1、高等数学电子教案高等数学电子教案讲课教师：王东霞讲课教师：王东霞1/91 积分小结积分小结一、不定积分一、不定积分二、定积分二、定积分三、定积分应用三、定积分应用2/91积分法分法原原 函函 数数选择u有有效效方方法法基基本本积分分表表 第一第一换元法元法 第二第二换元法元法直接直接积分法分法分部分部积分法分法不不 定定 积积 分分几个特殊几个特殊类型型函数函数积分分一、不定积分一、不定积分3/911 1、原函数、原函数定义定义原函数存在定理原函数存在定理即：即：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数4/912 2、不定积分、不定积分(1)定义定义5/
2、91(2)微分运算与求不定积分运算是微分运算与求不定积分运算是互逆互逆互逆互逆.(3)不定积分性质不定积分性质6/91基基本本积积分分表表（k是常数是常数);3 3、基本积分表、基本积分表7/918/91要求：熟记基本积分公式要求：熟记基本积分公式.9/91基基本本积积分分表表2 210/9111/915 5、第一类换元法、第一类换元法（凑微分法凑微分法凑微分法凑微分法）4 4、直接积分法、直接积分法第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法凑微分法凑微分法）由定义直接利用基本积分表与积分性质求不定由定义直接利用基本积分表与积分性质求不定积分方法积分方法.12/91常见类型常见类型:13/
3、91惯用凑微分形式惯用凑微分形式14/916 6、第二类换元法、第二类换元法第二类换元公式第二类换元公式15/91惯用代换惯用代换:1.根式代换根式代换可令可令可令可令可令可令2.三角代换三角代换 16/917 7、分部积分法、分部积分法分部积分公式分部积分公式8.8.选择选择u u有效方法有效方法:按反对幂三指次序按反对幂三指次序.对对-对数函数；对数函数；反反-反三角函数；反三角函数；幂幂-幂函数；幂函数；三三-三角函数；三角函数；指指-指数函数；指数函数；哪哪个在前哪个选作个在前哪个选作u.17/91常见题型常见题型18/91解解被积式子中含有抽象函数导数被积式子中含有抽象函数导数(把导
4、数凑微分后用分部积分把导数凑微分后用分部积分)19/919 9、几个特殊类型函数积分、几个特殊类型函数积分（1）有理函数积分）有理函数积分定义定义两个多项式商表示函数称之两个多项式商表示函数称之.真分式化为部分分式之和真分式化为部分分式之和待定系数法待定系数法20/91四种类型分式不定积分四种类型分式不定积分此两积分都可积此两积分都可积,后者有递推公式后者有递推公式21/91令令（2）三角函数有理式积分三角函数有理式积分定义定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算组成函数称之普通记为组成函数称之普通记为22/91（3）简单无理函数积分简单无理函数积分讨论类型：
5、讨论类型：处理方法：处理方法：作代换去掉根号作代换去掉根号23/911 1、定积分定义、定积分定义定义定义插入插入二、定积分二、定积分25/91记为记为26/91注意：注意：是一个确定常数是一个确定常数.字母无关字母无关.要求要求:27/912 2、定积分性质、定积分性质性质性质1性质性质2性质性质3(k 为常数为常数)28/91性质性质5推论：推论：（1）（2）性质性质429/91性质性质7(定积分中值定理定积分中值定理)性质性质6积分中值公式积分中值公式（估值定理）（估值定理）则则30/91定理定理1定理定理2（原函数存在定理）（原函数存在定理）(1)积分上限函数性质积分上限函数性质3、积
6、分上限函数及其导数、积分上限函数及其导数31/91计算变上限积分导数计算变上限积分导数32/91定理定理 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式4 4、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式33/915 5、定积分计算法、定积分计算法换元公式换元公式（1）换元法）换元法应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:换元必换限换元必换限,不换元则不换限不换元则不换限;下限与下限对应下限与下限对应.且上限与上限对应，且上限与上限对应，34/91（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式6 6、定积分奇偶对称性、定积分奇偶对称性设积分区间关于原点对称设积分区间关于原
7、点对称,即为即为 ,则则 35/918、惯用定积分值、惯用定积分值为正偶数为正偶数为大于为大于1正奇数正奇数38/919、广义积分、广义积分(1)无穷限广义积分无穷限广义积分类似有类似有:39/91(2)无界函数广义积分无界函数广义积分40/91结论结论:当当 p 1 时收敛时收敛;p1 时发散时发散.P257 P257 例例3 3(2)反常积分反常积分当当 q 1 时收敛时收敛;q1 时发散时发散.P259 P259 例例6 6(1)p 积分积分41/91上曲线上曲线下曲线下曲线 轴上轴上 曲边梯形面积曲边梯形面积取取 为积分变量为积分变量平面图形平面图形（形区域）形区域）面积面积(一一)直
8、角坐标系情形直角坐标系情形平面图形面积平面图形面积二、定积分应用二、定积分应用42/91y+dyyoyxdcyxodcy+dyy右曲线右曲线左曲线左曲线 轴上轴上 曲边梯形面积曲边梯形面积取取 为积分变量为积分变量平面图形（平面图形（形区域）面积形区域）面积43/91oyxoyxoyxoyx44/91xyo旋转体体积为旋转体体积为1 1、旋转轴为坐标轴、旋转轴为坐标轴旋转体体积旋转体体积45/91平面图形平面图形(形区域形区域)绕绕x轴旋转所得立体体积轴旋转所得立体体积yxodcy+dyy平面图形平面图形(形区域形区域)绕绕y轴旋转所得立体体积轴旋转所得立体体积46/91解解体积元素为体积元素
9、为例例22 2、旋转轴为平行于坐标轴直线、旋转轴为平行于坐标轴直线 47/91平行截面面积为已知立体体积平行截面面积为已知立体体积48/91平面曲线弧长平面曲线弧长弧长弧长A曲线弧为曲线弧为弧长弧长B曲线弧为曲线弧为49/91例例1 1若若是是原函数原函数,求求解解:已知已知二、经典例题二、经典例题50/91例例2 已知已知一个原函数是一个原函数是求求解解说明说明:此题若先求出此题若先求出再求积分反而复杂再求积分反而复杂.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 51/91例例3 单项选择题单项选择题1.以下等式不正确是以下等式不正确是()2.设设 原函数是原函数是 ,则则5
10、2/91例例4 填空题填空题则则 .则则则则53/91例例5 5 求求解解方法二方法二:利用换元法利用换元法 令令54/91例例6 6 求求解解55/91例例7 7 求求解解56/91例例8 8 求求解解说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分；若都为偶次幂则降幂次项去凑微分；若都为偶次幂则降幂.57/91解解例例9 9 设设 求求 .令令58/91例例1010 求求解解 令令则则59/91例例1111 求求解解令令60/91例例1212 求求解解令令61/91例例1313 求积分求积分解解P211 例例663/91例例1414 求解解 原式原
11、式 =64/91例例1 15 求积分求积分解解注意循环形式注意循环形式65/91例例1616 求求解解 原式原式66/91例例1717 求积分求积分67/91例例1818 求积分求积分解解令令有时需要综合利用各种方法有时需要综合利用各种方法.P212 例例968/9169/91例例2020 计算计算 原式原式=解解 令令则则且且 70/91例例2121 设设求求解解(分部积分分部积分)71/91解解令令则则例例2222 设设P270 13P270 1372/91原式原式73/91例例2323 求求解解分析：分析：这是这是 型不定式，型不定式，应用洛必达法则应用洛必达法则.P242 P242 例
12、例8 874/91例例24 设设75/91例例25 当当x为何值时为何值时,函数函数?解解当当 时时,当当 时时,当当 时时,取得极小值取得极小值.76/91P256 P256 例例1 1例例2626 计算广义积分计算广义积分解解 77/91解解例例2727 计算广义积分计算广义积分下述解法是否正确下述解法是否正确:,积分收敛积分收敛例例2828 讨论反常积分讨论反常积分收敛性收敛性.解解所以反常积分所以反常积分发散发散.是瑕点是瑕点P259 P259 例例5 578/91例例29 计算两条抛物线计算两条抛物线在第一象限所围在第一象限所围图形面积图形面积.解解 由由得交点得交点80/91例例30 计算抛物线计算抛物线与直线与直线面积面积 .解解 由由得交点得交点所围图形所围图形为简便计算为简便计算,选取选取 y 作积分变量作积分变量,则有则有81/9182/9183/91解解体积元素为体积元素为例例3284/91解解所求弧长为所求弧长为P283 例例1185/9187/9188/9189/9190/9191/91
