1、第2章逻辑代数基础 第第2章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 2.1概述概述 2.2逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算 2.3逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式 2.4逻辑代数的基本运算规则逻辑代数的基本运算规则 2.5逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 2.6逻辑函数的化简逻辑函数的化简 第2章逻辑代数基础 2.1概述概述数字电路研究的主要问题是输入和输出之间的关系，这种关系称为逻辑关系，而分析和处理逻辑关系的工具就是逻辑代数。逻辑代数也叫开关代数，还叫布尔代数。逻辑代数中的变量就是逻辑变量。逻辑变量分为两类，即输入逻辑变量和输出逻辑变量。无论是输入逻辑变量还是输出逻辑变量，它们的取值
2、“非0即1”。这里的“0”和“1”没有数的含义，它们表示两种完全对立的逻辑状态。第2章逻辑代数基础 一般来说，如果输入逻辑变量A,B,C,的取值确定以后，输出逻辑变量Y的取值也就被唯一地确定了，那么我们称Y是A,B,C,的逻辑函数，A,B,C,是Y的逻辑变量,记作 YF（A、B、C）第2章逻辑代数基础 2.2逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算 逻辑代数是分析和设计数字电路的数学工具。它是英国数学家乔治布尔(GeorgeBoole)在19世纪中叶创立的，故又称布尔代数或开关代数。在这里逻辑变量的两种取值“0”和“1”不再表示具体数值的大小，而是两种对立的逻辑状态，如开和关，有和无等。由于客观事
3、物的最基本的逻辑关系只有“与”、“或”、“非”三种，因而逻辑代数的基本运算也只有“与”、“或”、“非”三种。其他复杂的逻辑运算都可以演变为这三种基本运算。第2章逻辑代数基础 2.2.1与运算与运算与运算又叫逻辑乘，它所对应的逻辑关系为：当决定事物结果的几个条件同时满足时，结果才会发生。与运算的逻辑函数表达式为 Y=AB 与运算的逻辑符号如图21所示，真值表如表21所示。第2章逻辑代数基础 图21与运算的逻辑符号(a)常用符号；(b)国际符号 第2章逻辑代数基础 表表21与真值表与真值表 第2章逻辑代数基础 如图22所示,用开关串联控制电路来描述与逻辑关系。设开关A、B闭合为1，打开为0;灯Y亮
4、为1，灭为0。当且仅当A=B=1(都闭合)时，Y才等于1(亮)，所以它的逻辑函数表达式为 Y=AB 真值表同表21。第2章逻辑代数基础 图22开关串联控制电路 第2章逻辑代数基础 2.2.2或运算或运算或运算又称为逻辑加，它所对应的逻辑关系为：在决定事物结果的所有条件中，只要具备一个或一个以上的条件，结果就会发生。或运算的逻辑函数表达式为 Y=A+B 或运算的逻辑符号如图23所示，真值表如表22所示。第2章逻辑代数基础 图23或运算的逻辑符号(a)常用符号；(b)国际符号 第2章逻辑代数基础 表22或真值表 第2章逻辑代数基础 如图24所示，用开关并联控制电路来描述或逻辑关系。设开关A、B闭合
5、为1，打开为0;灯Y亮为1，灭为0。当A=1或B=1或A=B=1时，灯Y都会亮，所以逻辑函数表达式为 Y=A+B 第2章逻辑代数基础 图24开关并联控制电路 第2章逻辑代数基础 2.2.3非运算非运算非运算又称求反运算，它所对应的逻辑关系为：当决定一件事情的条件不具备时，这件事情才会发生。非运算的逻辑函数表达式为 非运算的逻辑符号如图25所示，真值表如表23所示。第2章逻辑代数基础 图25非运算的逻辑符号(a)常用符号；(b)国际符号 第2章逻辑代数基础 表23非真值表 第2章逻辑代数基础 如图26所示，用灯与开关并联电路来描述非逻辑关系。设开关A闭合为1，打开为0；灯Y亮为1，灭为0。当A=
6、1时，灯被旁路，Y=0；当A=0时，电流流过灯，Y=1。所以二者状态相反，逻辑函数表达式为 上述三种运算是逻辑代数的基本运算，由它们可以组成复合逻辑运算,常用的有与非、或非、与或非、异或、同或等。第2章逻辑代数基础 表表24常用复合逻辑运算的逻辑符号常用复合逻辑运算的逻辑符号 第2章逻辑代数基础 2.3逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式1.常量之间的关系常量之间的关系因为逻辑变量的取值是0和1，而逻辑代数中只有0和1两个常量，最基本的逻辑运算是与、或、非三种，所以常量之间的关系也只有与、或、非三种，即 00=0 01=010=011=100=001=110=111=1 第2章逻辑代数基础 2
7、.常量和变量之间的关系常量和变量之间的关系常量和变量有如下关系:A1=A A0=0 A1=1 A0=A 第2章逻辑代数基础 3.变量与变量之间的关系变量与变量之间的关系变量与变量有如下关系：第2章逻辑代数基础 利用上述基本公式可以推导出一些常用公式，应用于逻辑函数的化简，即 第2章逻辑代数基础 4.基本定理基本定理(1)交换律:AB=BAAB=BA(2)结合律:(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)第2章逻辑代数基础(3)分配律：A(BC)=ABAC ABC=(AB)(AC)(4)反演律(德摩根定理)：第2章逻辑代数基础 2.4逻辑代数的基本运算规则逻辑代数的基本运算规则2.4.1代入规
8、则代入规则在任何逻辑等式中，如果等式两边所有出现某一变量的地方都代之以一个函数，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。利用代入规则可以扩展公式和证明恒等式，从而扩大等式的应用范围。第2章逻辑代数基础【例21】证明：所以 第2章逻辑代数基础 2.4.2反演规则反演规则1.定义定义对于任何一个逻辑函数表达式Y，若将式中所有的“”换成“”，“”换成“”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则所得到的结果为Y。这一规则称为反演规则。2.作用作用利用反演规则很容易求一个函数的反函数。第2章逻辑代数基础 3.需要注意的问题需要注意的问题注意运算的顺序：先括号，再与，再或；不是一个变量上
9、的非号保持不变。【例22】第2章逻辑代数基础 2.4.3对偶规则对偶规则对于任何一个逻辑函数表达式Y，若将式中所有的“”换成“”，“”换成“”，0换成1，1换成0，就可以得到一个新的逻辑函数表达式Y，则Y和Y互为对偶式。如果两个逻辑函数表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等，这就是对偶规则。利用对偶规则可以证明恒等式。【例23】求 的对偶式。解解 第2章逻辑代数基础 2.5逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法逻辑函数反映了输入逻辑变量与输出逻辑变量之间的逻辑关系,或称因果关系。设某一逻辑系统的输入逻辑变量为A1，A2，,An，输出逻辑变量为Y。当A1，A2，,An取值确定时，Y的值就被唯一
10、地确定下来了，则称Y是A1，A2，,An的逻辑函数，其函数表达式为 Y=F(A1,A2,An)逻辑变量和逻辑函数都只有0和1两种取值。常用的逻辑函数表示方法主要有以下几种。第2章逻辑代数基础 2.5.1逻辑函数的表达式法逻辑函数的表达式法表达式法是将逻辑变量用与、或、非等逻辑运算组合起来的逻辑函数表示方法，例如 。表达式法的特点是可直接反映各个逻辑变量间的运算关系，便于化简、运算、变换，但它不能直接反映变量取值的对应关系，而且一个逻辑函数通常有多种表达式。一般取两种表达形式：与或式和或与式。第2章逻辑代数基础 2.5.2逻辑函数的真值表法逻辑函数的真值表法真值表法以表格的形式反映输入逻辑变量的
11、取值组合与函数值之间的对应关系。如：逻辑函数 Y=AB 因为每个逻辑变量都有0和1两种取值，所以A、B有四种可能的组合，每种组合下可得到一个逻辑函数的值，结果如表25所示。此表即为Y=AB的真值表。真值表法能直观地反映变量取值和函数值的对应关系。给出逻辑问题后，很容易直接列出真值表，但对多个变量的函数，列表比较麻烦。第2章逻辑代数基础 表25Y=AB的真值表 第2章逻辑代数基础 2.5.3逻辑函数的逻辑图法逻辑函数的逻辑图法逻辑图法用规定的逻辑符号表示逻辑函数的运算关系。例如，利用三种最基本的逻辑符号可以作出 的逻辑图，如图27所示。逻辑图与数字电路的与门、或门、非门器件有直接对应关系，也可作
12、为逻辑原理图，便于用器件实现，但同样不能运算和变换。第2章逻辑代数基础 图27逻辑图法 第2章逻辑代数基础 2.5.4逻辑函数的波形图法逻辑函数的波形图法波形图根据逻辑变量与函数的逻辑关系，在给出输入变量随时间变化的波形后，用电平的高、低变化描述输出变量随时间变化的波形。它可直观地反映输入与输出信号间的对应关系，又称为时序图。图28所示为给出A、B波形后得到的的对应波形图。波形图可用于对电路的测试、动态分析，但不能直接表示变量间的逻辑关系。第2章逻辑代数基础 图28波形图 第2章逻辑代数基础 2.5.5逻辑函数的卡诺图法逻辑函数的卡诺图法卡诺图是用图形表示逻辑函数的方法，又称图形法。卡诺图是对
13、逻辑函数化简的主要方法之一。它直观、完整地描述了函数的逻辑关系。卡诺图的构成和函数化简方法见2.6.3节。第2章逻辑代数基础 2.5.6逻辑函数各表示方法间的转换逻辑函数各表示方法间的转换逻辑函数的几种表示方法各有特点，任意一种形式的表示方法都可以转化为其它形式的表示方法。转换方法如下：1.由真值表写函数表达式由真值表写函数表达式将真值表中函数值为1的各变量组合列出，变量取值为1写为原变量，取值为0写为反变量，各变量间是与的关系，所有函数值为1的变量组合之间用或的关系表示，即最终的函数表达式为与或式。例如对于表26，可得 第2章逻辑代数基础 2.由函数表达式画真值表由函数表达式画真值表将变量的
14、所有取值组合列于真值表中，原变量用1表示，反变量用0表示。函数表达式中所包含的每一项对应的函数值为1，而不包含的取值组合对应的函数值为0。例如：,A、B所有组合为(00,01,10,11)，在取值为01和10时，Y=1，而在取值为00和11时，Y=0。画真值表,如表26所示。第2章逻辑代数基础 第2章逻辑代数基础 3.由函数表达式画逻辑图由函数表达式画逻辑图用相应逻辑符号表示逻辑函数表达式可得到相应逻辑图，如由函数表达式可得如图29所示的逻辑图。第2章逻辑代数基础 图29的逻辑图 第2章逻辑代数基础 5.由真值表或函数式画波形图由真值表或函数式画波形图已知输入变量波形，可根据真值表或函数式中输
15、入与输出的对应关系画出波形图，见2.5.4节。第2章逻辑代数基础 2.6逻辑函数的化简逻辑函数的化简2.6.1逻辑函数化简的意义及其最简形式逻辑函数化简的意义及其最简形式逻辑函数的化简是分析和设计数字系统的重要步骤。化简的目的是利用前述公式、规则和图形通过等价逻辑变换，使逻辑函数式成为最简式。逻辑函数式越简单,则实现该逻辑函数式所需的门数就越少，这样既可节省器件，降低成本，又能提高电路的可靠性。不同条件下，化简得到的结果有不同的形式，如最简与或式、或与式、与或非式、与非与非式、或非或非式等。它们的逻辑功能是相同的。最常用的是最简与或式和或与式。第2章逻辑代数基础 最简式的标准是表达式中项数最少
16、，而且每项内变量的个数也最少。有了与或式,可以通过变换得到其它所需形式的表达式。例如：由以上五种表达式可见，与或式最简单，实现起来所用元器件最少。第2章逻辑代数基础 2.6.2逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法公式化简是指利用逻辑函数的基本公式、定律、常用公式化简函数，消去函数式中多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，使之成为最简与或式。公式化简过程中常用以下几种方法。1.吸收法吸收法利用公式A+AB=A，消去多余的乘积项AB。【例24】化简Y=AB+ABCD。解解 Y=AB(1+CD)=AB 第2章逻辑代数基础 2.并项法并项法利用公式 ,将两项合并为一项，消去一个变量。【例25】化简
17、 第2章逻辑代数基础 第2章逻辑代数基础 第2章逻辑代数基础 第2章逻辑代数基础 化简函数时，应灵活应用上述公式，以得到较好的结果。由上述例题可以看出函数式化简没有一个统一的规范步骤可循，主要看对公式的熟练程度和运用技巧，而且化简结果难于判断是否为最简式。为此，下面我们将介绍一种既简便又直观的化简方法图形法化简，即用卡诺图化简逻辑函数式的方法。第2章逻辑代数基础 2.6.3逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法卡诺图化简法是将逻辑函数用卡诺图表示,在图上进行函数化简。利用卡诺图化简逻辑函数，可以较方便地得到最简函数式。卡诺图化简法是逻辑函数常用的化简方法。第2章逻辑代数基础 2)最小项的
18、编号为了便于书写，通常用mi对最小项进行编号。如把某最小项中的原变量记为1，反变量记为0，该最小项按确定的顺序排列成一个二进制数，则与该二进制数对应的十进制数就是下标i的值。如三变量最小项ABC的取值组合为011，对应的十进制数为3，则该项的编号为m3。按此原则，三变量的全部8个最小项的编号分别为m0、m1、m2、m3、m4、m5、m6、m7。表27所示为三变量A、B、C为不同取值组合时的全部最小项真值表。第2章逻辑代数基础 表表27三变量最小项真值表三变量最小项真值表 第2章逻辑代数基础 3)最小项的性质从表27中可以得到最小项的三个重要性质：(1)任何一组变量取值下，只有一个最小项的对应值
19、为1，其它最小项的值均为0。(2)任何两个不同的最小项的乘积为0。(3)任何一组变量取值下，全部最小项的和为1。第2章逻辑代数基础 2.逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式任何一个逻辑函数都可以表示为一组最小项的和的形式，称为最小项表达式或标准与或式。如果函数式中某些项不是最小项形式，可以化成最小项。方法是在不是最小项形式的乘积项中乘以(X+X)，补齐所缺因子，便可以得到最小项表达式。因此，任何一个n个变量的逻辑函数都有一个且仅有一个最小项表达式。第2章逻辑代数基础【例29】将逻辑函数 化简成最小项表达式。第2章逻辑代数基础 3.逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法1)卡诺图的
20、构成卡诺图是由美国工程师卡诺(Karnaugh)设计的，故称为卡诺图。它是最小项的方格图，每个小方格中填入一个最小项，n个变量的卡诺图是由2n个小方格组成的矩形或正方形。图中横方向和纵方向的变量取值按照逻辑相邻性排列，具有几何对称的最小项也具有相邻性，这是构成卡诺图的关键。所谓逻辑相邻性,是指在由n个变量组成的2n个最小项中，如果两个最小项仅有一个因子不同，其余因子均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻项,如ABC和ABC、ABC和ABC等。图210所示为二变量五变量逻辑函数的卡诺图。第2章逻辑代数基础 图210二变量五变量卡诺图（a)二变量；(b)三变量；(c)四变量；(d)、(e)五变量第2章
21、逻辑代数基础 五变量逻辑函数的卡诺图有两种画法，如图210（d)、(e)所示。五变量以上的逻辑函数卡诺图可按同样原则绘制，但变量越多图形越复杂，并且函数中逻辑相邻性不易判断，所以较少采用卡诺图化简。第2章逻辑代数基础 2)逻辑函数的卡诺图用卡诺图表示逻辑函数时，通常有三种情况：(1)直接给出逻辑函数真值表。在卡诺图中对应于变量取值组合的每个小方格内，根据真值表中的函数值直接填入，是1的填1，是0的填0或不填。(2)给出逻辑函数的最小项表达式。在对应于函数最小项的每个小方格中直接填1，其它给定函数中不包含最小项的方格中填0或不填。(3)给出的不是最小项表达式。首先将函数化简成最小项表达式(或者化
22、简成与或式)，在卡诺图中对应的最小项方格中填入1(或在每个乘积项包含的最小项处都填入1)，剩下的填0或不填。第2章逻辑代数基础【例210】用卡诺图表示下列逻辑函数：解解卡诺图如图211所示。第2章逻辑代数基础 图211例210的卡诺图 第2章逻辑代数基础 3)逻辑函数的卡诺图化简法利用卡诺图能够直观地将逻辑相邻项中不同的因子，利用公式AB+AB=A进行合并，消去不同因子，保留公因子，从而化简函数。(1)将卡诺图中两个填入1的相邻最小项合并为一项，消去一个变量，见图212。第2章逻辑代数基础 图212消去一个变量 第2章逻辑代数基础(2)将卡诺图中四个填入1的相邻最小项合并为一项，消去两个变量，
23、见图213。图213消去两个变量 第2章逻辑代数基础(3)将卡诺图中八个填入1的相邻最小项合并为一项，消去三个变量，见图214。第2章逻辑代数基础 图214消去三个变量 第2章逻辑代数基础 依次类推，将2i个相邻最小项合并可以消去i个变量。综合以上方法，用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：画卡诺图。根据函数中变量的个数，画出对应的函数卡诺图。填最小项值。将函数中包含的变量取值组合填入相应的最小项方格中。画圈合并最小项。按照逻辑相邻性将可以合并的最小项圈起来消去不同因子。写逻辑函数式。由画圈合并后的结果写出逻辑函数表达式，每个圈是一个乘积项。利用逻辑函数的卡诺图合并最小项时应注意几个问题：圈越大越好
24、。圈中包含的最小项越多，消去的变量就越多。必须按2i个最小项画圈。每个圈中至少包含一个新的最小项。必须把组成函数的所有最小项圈完。第2章逻辑代数基础 2.6.4具有约束项的逻辑函数的化简具有约束项的逻辑函数的化简1.约束项与约束条件约束项与约束条件1)约束项以上所讨论的逻辑函数，对于自变量的各种取值都有一个确定的函数值0或1与之对应，而在实际的数字系统中往往出现输入变量的某些取值组合与输出函数无关，电路正常工作时它们不可能出现。这些不会出现的变量取值组合所对应的最小项称为约束项。而在另一些逻辑函数中，某些变量取值既可以是1，也可以是0，具体取何值，应根据使函数尽量便于化简的原则来确定，这样的最
25、小项称为任意项。约束项和任意项统称为无关项，在函数中的取值可以取0，也可以取1。这个特殊的函数值在卡诺图上通常用或来表示，并填入相应的方格中。第2章逻辑代数基础 2)约束条件把所有约束项加起来构成的最小项表达式称为约束条件，通常用等于0的条件等式表示，即d(mi)=0,所以约束项的加入不改变原最小项表达式所描述的逻辑功能。第2章逻辑代数基础 2.利用约束项化简逻辑函数利用约束项化简逻辑函数化简带有约束项的逻辑函数，应该充分利用约束项可以取1，也可以取0的特点，灵活地扩大卡诺圈，尽量减少变量个数和最小项的个数。但是不需要的约束项，不应单独或和全部已圈过的1作卡诺圈，以避免增加多余项。第2章逻辑代数基础【例211】用卡诺图化简带约束项的函数：并写出最简与或式。解解卡诺图如图215所示。最简与或式为 第2章逻辑代数基础 图215例211的卡诺图 第2章逻辑代数基础 最简与或式为 Y=A+BC 第2章逻辑代数基础 图216 例2-12的卡诺图
