1、图1.1 楼房照明灯的逻辑控制电路 1.1 数数 制制 与与 代代 码码1.1.1 常用数制常用数制1.二进制数 二进制数的基数是2，采用两个数码0和1。计数规律是“逢二进一”。二进制数各位的位权为20,21,22，。任何一个二进制数都可以表示成以基数2为底的幂的求和式,即位权展开式。例例 1 （11010）2=124+123+022+121+020如果是小数同样可以表示为以基数2为底的幂的求和式。但小数部分应是负的次幂。例例 2 (1011.1)2=123+022+121+120+1212.八进制数八进制数的基数是8，采用8个数码0,1,2,3,4,5,6,7。计数规律是“逢八进一”。八进制
2、数各位的位权为80,81,82,。例 3 （325.24）8=382+281+580+281+4823.十六进制数十六进制数的基数是16。采用16个数码0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F。其中，A到F表示10到15。计数规律是“逢十六进一”。十六进制数各位的位权为160,161,162,。十六进制数也可以表示成以基数16为底的幂的求和式。例 4 （70.3）16=7161+0160+31611.1.2 不同进制数的相互转换不同进制数的相互转换1.二进制、八进制、十六进制数转换为十进制数方法：按权展开并相加。例5 (11011.11)2=(?)10解 按权展开:例 6
3、 (25.4)8=(?)10解 按权展开:例 7 (AC.8)16=(?)10解 按权展开:2.十进制数转换为二进制、八进制、十六进制数方法:分整数和小数两部分。整数为除以基数取余数倒读(直到商为0)。小数为乘以基数取整数顺读(直到小数为0或按要求保留位数)。例 8 (14.625)10=(?)2解 (1)整数:(2)小数:即:(14.625)10=(1110.101)2 例 9 (28.75)10=(?)8解 (1)整数:(2)小数:即(28.75)10=(34.6)8例 10 (0.39)10=(?)2解即(0.39)10=(0.0110001)23.二进制数转换为八进制、十六进制数由于二
4、进制和八进制、十六进制之间正好满足23、24关系，因此转换时将二进制数由小数点开始，分别向两侧每三位或每四位一组，若整数最高位不足一组，在左边加0补足一组，小数最低位不足一组，在右边加0补足一组，然后按每组二进制数转换为八进制数或十六进制数。例 11 (1101101010.0110101)2=(？)8=(？)16 解 (001/101/101/010.011/010/100)2=(1552.324)8 (0011/0110/1010.0110/1010)2=(36A.6A)164.八进制、十六进制数转换为二进制数方法：将每位八进制或十六进制数分别转换为三位或四位二进制数码。例 12 (236
5、.74)8=(10011110.1111)2 (A6C.63)16=(101001101100.01100011)21.1.3 代码代码1.BCD码二-十进制码（简称BCD码），指的是用四位二进制数来表示一位十进制数09。按选取方式的不同，可以得到如表1.1所示常用的几种BCD编码，奇偶数校验码等请查阅相关资料。8421BCD码是常用的BCD码，它是一种有权码，8421就是指这种码中各位的权分别为8、4、2、1。余3码是无权码，余三码是由8421码加3后得到的。BCD码的表示方法也很简单,就是将十进制数的各位数字分别用四位二进制数码表示出来。例如:2.格雷码一位格雷码与一位二进制数码相同，是0
6、和1。由一位格雷码得到两位格雷码的方法是将第一位的0、1 以虚线为轴折叠，反射出1、0，然后在虚线上方的数字前面加0，虚线下方数字前面加1，便得到了两位格雷码00、01、11、10，分别表示十进制数03。同样的方法可以得到三位、四位格雷码，如图1.2所示。图 1.2 格雷码3.数的原码、反码和补码表示1)机器数与真值按我们习惯表示方法正5用+5表示，二进制数为+101；负5用5表示，二进制数为 101。在数字设备中“+”、“”也要数值化，一般将数的最高位设为符号位，“0”表示为“+”，“1”表示为“”。例如：2)原码、反码及补码(1)原码。将数的真值形式中正数符号用符号位0表示，负数符号用符号
7、位1表示时，叫做数的原码形式，简称原码。如绝对值为9的数，它的真值形式和原码形式如下所示（用四位数码表示，最高位为符号位）：(2)反码。对于正数，反码与原码相同；对于负数，符号位不变，反码数位由原码数位逐位求反而得。例如：+9用四位二进制数表示为 9用四位二进制数表示为(3)补码。对于正数，原码、反码和补码的表示是相同的。对于负数表示则不相同，符号位不变，其余各位取反，并在最低位加1，即在反码最低位加1。例如：3)原码、反码和补码的算术运算机器数有三种表示方法，它们形成规则不同，算术运算的方法也不相同。例 13 已知X=+1101，Y=+0110，用原码、反码及补码计算Z=XY。解 (1)原码
8、运算。采用原码运算时，需将真值表示为原码：X原=01101 Y原=00110 首先，判别相减的两数是同号还是异号。若为同号，则进行减法；若为异号，则进行加法。本例X、Y同号，故进行减法。其次，判别X、Y的大小，以便确定被减数。本例|X|Y|,故X为被减数，结果的符号应与X原相同。所以有：Z原=00111,其真值Z=+0111。(2)反码运算。进行反码减法时可按X反+Y反进行，将减法变为加法运算。其运算结果仍为反码。X反=01101 Y反=11001则Z反=X反+Y反，其算式如下：对反码运算是按下列规则进行的：Z反=X+Y反=X反+Y反+符号位进位所以有：Z反=00111,其真值为Z=+0111
9、。(3)补码运算。采用补码运算时，需将真值表示为补码，其运算过程与反码运算相似,按X补+Y补进行,将减法运算变为加法运算。其运算结果仍为补码。X补=01101 Y补=11010 1.2 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算1.2.1 基本概念基本概念逻辑代数中的逻辑变量与普通代数的变量有一个共同的特点：都是用字母A，B，C，X，Y，Z等来表示；但也有明显的不同点：逻辑代数中的变量取值只有0和1，而这里的0和1并不表示具体的数值大小，而是表示两种相互对立的逻辑状态。1.2.2 三种基本运算三种基本运算1.与运算只有当决定事物结果的所有条件全部具备时，结果才会发生，这种逻辑关系称为与逻辑关系(又称
10、与运算)。与逻辑模型电路如图1.3所示,A、是两个串联开关，是灯，用开关控制灯亮和灭的关系如表.2所示。图 1.3 与逻辑电路图表1.3是将输入逻辑变量各种取值的组合和相应的函数值排列而成的真值表。它的输入部分有N=2n项组合。其中，n是输入变量的个数。两个开关有22项组合；若是三个开关，则有23项组合。与运算也称“逻辑乘”。与运算的逻辑表达式为:Y=AB或 Y=AB （“”号可省略）与逻辑的运算规律为：输入有得，全得。与逻辑的逻辑符号如图1.4所示。图 1.4 与逻辑符号与逻辑的波形图如图1.5所示。该图直观地描述了任意时刻输入与输出之间的对应关系及变化的情况。图 1.5 与逻辑波形图 2.
11、或运算或逻辑模型电路如图1.6所示。图中，A、B是两个并联开关，Y是灯。用开关控制灯亮和灭的关系如表1.4所示。从表中可知，只要两个开关有一个接通，灯就会亮，因此满足或逻辑关系。图 1.6 或逻辑电路图如果用1来表示灯亮和开关闭合，用0表示灯灭和开关断开，则可得到或逻辑真值表如表1.5所示。或运算也称“逻辑加”。或运算的逻辑表达式为Y=A+B 或逻辑运算的规律为：有得，全得。或逻辑的逻辑符号如图1.7所示。3.非运算在事件中，结果总是和条件呈相反状态，这种逻辑关系称为非逻辑(又称非运算)。非逻辑的模型电路如图1.8所示，A是开关，Y是灯，开关控制灯亮和灭的关系如表1.6所示。从表中可知，如果开
12、关A闭合，灯就灭;开关A断开，灯就亮；因此其电路满足非逻辑关系。图 1.8 非逻辑电路图如果用1来表示灯亮和开关闭合，用0表示灯灭和开关断开，则可得到非逻辑真值表如表1.7所示。非运算也称“反运算”。非运算的逻辑表达式为 Y=A 非逻辑运算的规律为：变，变，即“始终相反”。非逻辑的逻辑符号如图1.9所示。1.2.3 常见的几种复合逻辑关系常见的几种复合逻辑关系与、或、非运算是逻辑代数中最基本的三种运算，任何复杂的逻辑关系都可以通过与、或、非组合而成。几种常见的复合逻辑关系的逻辑表达式、逻辑符号及逻辑真值表如表1.8 所示。1.2.4 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法1.逻辑函数一般函数
13、，当A,B,C,的取值确定之后，Y的值也就唯一确定了。Y称为A,B,C,的函数。逻辑函数也是如此，但其变量取值只有和。逻辑函数的一般表达式可以写为Y=F（A,B,C,）与、或、非是三种基本的逻辑运算，即三种基本的逻辑函数。2.逻辑函数的表示方法及转换逻辑函数可以用逻辑真值表、逻辑表达式、逻辑图、波形图、卡诺图等方法来表示。其中，真值表是描述逻辑函数各个输入变量的取值组合和输出逻辑函数取值之间对应关系的表格。每一个输入变量有0，1两个取值，n个变量就有2n个不同的取值组合。例14 已知函数的逻辑表达式A。要求:列出相应的真值表；已知输入波形，画出输出波形；画出逻辑图。解 (1)根据逻辑表达式，画
14、出逻辑图如图1.10所示。(2)将A,B,C的所有组合代入逻辑表达式中进行计算，得到真值表如表1.9所示。(3)根据真值表，画出例14的输出波形，如图1.11所示。图 1.10 例 14 的逻辑图图 1.11 例 14 的波形图例 15 已知函数Y的逻辑图如图1.12所示，写出函数Y的逻辑表达式。解 据逻辑图逐级写出输出端函数表达式如下：最后得到函数Y的表达式为图 1.12 例15的逻辑图例 16 已知真值表如表1.10所示，根据真值表写出逻辑表达式。解 根据真值表写逻辑表达式方法写出逻辑表达式为1.3 逻辑代数的定律和运算规则逻辑代数的定律和运算规则1.3.1 基本定律基本定律与普通代数一样
15、，逻辑代数也有相应的定律和规则。表1.11列出了逻辑代数的基本定律,这些定律可直接利用真值表证明,如果等式两边的真值表相同,则等式成立。例 17 证明反演律 A+B=AB。证 列出 A+B 及 AB 的真值表如表 1.12 所示。1.3.2 基本规则基本规则1.代入规则 在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边的某一变量都用一个函数代替，则等式依然成立。这个规则称为代入规则。例 18 已知等式AB。若用BC 代替等式中的B，根据代入规则，等式仍然成立。即可见，摩根定律对任意多个变量都成立。由代入规则可推出:2.反演规则若求一个逻辑函数的反函数时，只要将函数中所有“”换成“”，“”换成“”；“”换成
16、“”，“”换成“”；原变量换成反变量，反变量换成原变量；则所得到的逻辑函数式就是逻辑函数的反函数。例 19 求的反函数。解3.对偶规则是一个逻辑表达式，如果将中的“”换成“”，“”换成“”，“”换成“”，“”换成“”，所得到新的逻辑函数式Y，就是的对偶函数。对于两个函数,如果原函数相等,那么其对偶函数、反函数也相等。例 20 求的对偶式Y。解（）1.4 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法根据逻辑定律和规则，一个逻辑函数可以有多种表达式。例如：1.并项法利用A的公式，将两项合并为一项，并消去一个变量。例 21 2.吸收法利用A+AB=A的公式消去多余的乘积项。例 22 3.消去法利用A+A
17、B=A+B，消去多余的因子。例 23 4.配项法利用A=A(B+)，增加必要的乘积项，然后再用公式进行化简。例 24 例 25 化简函数。1.5 逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数的卡诺图化简1.5.1 逻辑函数的最小项逻辑函数的最小项1.最小项的定义在n个输入变量的逻辑函数中，如果一个乘积项包含n 个变量，而且每个变量以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次，那么该乘积项称为该函数的一个最小项。对n个输入变量的逻辑函数来说，共有2n个最小项。2.最小项的性质(1)对于任意一个最小项，只有变量的一组取值使得它的值为1，而取其他值时，这个最小项的值都是0。(2)若两个最小项之间只有一个变量不同，其余各变
18、量均相同，则称这两个最小项满足逻辑相邻。(3)对于任意一种取值全体最小项之和为1。(4)对于一个n输入变量的函数,每个最小项有n个最小项与之相邻。3.最小项的编号为了表达方便，最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。编号的方法是：先将最小项的原变量用1、反变量用0表示，构成二进制数；将此二进制数转换成相应的十进制数就是该最小项的编号。按此原则，三个变量的最小项编号如表1.13所示。4.最小项的卡诺图n个变量的逻辑函数，由2n个最小项组成。卡诺图的变量标注均采用循环码形式。这样上下、左右之间的最小项都是逻辑相邻项。特别是，卡诺图水平方向同一行左、右两端的方格也是相邻项，同样垂直
19、方向同一列上、下顶端两个方格也是相邻项，卡诺图中对称于水平和垂直中心线的四个外顶格也是相邻项。二变量卡诺图：它有22=4个最小项，因此有四个方格，卡诺图上面和左面的0表示反变量，1表示原变量，左上方标注变量,斜线下面为A,上面为B,也可以交换,每个小方格对应着一种变量的取值组合,如图1.13（a）所示。三变量卡诺图：有23=8个最小项，如图1.13（b）所示。四变量卡诺图：有24=16个最小项，如图1.13（c）所示。图 1.13 变量卡诺图(a)二变量卡诺图；(b)三变量卡诺图；(c)四变量卡诺图5.最小项表达式任何一个逻辑函数都可以表示成若干个最小项之和的形式,这样的逻辑表达式称为最小项表
20、达式(又称标准式)。下面举例说明将逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。例 26 将逻辑函数Y(A,B,C)=AB+BC展开成最小项之和的形式。解 为了书写方便，通常用最小项编号来代表最小项，可以写为一个确定的逻辑函数，它的最小项表达式是唯一的。例 27 将逻辑函数 Y(A,B)=A+B 展开成最小项之和的形式。解 例 28 写出三变量函数的最小项表达式。解 利用摩根定律将函数变换为与或表达式，然后展开成最小项之和形式。1.5.2 卡诺图化简逻辑函数卡诺图化简逻辑函数1.逻辑函数的卡诺图(1)根据逻辑函数的最小项表达式求函数卡诺图。只要将表达式Y中包含的最小项对应的方格内填1，没有包含的项填0（
21、或不填），就得到函数卡诺图。例 29 将例27用卡诺图表示。解 将表达式Y中包含的最小项对应的方格内填1，如图1.14所示。(2）根据真值表画卡诺图。图 1.14 例 29 的卡诺图例 30 已知三变量Y的真值表如表1.14所示，画出卡诺图。解 根据真值表直接画出卡诺图如图1.15所示。(3)根据表达式直接得出函数的卡诺图。例 31 将Y=BC+CD+BCD+ACD用卡诺图表示。解 BC：在B=1，C=1对应的方格（无论A，D取何值）得m6,m7,m14,m15 在对应位置填1；CD:在C=1,D=0 对应的方格中填1，即m2,m6,m10,m14;BCD:在B=0，C=D=1 的方格中填1，
22、即m3,m11；ACD:在A=C=0,D=1 的方格中填1，即m1,m5。所得卡诺图如图1.16所示。图 1.16 例31的卡诺图例 32 将用卡诺图表示。解 （1）利用摩根定律去掉非号，直到最后得到一个与或表达式，即（2）根据与或表达式画出卡诺图，如图1.17所示。图 1.17 例 32 的卡诺图2.逻辑函数卡诺图化简法(1)化简依据。利用公式AB+AB=A将两个最小项合并消去表现形式不同的变量。(2)合并最小项的规律。利用卡诺图合并最小项有两种方法：圈0得到反函数，圈1得到原函数，通常采用圈1的方法。只有满足2m个最小项的相邻项才能合并，如2，4，8，16个相邻项可合并。而且相邻关系应是封
23、闭的，如m0,m1,m2,m3四个最小项,m0与m1,m1与m3,m3与m2均相邻,且m2与m0还相邻，这样的2m个相邻的最小项可合并。(3)化简方法。消去不同变量，保留相同变量。两个相邻项可合并为一项，消去一个表现形式不同的变量，保留相同变量。四个相邻项可合并为一项，消去两个表现形式不同的变量，保留相同变量。八个相邻项可合并为一项，消去三个表现形式不同的变量，保留相同变量。依次类推，2m个相邻项合并可消去m个不同变量，保留相同变量。如图1.18所示为最小项合并的过程。图 1.18 最小项合并卡诺图 (4)读出化简结果的方法。一个卡诺圈得到一个与项,将各个卡诺圈所得的乘积项相或,得到化简后的逻
24、辑表达式。(5)用卡诺图法化简逻辑函数的步骤。化简步骤如下:画出函数的卡诺图。画卡诺圈:按合并最小项的规律,将2 m 个相邻项为1的小方格圈起来。读出化简结果。例 33 化简 解 化简步骤如下：函数的卡诺图如图1.19所示，为了便于化简，“0”可以不填。画卡诺圈：按合并最小项的规律画卡诺圈如图1.19所示。按消去不同、保留相同的方法写出逻辑表达式。图 1.19 例 32 卡诺图化简过程例 34 化简 解 （1）画出函数的卡诺图,如图1.20所示。(2)按合并最小项的规律可画出三个卡诺圈，如图1.20所示。(3)写出化简后的逻辑表达式图 1.20 例 34 的卡诺图例 35 化简 解 画函数的卡
25、诺图，化简过程如图1.21所示。合并最小项得到的逻辑表达式为图 1.21 例 35 的卡诺图1.5.3 具有约束项的逻辑函数的化简具有约束项的逻辑函数的化简1.约束项逻辑函数中的约束项表示方法如下：如一个逻辑函数的约束项是ABC、ABC、ABC、ABC,则可以写成下列等式：或 2.具有约束项的函数化简 具有约束项的化简步骤如下：填入具有约束项的函数卡诺图。画卡诺圈合并（约束项“”使结果简化看作“1”，否则为“0”）。写出化简结果（消去不同，保留相同）。例 36 已知约束条件为ABD+CD=0，求最简的函数表达式。解 （1）根据约束条件求约束项 ABD+CD=0 配项展开为即（2）根据与或表达式
26、和约束条件画卡诺图，如图1.22所示。（3）画卡诺圈，约束项可以为“0”或者为“1”。从卡诺图看，约束项全“1”时得到最简逻辑函数表达式及其约束项如下：图 1.22 例36的卡诺图例37 已知 求最简的函数表达式。解 (1)根据最小项表达式画卡诺图如图1.23所示。(2)画卡诺圈，得到逻辑函数表达式：图 1.23 例37的卡诺图例 38 十字路口的交通信号灯,红、绿、黄灯分别用A、B、C来表示。灯亮用1来表示，灯灭用0来表示。车辆通行状态用Y来表示，停车时Y为0，通车时Y为1。用卡诺图化简此逻辑函数。解 (1)在实际交通信号灯工作时，不可能有两个或两个以上的灯同时亮(灯全灭时,允许车辆感到安全时可以通行)。根据题目要求列出真值表，如表1.15所示。(2)根据真值表画卡诺图，如图1.24所示。(3)画卡诺圈合并最小项,其中约束项可以当作0或1,目的是要得到最简的结果。Y=A C
