，记为：(1)(1)副对角线主对角线1.定义定义1a12a21a22()()1
7、n 1 n 阶行列式定义阶行列式定义第17页当 a11 a22a12 a21 0时，得唯一解对于a11 x1+a12 x2=b1a21 x1+a22 x2=b2(1)(1)2、二元一次 方程组求解公式第18页记方程组(1)解能够表示为：克莱姆(Gramer)法则(2)(2)a11 x1+a12 x2=b1a21 x1+a22 x2=b2第19页引进记号：(+)(+)(+)()()()称为对应于数表(3)三阶行列式二、三阶行列式二、三阶行列式1.定义定义2设有数表(3)(3)主对角线副对角线第20页例例 如：如：第21页易证：易证：对于线性方程组(4)当第22页方程组有唯一解，记则方程组(4)解
8、为：克莱姆法则第23页三、排列与逆序数三、排列与逆序数 由自然数1,2,n 组成一个有序数组i1,i2,in称为一个n级排列。比如，由1，2，3可组成三级排列共有3!6个，它们是n级排列总数为n!个。定义定义33 2 1;1 2 3;1 3 2;2 1 3;2 3 1;3 1 2;第24页 一个排列中，若较大数 is 排在较小数 it 前面(is it)时，称这一对数 is it 组成一个逆序。一个排列中逆序总数，称为它逆序数。记为(i1,i2,in)，简记为。1 3 2(1 2 3)=0,(3 1 2)=2,(4 5 2 1 3)=7,比如：比如：2 1 33 1 2第25页(3)逆序数为偶
9、数排列称为偶排列逆序数为奇数排列称为奇排列(4)将一个排列中两个位置上数交换，而其余不动，则称对该排列作了一次对换。6 5 3 1 2 46 2 3 1 5 4(=11)(=8)1 2 3 41 4 3 2比如：比如：(=0)(=3)第26页定理定理 1 每一个对换改变排列奇偶性每一个对换改变排列奇偶性结论：在结论：在 n(2)级排列中，奇偶排列各有个。级排列中，奇偶排列各有个。第27页四、四、n阶行列式定义阶行列式定义分析：分析：=0=2=2=3=1=1第28页类似地：类似地：第29页n阶行列式定义定义4第30页例例1 计算以下n阶行列式000第31页0第32页0第33页行排列列排列2 1
10、3(=1)1 3 2(=1)(=0)1 2 3(=2)3 1 2考查：第34页定理定理2 n阶行列式定义也可写成推论：第35页例例2：选择 i 和 k，使成为5阶行列式中一个带负号项解:其列标所组成排列为：i 5 2 k 3若取 i=1，k 4，故 i=4，k=1 时该项带负号。可将给定项改为行标按自然次序，即则 (1 5 2 4 3)=4，是偶排列，该项则带正号，对换1，4位置，则 4 5 2 1 3是奇排列。第36页一、行列式性质一、行列式性质性质性质1：将行列式行、列交换，行列式值不变即：D=DT行列式 DT 称为行列式 D 转置行列式。2 2 行列式性质行列式性质则第37页证：证：显然
11、有 bij=aji (i,j=1,2,;n)则设行列式 DT 中位于第 i 行，第 j 列元素为 bij第38页性质性质2 交换行列式两行(列)，行列式仅改变符号则 D=M第39页证：证：在 M 中第 p 行元素第 q 行元素=D第40页推论推论1：若行列式中有两行(列)对应元素相同，则行列式为零。证实证实:交换行列式这两行，有D=D，故D=0第41页性质性质3 若行列式某一行(列)全部元素都乘以数 k，等于该行列式乘以数 k，即：第42页证实：证实：推论推论2：若行列式中某行(列)全为零，则行列式为零。推论推论3：若行列式中有两行(列)对应元素成百分比，则该行列式为零。第43页性质性质4 若
12、行列式中某一行(列)各元素都是两个数和，则该行列式等于两个行列式和。即:第44页证实：证实：+第45页性质性质5 把行列式某一行(列)各元素乘以数k后加到另一行(列)对应元素上去，行列式值不变。即：第46页用 ri 表示 D 第 i 行cj 表示 D 第 j 列ri rj表示交换 i、j 两行ri k 表示第 i 行乘以 kri+k rj 表示第 j 行乘以 k 加到第 i 行ri k 表示第 i 行提出公因子 k记号：记号：第47页例例1 计算行列式解：解：第48页例例2 计算行列式解：Dc1 c2r2 r1第49页r4 5r1r2 r3r3 +4 r2r4 8 r2第50页例例3 3：计算
13、解解：x+x x+xx+x第51页第52页在n阶行列式余下元素按原来次序组成一个n1阶行列式，称为元素 aij 余子式，记作 Mij，中，划去元素 aij 所在行和列，(1)i+j 称为 aij 代数余子式，记作余子式带上符号33行列式按行行列式按行(列列)展开展开 与克莱姆法则与克莱姆法则1.定义定义1一一.拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开定理第53页比如：比如：在四阶行列式中，a23 余子式 M23和代数余子式 A23，分别为：第54页考查三阶行列式其中：A11,A12，A13 分别为a11,a12,a13 代数余子式.三阶行列式可用其二级子式线性组合表示。第55页考查三阶行列式其中：A11,
14、A12，A13 分别为a11,a12,a13 代数余子式.三阶行列式可用其二级子式线性组合表示。第56页再考查二阶行列式二阶行列式也可由其子式组合表示.第57页例例3.3.计算三阶行列式解解：D=第58页还可看出+0=8412=72=D,+36=24+60=72=D,第59页+84=1224=72=D.以及第60页定理定理1 (Laplace展开定理)行列式等于它任一行(列)各元素与其对应代数余子式乘积之和。或即：第61页证实步骤：证实步骤：证第62页 证第63页第64页解：r2 r1r4+5 r1按 c2 展开r1+4 r2r3 8 r2例例4 用Laplace展开定理求例22第65页按 c
15、1 展开第66页例例5 证实四阶范德蒙行列式第67页证：证：D4r4x1r3r3x1r2r2x1r1按c1展开第68页r3x2r2r2x2r1按c1展开第69页推论：推论：n阶范德蒙(Vandermonde)行列式第70页定理定理2 行列式任一行(列)各元素与另一行(列)对应元素代数余子式乘积之和等于零。或即：第71页综合定理1和定理2，得：或第72页定理定理3 (克莱姆法则克莱姆法则)(1)(1)系数行列式设线性方程组二二.克莱姆法则克莱姆法则第73页其中Di(i=1,2,n)是用常数项b1,b2;bn代替D中第i列各元素而得到n阶行列式，即：(2)则方程组(1)有唯一解，且解可表示为：(i=1,2,n)第74页例例3 解线性方程组解：方程组系数行列式所以方程组有唯一解。第75页又：第76页所以：所以：D=6,D118,D2=0,D3=6,D4=6第77页注：注：在方程组(4.1)中，若全部常数项b1=b2=bn=0，则方程组称为n元齐次线性方程组。(3)显然有零解 x1=x2=xn=0第78页结论结论1：若齐次线性方程组(3)系数行列式D 0，则方程组只有零解。平凡解结论结论2：若齐次线性方程组(3)有非零解，则系数行列式 D=0。非平凡解第79页
