1、选修4-4 坐标系与参数方程第1页第一讲 坐标系第2页一、一、平面直角坐标中坐标伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换作用下,点P(x,y)对应到点则称 为平面直角坐标系中坐标伸缩变换,简称伸伸缩变换.第3页二、极坐标系建立：二、极坐标系建立：在平面内取一个定点在平面内取一个定点O，叫做，叫做极点极点。引一条射线引一条射线OX，叫做，叫做极轴极轴。再选定一个长度单位和再选定一个长度单位和角度单位角度单位及及它正方向它正方向（通常取逆时针方向）。（通常取逆时针方向）。这么就建立了一个这么就建立了一个极坐标系极坐标系。XO第4页三、极坐标系内一点极坐标要求三、极坐标系内一点极
2、坐标要求XOM 对于平面上任意一点对于平面上任意一点M，用用 表示线段表示线段OM长度，长度，用用 表示从表示从OX到到OM 角角度，度，叫做点叫做点M极径极径，叫做点叫做点M极角极角，有序数对，有序数对（，）就叫做就叫做M极坐标极坐标。尤其强调：尤其强调：表示线段表示线段OM长度长度，即，即点点M到极到极点点O距离距离；表示从表示从OX到到OM角度角度，即以，即以OX（极轴）为始边，（极轴）为始边，OM 为终边角。为终边角。第5页1、负极径定义、负极径定义说明：普通情况下，极径都是说明：普通情况下，极径都是正正值；在值；在一些必要情况下，极径也能够取一些必要情况下，极径也能够取负负值。值。对
3、于点对于点M（，）为）为负极径时要求：负极径时要求：1作射线作射线OP，使，使 XOP=2在在OP反向延长反向延长线上取一点线上取一点M，使，使 OM=OXP M第6页2、正、负极径时，点确实定过程比较、正、负极径时，点确实定过程比较OXPOXP1作射线作射线OP，使，使 XOP=/4 2在在OP反向延长线上取一点反向延长线上取一点M，使，使 OM=31作射线作射线OP，使，使 XOP=/4 2在在OP上取一点上取一点M，使，使 OM=3M画出点画出点（3，/4）和（和（3，/4）给定给定,在极坐标系中描点方法：在极坐标系中描点方法：先按极角先按极角找到找到极径所在射线极径所在射线，后，后按极
4、径正负和数值按极径正负和数值在这条射在这条射线或其反向延长线上描点。线或其反向延长线上描点。M第7页3、负极径实质、负极径实质 从比较来看，负极径比从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射正极径多了一个操作，将射线线OP“反向延长反向延长”。OXPMOXPM 而反向延长也能够看成而反向延长也能够看成是旋转是旋转 ，所以，所谓所以，所谓“负负极径极径”实质是实质是管方向管方向。这与。这与数学中通常习惯一致，用数学中通常习惯一致，用“负负”表示表示“反向反向”。第8页负极径小结：负极径小结：极径变为负极径变为负，极角增加极角增加 。尤其强调：普通情况下（若不作尤其说明时），尤其强调：普通情况下
5、（若不作尤其说明时），认为认为 0。因为负极径只在极少数情况用。因为负极径只在极少数情况用。第9页四、极坐标系下点与它极坐标对应四、极坐标系下点与它极坐标对应情况情况1给定（给定（,）,就能够在就能够在极坐标极坐标平面内确定唯一一平面内确定唯一一点点M。2给定平面上一点给定平面上一点M，但，但却有没有数个极坐标与之却有没有数个极坐标与之对应。对应。原因在于：极角有没有数个。原因在于：极角有没有数个。OXPM(,)第10页注意：注意：普通地普通地,若若(,)是一点极坐是一点极坐标标,则则(,+2k)、,+(2k+1)都都能够作为它极坐标能够作为它极坐标.假如假如限定限定0,02或或,那么除那么除
6、极点极点外外,平面内点和极坐标就能平面内点和极坐标就能够一一对应了够一一对应了.第11页五五:极坐标与直角坐标互化关系式极坐标与直角坐标互化关系式:设点设点M直角坐标是直角坐标是(x,y)，极坐标，极坐标是是(,)1.极坐标极坐标转化为转化为直角坐标直角坐标公式：公式：x=cos,y=sin2.直角坐标直角坐标转化为转化为极坐标极坐标公式：公式：2=x2+y2，tan=(x0)yx第12页2.极轴与直角坐标系极轴与直角坐标系x轴正半轴正半 轴重合轴重合;3.两种坐标系单位长度单位相同两种坐标系单位长度单位相同.注意：互化公式三个前提条件注意：互化公式三个前提条件1.极点与直角坐标系原点重合极点
7、与直角坐标系原点重合;第13页曲曲线图形形极坐极坐标方程方程圆心在极点,半径为 圆圆心为(r,0),半径为 r圆圆心为 ,半径为 r圆六六.特殊曲线极坐标方程特殊曲线极坐标方程第14页过极点,倾斜角为 直线 过点 ,与极轴垂直直线过点 ,与极轴平行直线第15页第二讲 参数方程第16页一一.参数方程概念参数方程概念 普通地,在平面直角坐标系中,假如曲线上任意一点坐标x,y 都是某个变数t 函数 而且对于t 每一个允许值,由方程组所确定点点 M(x,y)在这 曲线上,那么方程方程就叫做这条曲线参数方程参数方程,联络变数x,y变数变数 t叫做参变数参变数,简称参数参数,相对于参数方程而言,直接给出坐
8、标间关系方程叫做普通方程普通方程.第17页二二.参数方程和普通方程互化参数方程和普通方程互化1.曲线参数方程和普通方程是曲线方程不一样形式,普通能够经过消去参数消去参数而从参方程得到普通方程得到普通方程.2.假如知道变数x,y 中一个与参数t关系,比如 x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数关系y=g(t),那么 就是曲线参数方程曲线参数方程,在参数方程与普通方程互化中,必须使必须使x,y 取值范围保持一致取值范围保持一致.注：注：普通方程化为参数方程，参数方程形式不一定唯一参数方程形式不一定唯一.应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，假如用参数不一样，那么所求得曲线参数
9、方程形式也不一样.。第18页三三.特殊曲线参数方程特殊曲线参数方程x x2 2+y+y2 2=r=r2 2注：注：1、参数方程特点是没有直接表达曲线上点横、纵坐标、参数方程特点是没有直接表达曲线上点横、纵坐标之间关系，而是分别表达了点横、纵坐标与参数之间关系。之间关系，而是分别表达了点横、纵坐标与参数之间关系。2、参数方程应用往往是在、参数方程应用往往是在x与与y直接关系极难或不可能表直接关系极难或不可能表达时，经过参数建立间接联络。达时，经过参数建立间接联络。（为参数）（为参数）1.圆参数方程圆参数方程第19页2.椭椭圆参数方程（圆参数方程（ab）（为参数）（为参数）（为参数）其中其中称为称
10、为离心角离心角,要求参数要求参数取值范围是取值范围是第20页3.抛物线参数方程抛物线参数方程oyx)HM(x，y)第21页 经过点 ，倾斜角为 直线l普通方程是 而过 ，倾斜角为 直线l参数方程为 。4.直线参数方程（重点直线参数方程（重点）第22页直线参数方程中参数几何意义：t表示直线l上以 定点 为起点，任一点 为终点有向线段 数量当点 在 上方时，t0；当点 在 下方时，t0;当点 与 重合时，t=0。我们也能够把参数 t了解为以 为原点，直线l 向上方向为正方向数轴上点 坐标，其单位长度与原直角坐标系中单位长度相同。4.参数参数t几何意义几何意义选修4-4：P36例1，P37例2第23页1.参数方程参数方程 是是椭圆参数方程椭圆参数方程.2.在椭圆参数方程中，常数在椭圆参数方程中，常数a、b分别分别是椭圆长半轴长和短半轴长是椭圆长半轴长和短半轴长.ab另外另外,称为称为离心角离心角,要求参数要求参数取值范围是取值范围是2.椭椭圆参数方程圆参数方程（为参数）第24页 双曲线参数方程双曲线参数方程 baoxy)MBA 双曲双曲线参数方程能参数方程能够由方程由方程 与三角恒等式与三角恒等式 相比相比较而得到，所以双曲而得到，所以双曲线参数方程参数方程 实质是三角代是三角代换.说明：说明：这里参数里参数 叫做双曲叫做双曲线离心角与直离心角与直线OM倾斜角不一斜角不一样.第25页
