1、第1章数字逻辑基础 第第1章数字逻辑基础章数字逻辑基础 1.1数制与码制数制与码制 1.2逻辑代数基础逻辑代数基础 1.3逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律 1.4逻辑代数的常用公式和基本运算规则逻辑代数的常用公式和基本运算规则 1.5逻辑函数的表示方法及其相互转换逻辑函数的表示方法及其相互转换1.6逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法 第1章数字逻辑基础 1.7逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法 1.8集成逻辑门在使用中应注意的问题集成逻辑门在使用中应注意的问题 1.9技能训练技能训练 本章小结本章小结 习题习题 第1章数字逻辑基础 1.1数制与码制数制与码制1.1.1数制数
2、制用数字量表示物理量的大小时，仅用一位数码往往不够用，因此经常需要用进位计数的方法组成多位数码。我们把多位数码中每一位的构成方法以及从低位到高位的进位规则称为数制。第1章数字逻辑基础 1.进位计数制的基本概念进位计数制的基本概念进位计数制也叫位置计数制，其计数方法是把数划分为不同的数位，当某一数位累计到一定数量之后，该位又从零开始，同时向高位进位。在这种计数制中，同一个数码在不同的数位上所表示的数值是不同的。进位计数制可以用少量的数码表示较大的数，因而被广泛采用。下面给出进位计数制的两个基本概念：进位基数和数位的权值。进位基数：在一个数位上，规定使用数码符号的个数叫该进位计数制的进位基数或进位
3、模数，记作R。例如十进制，每个数位规定使用的数码符号为0，1，2，9，共10个，故其进位基数R=10。第1章数字逻辑基础 数位的权值：某个数位上数码为1时所表征的数值，称为该数位的权值，简称“权”。各个数位的权值均可表示成Ri的形式，其中R是进位基数，i是各数位的序号。按如下方法确定：整数部分，以小数点为起点，自右向左依次为0，1，2，n1；小数部分，以小数点为起点，自左向右依次为1，2，m。n是整数部分的位数，m是小数部分的位数。第1章数字逻辑基础 某个数位上的数码ai所表示的数值等于数码ai与该位的权值Ri的乘积，所以R进制的数D可表示为（D）R=an1an2a2a1a0a1a2am又可以
4、按权展开，写成如下多项式的形式：（1.1.1）第1章数字逻辑基础 2.常用进位计数制常用进位计数制在日常生活中，人们常用的是十进制计数，而在数字电路中使用的进位计数制有二进制、十六进制、八进制等，其中二进制应用得最为广泛。1)十进制十进制是日常生活和工作中最常使用的进位计数制。在十进制数中，每一位有09十个数码，故计数基数是10。其计数规则是“逢10进1”，各位的权值为10i，i是各位的序号。例如：第1章数字逻辑基础(136.78)10=1102+3101+6100+7101+8102根据式（1.1.1），任意一个十进制数(D)10均可展开为其中ai是第i位的数码，它可以是09这十个数码中的任
5、何一个。10是计数基数，10i是第i位的权。（1.1.2）第1章数字逻辑基础 2)二进制目前在数字电路中应用最广泛的是二进制。在二进制数中，每一位仅有0和1两个数码，故计数基数为2。其计数规则是“逢2进1”，各位的权值是2i。根据式（1.1.1），任何一个二进制数均可展开为 例如：(110.11)2=122+121+020+121+122（1.1.3）第1章数字逻辑基础 3)十六进制十六进制数的每一位有十六个不同的数码，分别用09、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15)表示。计数基数为16。其计数规则是“逢16进1”，各位的权值是16i。根据式（1.1.1），任
6、意一个十六进制数均可展开为例如：(4C.8E)16=4161+12160+8161+14162（1.1.4）第1章数字逻辑基础 1.1.2数制转换数制转换1.非十进制数转换成十进制数非十进制数转换成十进制数将非十进制数转换成十进制数一般采用按权展开相加的方法。具体步骤是：首先把非十进制数写成按权展开的多项式，然后按十进制数的计数规则求其和即可。【例例1.1】(10101.11)2=(?)10解解(10101.11)2=124+023+122+021+120+121+122=16+0+4+0+1+0.5+0.25=(21.75)10第1章数字逻辑基础【例例1.2】(2A.8)16=(?)10解解
7、(2A.8)16=2161+10160+8161=32+10+0.5=(42.5)10第1章数字逻辑基础 2.十进制数转换成非十进制数十进制数转换成非十进制数将十进制数转换为非十进制数时，整数部分和小数部分要分别进行转换，再把两者的转换结果相加。整数部分转换常用“除基数取余”法，其步骤如下：(1)将N除以R，记下所得的商和余数；(2)将上一步所得的商再除以R，记下所得的商和余数；(3)重复做第（2）步，直到商为0；(4)将各个余数按照和运算过程相反的顺序排列起来，即为所求的R进制数。第1章数字逻辑基础【例例1.3】(47)10=(?)2解解即(47)10=(101111)2第1章数字逻辑基础【
8、例例1.4】(435)10=(?)16解解即(435)10=(1B3)16第1章数字逻辑基础 小数部分的转换常用“乘基取整”法，其步骤如下：（1）将M乘以R，记下整数部分；（2）将上一步乘积中的小数部分再乘以R，记下整数部分；（3）重复做第（2）步，直到小数部分为0或者满足精度要求为止；（4）将各步求得的整数按照和运算过程相同的顺序排列起来，即为所求的R进制数。第1章数字逻辑基础【例例1.5】(0.85)10=(?)16解解0.8516=13.613=D最高位0.616=9.690.616=9.69最低位即(0.85)10=(0.D99)16第1章数字逻辑基础【例例1.6】(0.35)10=(
9、?)2解解0.352=0.70 最高位0.72=1.410.42=0.800.82=1.61最低位即(0.35)10=(0.0101)2可以看出，将十进制小数转换成非十进制小数后，两数不会绝对相等，只会近似。第1章数字逻辑基础 3.二进制数转换成十六进制数二进制数转换成十六进制数二进制数转换成十六进制数时，其整数部分和小数部分可以同时进行转换。其方法是：以二进制数的小数点为起点，分别向左、向右查数，每四位分为一组。对于小数部分，最低位一组不足四位时，必须在有效位右边补0，使其足位；对于整数部分，最高位一组不足四位时，可在有效位的左边补0（也可以不补）。然后，把每一组二进制数转换成十六进制数，并
10、保持原序列即可。第1章数字逻辑基础【例例1.7】(100111101.10011)2=(?)16解解即 (100111101.10011)2=(13D.98)16第1章数字逻辑基础 4.十六进制数转换成二进制数十六进制数转换成二进制数十六进制数转换成二进制数时，只要把十六进制数的每一位数码分别转换成四位二进制数，并保持原序列即可。整数最高位和小数最低位的0可以省略。【例例1.8】(35A.26)16=(?)2解解即 (35A.26)16=(1101011010.0010011)2第1章数字逻辑基础 1.1.3二二十进制编码十进制编码不同的数码不仅可以表示数量的大小，而且还能用来表示不同的事物。
11、在后一种情况下，这些数码已经没有表示数量大小的含义了，只是表示不同事物的代号而已，这些数码称为代码。为了便于记忆和处理，在编制代码时总要遵循一定的规则，这些规则就叫码制。用4位二进制数码分别表示十进制数09的方法称为二-十进制编码，简称BCD(Binary Coded Decimal)码。根据编码规律的不同，BCD码有多种不同的码制。表1.1中列出了几种常见的BCD代码。第1章数字逻辑基础 表1.1几种常见的BCD代码 第1章数字逻辑基础 8421BCD码是最常见的一种代码。其特点是每一位代码对应的二进制数都代表一个固定的十进制数值，把每一位的1代表的十进制数加起来，得到的结果就是它代表的十进
12、制数码。由于代码中从左到右每一位权分别表示8、4、2、1，所以把这种代码叫做8421码。8421BCD码中每一位的权是固定不变的，它属于有权代码。5421码和2421码也属于有权代码。它们的位权分别为5、4、2、1和2、4、2、1。第1章数字逻辑基础 余3码属于无权代码，即代码的每一数位无固定的权值。余3码的特点是把四位代码对应的二进制数转换成十进制数后，比对应的十进制数大3，故称为余3码。循环码又称格雷码，也是一种无权码。其主要特点是相邻的两个代码之间仅有一位状态不同。除了上面介绍的二-十进制码外，常见的代码还有奇偶校验码、字符代码等。奇偶校验码是一种可以检测一位错误的代码，而字符代码是对各
13、个字符和符号编制的代码。第1章数字逻辑基础 1.2逻辑代数基础逻辑代数基础逻辑代数是由英国数学家乔治布尔于1849年首先提出来的，因此逻辑代数又称布尔代数。逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数，它是一种适用于逻辑推理、研究逻辑电路的数学工具，它为分析和设计逻辑电路提供了理论基础。第1章数字逻辑基础 1.2.1逻辑变量与逻辑函数逻辑变量与逻辑函数具有两个对立状态取值的变量，称为逻辑变量，通常用大写字母表示。它的取值只有0和1两种，所以又称为二值变量。用以描述数字系统输出与输入变量之间逻辑关系的表达式，称为逻辑函数，通常也用大写字母表示。一般来说，如果输入逻辑变量A、B、C、的取值确定以后，输
14、出逻辑变量Y的值也被唯一地确定了，那么就称Y是A、B、C、的逻辑函数，并写成Y=F（A，B，C，）第1章数字逻辑基础 在逻辑函数中，不管是变量还是函数，它们都只有两个取值，即逻辑0和逻辑1。0和1称为逻辑常量，并不表示数值的大小，而是表示某一种事物两种对立的逻辑状态。这一点从事件发生的因果关系去想很容易理解。因为决定事件是否发生的条件相当于变量，尽管条件可能很多，但对于一个条件来说，都只有具备和不具备两种可能，而事件相当于函数，也只有发生和不发生两种情况。第1章数字逻辑基础 1.2.2正负逻辑正负逻辑在数字电子电路中，对于任何一个逻辑条件或结果的是否成立，既可以用“1”表示，也可以用“0”表示
15、。若用“1”表示条件或结果的成立，用“0”表示条件或结果的不成立，这一种逻辑体系称为正逻辑体系，简称为正逻辑；反之，若用“0”表示条件或结果的成立，用“1”表示条件或结果的不成立，这一种逻辑体系称为负逻辑体系，简称为负逻辑。由于在实际工作中人们大都习惯于使用正逻辑体系，因此在本教材及以后的实际工作中，如无特殊说明，所遇到的逻辑问题均为正逻辑体系。第1章数字逻辑基础 1.2.3基本逻辑运算与基本门电路基本逻辑运算与基本门电路基本逻辑运算有与、或、非三种。为了便于理解，我们用开关控制电路为例来说明这三种运算。将开关作为条件，灯作为结果。在图1.1（a）所示电路中，只有当两个开关同时闭合时，指示灯才
16、会亮，即决定事物结果的全部条件同时具备时，结果才会发生。这种因果关系叫做逻辑与，用符号“”表示与运算，故也叫做逻辑相乘，其逻辑关系式为Y=AB 第1章数字逻辑基础 图1.1用于说明与、或、非定义的电路第1章数字逻辑基础 在图1.1（b）所示电路中，只要任何一个开关闭合，指示灯就会亮，即决定事物结果的诸条件中只要有一个或一个以上条件满足，结果就会发生。这种因果关系叫做逻辑或，用符号“”表示或运算，故也叫做逻辑相加，其逻辑关系式为Y=A+B第1章数字逻辑基础 在图1.1（c）所示的电路中，当开关断开时灯亮，开关闭合时灯反而不亮。即只要条件具备了，结果便不会发生；而条件不具备时，结果一定发生。这种因
17、果关系叫做逻辑非，也叫做逻辑求反，用符号“”表示非运算，其逻辑关系式为若以A、B表示开关的状态，1表示开关闭合，0表示开关断开；Y表示指示灯状态，1表示灯亮，0表示灯灭，可以列出图1.1各电路的逻辑状态关系图表（如表1.2、1.3、1.4所示），这种图表称为逻辑状态真值表，简称真值表。第1章数字逻辑基础 表1.2与逻辑真值表 第1章数字逻辑基础 表1.3或逻辑真值表 第1章数字逻辑基础 表1.4非逻辑真值表 第1章数字逻辑基础 我们把能实现逻辑运算的单元电路称为门电路，把能实现“与”逻辑运算的单元电路称为与门，把能实现“或”逻辑运算的单元电路称为或门，把能实现“非”逻辑运算的单元电路称为非门（
18、也叫反相器）。与、或、非逻辑门的图形符号如图1.2所示。第1章数字逻辑基础 图1.2与、或、非逻辑门的图形符号(a)与门；(b)或门；(c)非门第1章数字逻辑基础 1.2.4组合逻辑运算与组合门电路组合逻辑运算与组合门电路实际的逻辑问题往往比与、或、非逻辑要复杂得多，不过它们都可以用与、或、非的逻辑组合来实现。最常见的组合逻辑运算有与非、或非、与或非、异或、同或等。实现组合逻辑运算的电路叫复合门。1“与非与非”逻辑运算逻辑运算“与非”逻辑是“与”逻辑和“非”逻辑的组合，先“与”再“非”，其逻辑表达式为实现“与非”逻辑运算的电路叫“与非门”，其图形符号如图1.3所示，真值表如表1.5所示。第1章
19、数字逻辑基础 图1.3与非门的图形符号第1章数字逻辑基础 表1.5与非逻辑的真值表 第1章数字逻辑基础 2“或非或非”逻辑运算逻辑运算“或非”逻辑是“或”逻辑和“非”逻辑的组合，先“或”再“非”，其逻辑表达式为实现“或非”逻辑运算的电路叫“或非门”，其图形符号如图1.4所示，真值表如表1.6所示。第1章数字逻辑基础 图1.4或非门的图形符号第1章数字逻辑基础 表1.6或非逻辑的真值表 第1章数字逻辑基础 3“与或非与或非”逻辑运算逻辑运算 “与或非”逻辑是“与”、“或”、“非”三种基本逻辑的组合，先“与”再“或”最后“非”，其逻辑表达式为实现“与或非”逻辑运算的电路叫“与或非门”，其图形符号如
20、图1.5所示，真值表如表1.7所示。第1章数字逻辑基础 图1.5与或非门的图形符号第1章数字逻辑基础 表1.7与或非逻辑的真值表 第1章数字逻辑基础 4“异或异或”逻辑运算与逻辑运算与“同或同或”逻辑运算逻辑运算若两个输入变量A、B的取值相异，则输出变量Y为1；若两个输入变量A、B的取值相同，则输出变量Y为0。这种逻辑关系叫“异或”逻辑，其逻辑表达式为读作“Y等于A异或B”。实现“异或”逻辑运算的电路叫“异或门”，其图形符号如图1.6所示。第1章数字逻辑基础 图1.6异或门的图形符号第1章数字逻辑基础 若两个输入变量A、B的取值相同，则输出变量Y为1；若两个输入变量A、B的取值相异，则输出变量
21、Y为0。这种逻辑关系叫“同或”逻辑，其逻辑表达式为读作“Y等于A同或B”。实现“同或”运算的电路叫“同或门”，其图形符号如图1.7所示。两变量的“异或”及“同或”逻辑的真值表如表1.8所示。由表1.8可知，两变量的“异或逻辑”和“同或逻辑”互为反函数，即或BAB第1章数字逻辑基础 图1.7同或门的图形符号第1章数字逻辑基础 表1.8“异或”及“同或”逻辑真值表 第1章数字逻辑基础 1.3逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律反映了逻辑运算的一些基本规律，只有掌握了这些基本定律，才能正确地分析和设计出逻辑电路。表1.9列出了逻辑代数的基本定律。第1章数字逻辑基础 表1.9逻辑代数
22、的基本定律 第1章数字逻辑基础 1.4逻辑代数的常用公式和基本运算规则逻辑代数的常用公式和基本运算规则1.4.1逻辑代数的常用公式逻辑代数的常用公式下面介绍几个逻辑代数的常用公式，这些公式是利用基本定律导出的。直接运用这些导出公式可以给化简逻辑函数的工作带来很大的方便。公式1证明：上式说明，在一个与或表达式中，若两个与项中分别包含了互为反变量的因子，而其它变量相同，则两项可以合并为一项，反变量因子可以消去。第1章数字逻辑基础 公式2 A+AB=A证明：A+AB=A(1+B)=A上式说明，在一个与或表达式中，若其中一项是另一项的一个因子，则包含这个因子的项是多余项，可以删去。公式2又称为吸收律。
23、公式3 证明：上式说明，在一个与或表达式中，若其中一项的非是另一项的一个因子，则这个因子是多余项，可以删去。第1章数字逻辑基础 公式4证明：推论第1章数字逻辑基础 公式4及其推论说明，在一个与或表达式中，如果两个与项中分别包含A和两个因子，而这两个与项的其余因子都是第三个与项的因子，则第三项是多余的，可以删去。这个多余项称为冗余项，公式4又称冗余定理。第1章数字逻辑基础 公式5证明：上式说明，当一个变量A和一个与非项相与，且变量A是与非项的因子时，则与非项中的变量A可以消去。第1章数字逻辑基础 1.4.2几个基本运算规则几个基本运算规则1 代入规则代入规则在任何一个包含变量A的逻辑等式中，如果
24、将所有出现A的地方都用函数G替换，则等式仍然成立。例如A(B+C)=AB+AC若用G=D+E代替等式中的C，则AB+(D+E)=AB+A(D+E)因为任何一个逻辑函数和任何一个逻辑变量一样，都只有0和1两种取值，可以将逻辑函数作为逻辑变量对待，上述规则必然成立。代入规则可以扩大基本定律的应用范围。第1章数字逻辑基础 2 反演规则反演规则若将逻辑函数Y中所有的“”换成“+”，“+”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是。反演规则为求取已知逻辑式的反逻辑式提供了方便。在使用反演规则时还需注意遵守以下两个规定：（1）仍需遵守“先括号、然后乘
25、、最后加”的运算优先次序。（2）不属于单个变量上的非号应保留不变。第1章数字逻辑基础 例如则反演规则实际上是反转律的推广，或者说反转律是反演规则的一个特例。第1章数字逻辑基础 3 对偶规则对偶规则若将逻辑函数Y中所有的“”换成“+”，“+”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，并保持持原先的逻辑优先级、变量不变，两个变量以上的非号不动，则可得原函数Y的对偶式Y，且Y和Y互为对偶式。例如则对偶式为如果两个逻辑函数表达式相等，则它们的对偶式必然相等。应用这一规则在证明逻辑函数恒等式时，可以证明对偶式相等。第1章数字逻辑基础 1.5逻辑函数的表示方法及其相互转换逻辑函数的表示方法及其相互转换
26、1.5.1逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法常用逻辑函数的表示方法有逻辑真值表（简称真值表）、逻辑函数式、逻辑图和卡诺图等。我们以图1.8的举重裁判电路为例，分别介绍逻辑函数的前三种表示方法。(用卡诺图表示逻辑函数的方法将在后面作介绍。)第1章数字逻辑基础 图1.8举重裁判电路第1章数字逻辑基础 比赛规则规定：在一名主裁判和两名副裁判中，必须有两人以上（而且必须包括主裁判）认定运动员的动作合格，试举才算成功。比赛时，主裁判控制开关A，两名副裁判分别控制开关B和C。当运动员举起杠铃时，裁判认为动作合格了就合上开关，否则不合。显然，指示灯Y的状态（亮与暗）是开关A、B、C状态（合上与断开）的函数
27、。若以1表示开关闭合，0表示开关断开；以1表示灯亮，以0表示灯灭，则指示灯Y是开关A、B、C的二值逻辑函数，即Y=F(A,B,C)第1章数字逻辑基础 1.真值表真值表将输入变量所有取值下对应的输出值找出来，列成表格，即可得到真值表。根据图1.8电路的工作原理，不难看出，只有A=1，同时B、C至少有一个为1时，Y才等于1，于是可列出图1.8的真值表(如表1.10所示)。第1章数字逻辑基础 表1.10图1.8电路的真值表 第1章数字逻辑基础 2逻辑函数式逻辑函数式将输出变量与输入变量之间的关系写成与、或、非运算的表达式，即为逻辑函数式。在图1.8所示的电路中，根据电路的功能要求及与、或运算的逻辑定
28、义，“B和C中至少有一个合上”可以表示为（B+C），“同时还要求合上A”，则应写作A（B+C），因此得到输出的逻辑函数式为Y=AB+AC=A（B+C）（1.5.1）第1章数字逻辑基础 3 逻辑图逻辑图将逻辑函数中各变量之间的与、或、非逻辑运算用图形符号表示出来，即为逻辑图。式（1.5.1）的逻辑图如图1.9所示。第1章数字逻辑基础 图1.9举重裁判电路的逻辑图第1章数字逻辑基础 1.5.2逻辑函数各种表示方法之间的相互转换逻辑函数各种表示方法之间的相互转换上述逻辑函数的三种不同表示方法是用不同的表现形式描述同一个逻辑关系，那么，这三种方法之间必能相互转换。经常用到的转换方法有以下几种。1.由真
29、值表写出逻辑函数式由真值表写出逻辑函数式已知真值表写出逻辑函数式的一般方法如下：（1）挑出真值表中使函数值为1的变量的取值组合；（2）每组变量取值的组合对应写出一个乘积项，其中变量取值为1的写成原变量，为0的写成反变量；（3）将这些乘积项加起来，就可以得到该函数的标准与或式。第1章数字逻辑基础【例例1.9】已知一个逻辑函数的真值表如表1.11所示，试写出其逻辑函数式。第1章数字逻辑基础 表1.11例1.9 函数的真值表 第1章数字逻辑基础 解解A、B、C有4种取值组合使Y为1。按照变量取值为1的写成原变量、为0的写成反变量的求乘积项的原则，可得4个乘积项：、ABC。将4个乘积项加起来所得到的就
30、是函数Y的表达式，即第1章数字逻辑基础 2.由逻辑函数式写出真值表由逻辑函数式写出真值表只要把输入变量的所有取值组合代入逻辑函数式后进行运算求出函数值，把输入变量与函数值的对应关系用表格的形式列出，即得真值表。【例例1.10】已知逻辑函数，求出对应的真值表。解解只要将A、B的各种取值组合逐一代入逻辑函数式Y进行计算，将计算结果列成表，即得如表1.12所示的真值表。第1章数字逻辑基础 表1.12例1.10的真值表 第1章数字逻辑基础 3.由逻辑函数式画出逻辑图由逻辑函数式画出逻辑图用逻辑符号逐一代替逻辑式中的运算符号，就可以画出对应的逻辑图了。【例例1.11】已知逻辑函数Y=(A+B)C，画出其
31、逻辑图。解解A、B是或运算，而和C是与运算，用逻辑运算的图形符号代替式中的逻辑符号，即可得如图1.10所示的逻辑图。第1章数字逻辑基础 图1.10例1.11的逻辑图第1章数字逻辑基础 4.根据逻辑图写出逻辑函数式根据逻辑图写出逻辑函数式只要由输入端到输出端逐级写出逻辑符号对应的逻辑表达式，就可以得到与逻辑图对应的逻辑函数表达式。【例例1.12】已知逻辑函数的逻辑图如图1.11所示，试写出其逻辑函数式。解解从输入端A、B开始逐个写出每个图形符号输出端的逻辑式，得到第1章数字逻辑基础 图1.11例1.12的逻辑图第1章数字逻辑基础 1.6逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法1.6.1化简逻辑函
32、数的意义化简逻辑函数的意义1.逻辑函数式的几种形式逻辑函数式的几种形式对同一逻辑函数可以有几种不同的表示形式。例如第1章数字逻辑基础 与或表达式与非与非表达式或与表达式或非或非表达式与或非表达式根据不同的表示形式，可得函数Y的逻辑图如图1.12所示。可以看出，通过逻辑函数的转换，同一个逻辑函数可以用不同的逻辑门来实现。第1章数字逻辑基础 图1.12函数的逻辑图第1章数字逻辑基础 2.化简逻辑函数的意义化简逻辑函数的意义同一逻辑函数可有几种不同的表示形式，即使同一类型的表达形式，也不是唯一的，例如由上式可知未化简前需要4个门，而化简后只需3个门。可见，对逻辑函数进行化简，可以使电路使用门电路的个
33、数更少，门电路输入端的个数更少，电路的级数更少，电路更简单，工作更可靠。第1章数字逻辑基础 1.6.2逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法又称公式化简法，就是利用逻辑函数的基本公式、法则等将逻辑函数转换为最简形式。在几种函数表达形式中，与或表达式最常用，也容易转换成其它的表达形式。本小节着重讨论最简的与或表达式。第1章数字逻辑基础 最简与或表达式的条件是：在不改变逻辑关系的条件下，首先使表达式中乘积项的个数最少，其次是每个乘积项中变量的个数最少。只有同时满足以上两个条件，该表达式才是最简的与或表达式。用代数法化简与或表达式的方法通常有并项法、吸收法、消项法、消因子法、配
34、项法等，下面通过例题说明代数化简的方法。第1章数字逻辑基础 1 并项法并项法并项法就是根据公式，将两项合并为一项，消去一对互为反变量的因子。【例例1.13】化简逻辑函数。解解原式第1章数字逻辑基础 2 吸收法吸收法吸收法就是根据公式A+AB=A，吸收多余的项。【例例1.14】化简逻辑函数。解解原式3 消项法消项法消项法就是根据公式，消去多余的项。【例例1.15】化简逻辑函数。解解原式第1章数字逻辑基础 4 消因子法消因子法消因子法是利用公式，消去各项中的多余因子。【例例1.16】化简逻辑函数。解解原式第1章数字逻辑基础 5.配项法配项法配项法是利用互补律，在函数式中的某一项上乘后拆分成两项，再
35、与其它项合并；或者利用重叠律A+A=A，在逻辑函数式中重新写入某一项，再与其它项合并。【例例1.17】化简逻辑函数。解解原式第1章数字逻辑基础【例例1.18】化简逻辑函数。解解原式在化简复杂的逻辑函数时，往往需要灵活、交替地综合运用上述方法，才能得到最后的化简结果。第1章数字逻辑基础 1.7逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法1.7.1逻辑函数的最小项及最小项表达式逻辑函数的最小项及最小项表达式1.最小项最小项在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现且仅出现一次，则称m为该逻辑函数的一个最小项。第1章数字逻辑基础 例如，A、B、C
36、三个变量的最小项有、ABC共8个（即23个）。n变量的最小项应有2n个。输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于1。例如在三变量A、B、C的最小项中，当A=1、B=1、C=0时，。如果把的取值110看做一个二进制数，那么它所表示的十进制数就是6。为今后使用的方便，将这个最小项记作m6。按照这一约定，就得到了三变量最小项的编号表，如表1.13所示。第1章数字逻辑基础 表1.13三变量最小项的编号表 第1章数字逻辑基础 根据同样的道理，我们把A、B、C、D这4个变量的16个最小项记作m0m15。从最小项定义出发，可以证明最小项有如下性质：(1)在输入变量的任何取值下，必有一个最小项，且仅有
37、一个最小项的取值为1。全部最小项的和为1。(2)任意两个最小项的与为0。(3)若两个最小项中只有一个因子不同，则为相邻。相邻的两个最小项之和可以合并为一项，且消去一个因子。(4)n个输入变量的逻辑函数，每个最小项有n个最小项与之相邻。第1章数字逻辑基础 2 逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式由最小项组成的与或表达式称为逻辑函数的最小项表达式，最小项表达式又称为逻辑函数的标准形式。利用基本公式可以把任何一个逻辑函数化为最小项表达形式。这种标准形式在逻辑函数的化简以及逻辑电路的分析和设计中得到了广泛的应用。第1章数字逻辑基础 例如，给定逻辑函数为则可化为有时也简写为m(0,1,2,3,7
38、)或(0,1,2,3,7)的形式。第1章数字逻辑基础 最小项表达式具有唯一性。任何逻辑函数的最小项表达式只有一个，它和逻辑函数的真值表有着严格的对应关系，而逻辑函数的一般式具有多样性。第1章数字逻辑基础 1.7.2逻辑函数的卡诺图表示法逻辑函数的卡诺图表示法1表示最小项的卡诺图表示最小项的卡诺图将n变量的全部最小项各用一个小方格表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。图1.13中画出了25个变量最小项的卡诺图。其方格上方和左方是对应输入变量取值的组合，方格内是输出变量的取值。第1章数字逻辑基础 图1.1325个变量最小项的卡诺图第1章
39、数字逻辑基础 所谓逻辑相邻，是指两个小方格所填入的最小项中只有一个因子是互为反变量的，其余变量均相同。如图1.13所示，在卡诺图中的相邻关系除了直观上的相邻外，最上边的小方格和最下边的小方格相邻，最左边的小方格和最右边的小方格相邻，其相当于将一个圆球分为小方格后再展开成卡诺图。第1章数字逻辑基础 2 逻辑函数的卡诺图表示法逻辑函数的卡诺图表示法既然任何一个逻辑函数都能表示为若干最小项之和的形式，那么自然也就可以设法用卡诺图来表示任意一个逻辑函数。具体方法是先将逻辑函数化为最小项之和的形式，然后在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入1，在其余位置上填入0（有时为了简化只填1，或只填0），就得到了
40、表示该逻辑函数的卡诺图。也就是说，任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图中填入1的那些最小项之和。第1章数字逻辑基础【例例1.19】用卡诺图表示逻辑函数。解解首先将Y化为最小项之和的形式卡诺图如图1.14所示。第1章数字逻辑基础 图1.14例1.19的卡诺图第1章数字逻辑基础 1.7.3逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数的卡诺图化简利用卡诺图化简逻辑函数的方法称为卡诺图化简法或称为图形化简法。其基本原理是具有相邻性的最小项可以合并，并消去不同的因子。合并规则为：(1)若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去一对互为反变量的因子，合并后的结果中只剩下公共因子。如图1.15所示，m1与m9相邻，合并后只剩下。（
41、2）若四个最小项相邻并排成一个矩形组，则可合并为一项并消去两对互反的因子，合并后的结果中只剩下公共因子。如图1.15中，m4、m6、m12、m14相邻，合并后只剩下。第1章数字逻辑基础 图1.15卡诺图化简第1章数字逻辑基础(3)若八个最小项相邻，并排成一个矩形组，可合并为一项并消去三对互为反变量的因子，合并后的结果中只剩下公共因子。如图1.15中，m8、m9、m10、m11、m12、m13、m14、m15相邻，合并后只剩下A。综上所述，如果有2n（n=1，2，3，）个最小项相邻，并排成一个矩形组，可合并为一项，消去n对互为反变量的因子，结果中只剩下公共因子。下面通过例题具体说明利用卡诺图化简
42、逻辑函数的方法。第1章数字逻辑基础【例例1.20】化简图1.16(a)所示的卡诺图逻辑函数。解解合并最小项的方法有多种，如图1.16(b)所示，将相邻两小方格画包围圈读出，即，将四个小方格画包围圈读出，即B，得，该式不是最简形式；如图1.16(c)所示，将两组四个小方格画包围圈分别读出，即A、B，得最简形式Y=A+B。因此应尽可能多地将相邻的1圈起来，只要符合2n个1相邻即可，所以图1.16(c)的圈法最合理，故Y=A+B。第1章数字逻辑基础 图1.16例1.20的卡诺图第1章数字逻辑基础【例例1.21】化简逻辑函数。解解给定与或表达式，尽管不全是最小项，也可直接读入卡诺图。如图1.17(a)
43、所示，画包围圈，得最简与或表达式第1章数字逻辑基础 本例由于0的方格数少，也可以按前述化简步骤，在图1.17(b)中画0包围圈，得到逻辑函数的反函数表达式第1章数字逻辑基础 图1.17例1.21的卡诺图第1章数字逻辑基础 通过上述分析，可以归纳出用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：(1)将函数化简为最小项表达式。(2)画出表示该逻辑函数的卡诺图。(3)按相邻性原则找出可以合并的最小项，画包围圈。包围圈的个数应最少，每个包围圈中1的个数应尽可能多，但必须等于2n个，且每个包围圈应是独立的矩形包围圈。（4）按前述合并规则读出每个包围圈的乘积项，将所有包围圈对应的乘积项相加即得逻辑函数的最简与或式。第1
44、章数字逻辑基础 1.7.4具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简1 约束项、任意项和逻辑函数中的无关项约束项、任意项和逻辑函数中的无关项在分析某些具体的逻辑函数时，经常会遇到这样一种情况，即输入变量的取值不是任意的。对输入变量的取值所加的限制称为约束。同时，把这一组变量称为具有约束的一组变量。例如，有三个逻辑变量A、B、C，分别表示一台电动机的正转、反转和停止命令，A=1表示正转，B=1表示反转，C=1表示停止。因为电动机任何时候只能执行其中的一个命令，所以不允许两个以上的变量同时为1，即ABC的取值只能出现001、010和100，而不能出现000、011、101、110、1
45、11中的任何一种，因此，A、B、C是一组具有约束条件的变量。第1章数字逻辑基础 上述约束条件可以表示为或写成我们把这些恒等于0的最小项称为约束项。第1章数字逻辑基础 表示电动机运行情况的逻辑函数式可以写为，约束条件：d(0,3,5,6,7)=0或者Y(A,B,C)=m(1,2,4)+d(0,3,5,6,7)有时还会遇到另外一种情况，就是在输入变量的某些取值下函数值是1或0皆可。例如，用四位8421BCD码表示十进制数时只取前十个代码，而后六个代码在计数器中并不出现，即变量A、B、C、D的取值为后六个代码时，函数值既可以等于1，也可以等于0。我们把函数在这些取值下既可以等于1也可以等于0的最小项
46、称为任意项。第1章数字逻辑基础 由于约束项的取值始终等于0，所以，可以将其写进函数式，也可以删去，均不影响函数的取值任意项。同样，由于任意项在系统中并不出现，将其写进函数式也不影响函数取值，因此，我们把约束项和任意项统称为无关项。这里所说的无关是指是否把这些最小项写入逻辑函数是无关紧要的，可以写入也可以删除。前面曾经讲到，在用卡诺图表示逻辑函数时，首先将函数化为最小项之和的形式，然后在卡诺图中这些最小项对应的位置上填入1，其它位置填入0。既然无关项对逻辑函数无关紧要，那么在卡诺图中对应位置上就可以填入1，也可以填入0。为此，在卡诺图中用（或）表示无关项。第1章数字逻辑基础 2 无关项在逻辑函数
47、化简中的应用无关项在逻辑函数化简中的应用化简具有无关项的逻辑函数时，如果合理利用这些无关项，一般都可得到更加简单的化简结果。为达到此目的，加入的无关项应与函数式中尽可能多的最小项具有逻辑相邻的关系。下面通过例题加以说明。第1章数字逻辑基础【例例1.22】化简逻辑函数，其约束条件为解解如果不用约束项，则函数Y已是最简形式，无可化简。适当加入约束项后可得第1章数字逻辑基础 约束项约束项约束项 约束项约束项第1章数字逻辑基础 图1.18例1.22的卡诺图第1章数字逻辑基础 可见，利用了约束项后，使函数得以进一步化简。如果应用卡诺图化简，则可以直观地看出应该使用哪些约束项。图1.18是例1.22的卡诺
48、图。从图中不难看出，为了得到最大的包围圈，应取约束项m3、m5为1，与m1、m7组成一个包围圈；取m10、m12、m14为1，与m8组成一个包围圈。将两组相邻的最小项合并后得到的化简结果与推导的结果相同。卡诺图中未使用的约束项（m9、m15）为0。第1章数字逻辑基础【例例1.23】化简逻辑函数解解画出如图1.19所示的卡诺图，由图可见，若认为约束项m10、m12、m14为1，而其它约束项为0，则可圈出三个包围圈，如图所示，其化简结果为第1章数字逻辑基础 图1.19例1.23的卡诺图第1章数字逻辑基础 1.8集成逻辑门在使用中应注意的问题集成逻辑门在使用中应注意的问题目前，在数字电路中广泛应用的
49、是集成门电路。集成门电路按内部有源器件的不同可分为两大类：一类为双极型晶体管集成电路，主要有晶体管-晶体管TTL逻辑、射极耦合逻辑ECL和集成注入逻辑I2L等几种类型；另一类为单极型MOS集成电路，包括NMOS、PMOS和CMOS等几种类型。常用的是TTL和CMOS集成电路。在具体使用集成逻辑门时，还有以下几个要注意的问题。第1章数字逻辑基础 1 多余输入端的处理多余输入端的处理在使用集成门电路时，如果输入信号个数少于门的输入端子数，就有多余的输入端。对其进行处理时，以不改变电路工作状态、电路工作可靠、接线简单等方面综合考虑为原则。对于TTL与门和与非门，多余端可以直接或通过1 k电阻接+VC
50、C，也可以并联到使用端，在确保多余端不会被干扰的情况下，为了使电路简单，也可以悬空（此时认为输入端接了一个无穷大的电阻，该端子输入了高电平）。对于TTL或门和或非门，多余端应该接地或并联到使用端上。第1章数字逻辑基础 对于CMOS与门和与非门来说，多余端只能通过较大的电阻（至少10 k）接+VDD（输入过流保护），不允许悬空（以防止静电损坏），也不适合于与使用端并联（并联使电容效应增大）。对于CMOS或门和或非门，多余端只能接地，这样，该端子的输入电平认为是低电平0。对于其它门电路可以参照以上原则进行处理。第1章数字逻辑基础 2 电源电源数字电路的各种门电路对电源电压的要求是不同的，对于TTL
