1、1.1.2 1.1.2 导数的概念导数的概念 问题问题3高台跳水高台跳水 在在高台跳水运动中高台跳水运动中,运动员相对于水运动员相对于水面的高度面的高度h(h(单位：米单位：米)与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单位：秒）存在函数关系（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t h(t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10.如何用运动员在某些时如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态地描述其运动状态?hto请计算请计算htoh(t)=-4.9th(t)=-4.9t2 2+6.5t+10+6.5t+10计算运动员在计算运动员在这段时间里
2、的平均速度这段时间里的平均速度,并思考下面的问题并思考下面的问题:探究探究:(1)运动员在这段时间里是静止的吗运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?在高台跳水运动中在高台跳水运动中,平均速度不能精确反映平均速度不能精确反映他在这段时间里运动状态他在这段时间里运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度.如何求如何求瞬时速度呢瞬时速度呢?如何求（例如如何求（例如t=2t=2时）瞬时速度？时）瞬时速度？通过列表看出平均速度的变化趋势通过列表看出平均速度的变化趋势
3、：当当t趋近于趋近于0时时,平均平均速度有什么变化趋势速度有什么变化趋势?当当t趋近于趋近于0时时,即无论即无论t从不大于从不大于2的一边的一边,还是从还是从不不大于不不大于2的一边趋近于的一边趋近于2时时,平均速度都趋近与一种拟定的平均速度都趋近与一种拟定的值值13.1.从物理的角度看从物理的角度看,时间间隔时间间隔|t|无限变小时无限变小时,平均速度平均速度就无限趋近于就无限趋近于t=2时的瞬时速度时的瞬时速度.因此因此,运动员在运动员在t=2时的时的瞬时速度是瞬时速度是13.1.表示表示“当当t=2,t趋近于趋近于0时时,平均速度平均速度趋近于确定值趋近于确定值13.1”.从从2s到到(
4、2+t)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度探探究究:1.运动员在某一时刻运动员在某一时刻t0的瞬时速度如何表达的瞬时速度如何表达?2.函数函数f(x)在在x=x0处的瞬时变化率如何表达处的瞬时变化率如何表达?表示表示“当当t=2,t趋近于趋近于0时时,平均速度平均速度趋近于确定值趋近于确定值13.1”.定义定义:函数函数y=f(x)在在x=x0处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是称为函数称为函数y=f(x)在在x=x0处的处的导数导数,记作记作f(x0)或或y|x=x0,即即（1）f(x0)与与x0的值有关的值有关,不同的不同的x0其导数值普通也不其导数值普通也不同；同；f(x0)与与x的具体
5、值无关。的具体值无关。（2）瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。）瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。定义定义:函数函数y=f(x)在在x=x0处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是称为函数称为函数y=f(x)在在x=x0处的处的导数导数,记作记作f(x0)或或y|x=x0,即即由导数的定义可知由导数的定义可知,求函数求函数y=f(x)的导数的普通办法的导数的普通办法:1.求函数的改变量求函数的改变量2.2.求平均变化率求平均变化率3.3.求值求值一差、二化、三极限一差、二化、三极限例例1:(1)求函数求函数y=x2在在x=1处的导数处的导数;(2)求函数求函数y=x+1/x在在x=2处的导数处
6、的导数.练练1:求求y=f(x)=x2+1在在x=1处的导数处的导数.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx例例3将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热需要对原油进行冷却和加热.如果第如果第x h时时,原油的温度原油的温度(单单位位:)为为f(x)=x27x+15(0 x8).计算第计算第2h和第和第6h,原油温度的瞬时变化率原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义并说明它们的意义.解解:在第在第2h和第和第6h时时,原油温度的瞬时变化率就是原油温度的瞬时变化率就是和和根据导数的定义根据导数的定义,因此因此,同理可得同理
7、可得在第在第2h和第和第6h时时,原油温度的瞬时变化率分别为原油温度的瞬时变化率分别为3和和5.它说它说明在第明在第2h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以3/h的速率下降的速率下降;在第在第6h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以5/h的速率上升的速率上升.例例3将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热需要对原油进行冷却和加热.如果第如果第x h时时,原油的温度原油的温度(单单位位:)为为f(x)=x27x+15(0 x8).计算第计算第2h和第和第6h,原油温度的瞬时变化率原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义并说明
8、它们的意义.练习练习:计算第计算第3h3h和第和第5h5h时原油的瞬时变化率时原油的瞬时变化率,并阐明它并阐明它们的意义们的意义.课堂练习课堂练习:如果质点如果质点A按规律按规律s=2t3则在则在t=3s时的时的瞬时速度为瞬时速度为A.6 B.18 C.54 D.81练习练习2质量为质量为kg的物体，按照的物体，按照s(t)=3t2+t+4的规律做直线运动，的规律做直线运动，（）求运动开始后（）求运动开始后s时物体的瞬时速度；时物体的瞬时速度；（）求运动开始后（）求运动开始后s时物体的动能。时物体的动能。小结：求函数小结：求函数y=f(x)的导数的定义办法的导数的定义办法:1.求函数的改变量求
9、函数的改变量2.2.求平均变化率求平均变化率3.3.求值求值一差、二化、三极限一差、二化、三极限例例4:设函数设函数f(x)在点在点x0处可导处可导,求下列各极限值求下列各极限值:分析分析:运用函数运用函数f(x)在点在点x0处可导的条件处可导的条件,将题目中给定将题目中给定的极限恒等变形为导数定义的形式的极限恒等变形为导数定义的形式.注旨在导数定注旨在导数定义中义中,自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不管但不管x选择哪种形式选择哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.练习练习1:设函数设函数f(x)在点在点x0处可导处可导,求下列各极限值求下列各极限值:练习练习2:设函数设函数f(x)在点在点x=a处可导处可导,试用试用a、f(a)和和
